AA
on trouvera :
ce qui nous dit que la droite qui passe par le point de contact et par le centre est perpendiculaire à la tangente (n®. 151). Et l’on voit comment le même théorcme peut se retrouver de diflerentes manières.
178. Tout comme on appelle , dans une courbe quelconque, souslangente la distancé du p'ied de l'ordonnée du point de contact au point où la tangente rencontre l’axe des x , on appelle somnormale la distance du pied de la même ordonnée au point où la normale rencontre le même axe. On voit , fig. 62 , que dans le cercle la sousnormale est égale à « , quand on compte les abscisses depuis le centre , et que la normale est toujours égale à r , en la supposant terminée d’un cdté au point de contact et de l’autre à l'axe des x.
LIONS cibcülaibe:
179. Pour dire encore quelque chose de la sécante , cherchons la distance du point G, dg. 60, au point A/, et désignons cette distance par » (*). Les coordonnées variables du point M étant a: et y , il est facile de voir qu’on auia :
Or cette équation doit s’accorder avec celles de la droite et du cercle j c’est-à-dir e avec ces deui-ci :
(5) .... y — fl = a (a; — .), ÿ* -f- a:» = r» ;. . . (C).
Mettant dans (A) la valeur de y — fl prise dans (B), on trouvera . . . . ► *• = ( X — «)’ ( 1 + a* ) ; de là on tirera la valeur de x — », qu’on substituera dans (B ) , et l’on aura ainsi :
et par conséquent {D) .... X == I
y — fl =
ai
ai
Substituant encore les carrés de ces valeurs dans CO et réduisant^ obtiendra : .
2 f « “f" clB')
on
Cette équation en fournit deux différentes du second degré , suivant qu’on donne au radical le signe + ou le signe — ; ensorte qu’avec une même valeur de a, seule quantité qui puisse varier ici, il semble qu’on doit avoir quatre] valeurs de t , ou quatre distances à la coui'be. Mais nous savons qu'une droite qui fait un certain angle donné avec l’axe des x , ne peut rencontrer le cercle en plus de deux points , et que par conséquent il ne peut y avoir plus de deux distances d’un certain point pris sur cette droite jusqu’à la courbe. Pour résoudre cette difficulté , observons que les quatre valeurs de i fournies par deux équations de cette forme ;
(*) Nous allous supposer que «, fl, eto, sont en plus, conune dans la figure; n sera facile de modifier les résultats d’après les signes que prendront oes quan» tités dans les différans cas particuliers qui pourront se présenter.
héCANTKS, TAN0ENTE8, etC.
}»4-P» = 7, i* — pi=^q,
•ont de deux en deux égales et de signe contraire. Il faut donc conclure de là et de ce qui précède , que les valeurs de i de l’une ou de l’autre de ces équations dans le cas actuel «ont insignifiantes (n°. 63 et qu'une des équations est inutile.
Contentons-nous donc de l’équation (E) avec le signe + au second terme; elle est du second degré parce qu’en général la droite qui passe en G et qui rencontre la courbe la rencontre en deux points M, M' ; ensorte que les deux valeurs de t sont celles de C^ct de GM'. Si on calculait ces deux valeurs de et qu’on les substituât dans les équations on aurait deux valeurs de X et deux valcui's de y, qui seraient celles des coordonnées des points M, M'. Ces valeurs devraient être les mêmes que celles qu’on pourrait trouver par les équations (1) et (2) du n°. 171.
Du reste , on remarquera qu'ici , tout comme là , la grandeur de ces quantités est dépendante de celle de a ; c’est-à-dire que pour le même cercle et pour le même point G, les grandeurs de de a; , et de y, seront plus ou moins considérables , suivant l’angle que la dioite fera avec l’axe des x.
180. Mais voici une observation intéressante; le dernier terme de l’équation (£l, qui est — r*, ne contenant point a, est indépendant de
cette quantité ; or ce dernier terme , par la théorie des équations f Algèbre d’Emile n®. 408 ) , est égal au produit des deux valeurs de ) ou à GA/xG^l/'; ce produit sera donc le meme quel que soit l’angle de la sécante avec l’axe des X. Ainsi pour une autre sécante passant en G, et dont les points d’intersection avec le cercle seront désignés par Z et Z', on aura encore CL X GLl =: •* + fl* — r*. De tout cela il résulte que :
GAf X GM' z^zGL'K OL ou que GM : GL :: GL : GM'.
Or remarquons que malgré la figure 60, où le point G est mtérieur, nous avons fait notre calcul d’une manière générale et pour une position quelconque du point G ; nous venons donc de trouver ce résultat ; Si séccuiies se rencontrent, dune tnanière quelconque, les quatre parties corn.prises entre le point d’intersection et la circon/erence sont réciproquement proportionnelles. C’est le Théorème XXI du Liv. V de la Géométrie ; et il comprend le cas des deux sécantes, des deux cordes, de la tangente et de la sécante, des deux tangentes égales, de la moj'enne proportionnelle aux
\yx LIGNE CISCDLAiai:
deux «egmcns du diamètre , etc. Noua retombona encore ici aur un on deux résultats que nous avions déjà obtenus ( n“*. 169. 172 ).
Du reste quand le point G est extérieur , «* + S* > r* , et le dernier teime de l’équation (£) est en +; ainsi les deux valeurs de > ont le même signe. Quand le point G est intérieur, «* +fl» < r*, et le dernier terme est en — ; ainsi les deux valeurs de > ont des signes difFérens. Quand le point G est sur la circonférence, + = r*, et le dernier terme est nul;
ainsi une des valeurs de i est nulle aussi pui.squc leur produit l’est Alors on peut diviser l'équation par ï et elle s’abaisse au premier degré. Enfin si le point G était le centre même ou l’origine , on aurait « = o, fl = o , et l’équation (E) deviendrait 1* — r* = o; ce qui donnerait > = ± r, comme cela doit être.
181. Encore une ou deux observations: si l’équation (E) était un cané parfait , ou si le dernier terme était égal au carré de la moitié du coéfficient du second , les deux valeurs de î seraient égales , et par conséquent la sécante deviendrait tangente. Or si on suppose cela et qu’on égale le dernier terme au carré de la moitié du coéfiieient du second en mettant A à la place de a, on aura une équation en «, fl, r, et A, et l’on en pourra tirer la valeur de A déjà trouvée au n'. 172 ; on obtiendra donc les égalités (3) et (4) de ce numéro-là.
Il y aurait encore un autre calcul à faire , mais plus long, qui conduirait aussi aux mêmes résultats ; ce serait de calculer généralement les deiu valeurs de * tirées de l'équation (E) , de les retrancher l’une de l’autre , et d’égaler la difféi'ence à zéro. En effet supposer que la distance entre les points dlnterscction est nulle , c’est supposer qu’il n’y en a plus qu’un de commun entre la droite et le cercle.
Ayant trouvé, par les moyens que nous venons d’indiquer, la formule (4) du n*. 172, il est clair qu’on en pourrait conclure, comme on l’a fait là, la formule (9) du même numéro , répondant au cas où le point G est sur l'axe
des X. On en pourrait de même conclure la formule (5) , A — ^ , re-
lative au cas où le point G est sur la circonférence. Cette valeur peut aussi se tirer immédiatement de l’équation (£), en observant que dans ce cas k dernier terme étant nul , ainsi qu’une des valeurs de J , comme nous l’avons dit il y a un moment , l’autre valeur de î est égale au coéfficient du second terme pris avec un signe contraire , puisque ce coéfficient , en chan-
*ÉCANT«8, TANClNTE», CtC. 133
^eànt son signe, vaut la «omme des deux. Or i étant nul dans le cas de la tangente , on égale à zéro le coefficient en question et l’on obtient . . . •
182. On peut encore, en combinant les équations de deux sécantes particulières avec celle du cercle , retrouver la propriété de l’angle uiscrit appuyé sur le diamètre (n*. 169).
L’équation générale de la ligne AM, fig. 67, qui passe par le point 4 ( — r, zéro ) , est
et celle de la ligne BM , assujettie à passer en 5, ( -f- r, zéro) , est
y = al (« — r).
Si ces lignes étaient perpendiculaires à l’axe des x , elles ne se rencontrersiicnt pus , et n’auraient point de coordonnées communes. Mais si on incline plus ou moins l'une d'elles seulement, ou si l’on veut toutes les deux, elles auront un point commun , placé à une distance plus ou moins grande ; et dans ce point elles auront les memes coordonnées ou le même x et I© même y. D’ailleurs quand le rayon du cercle sera donné, les valeurs de ces quantités ne dépendront plus que des angles que les deux di oites feront avec l’axe des x. Alors si on veut calculer ces valeurs , qui devront donc être exprimées en a et a' , il faudra les tirer des deux équations précédentes , par quelque procédé d’élimination ; on trouvera ;
2aa!jr
Cela posé si l’on veut de plus que le point de rencontre des deux lignes soit placé sur la circonférence , il faudra que les trois lignes aient dans ce point les mêmes coordonnées , ou que l’équation du cercle soit satisfaite par les valeurs de a; et de i/ que nous venons de calculer ; mettant donc les carrés, de CCS valeurs dans l'équation y* + x* = r® , on obtiendra après les réductions :
aa' ( aa' -+- 1 ) = o ;
et cette équation servira à trouver un des a , quand on aura pris l’autre à volonté. On peut remarquer que le rayon a de nouveau disparu , toujours, par la raison que nous avons indiquée.
134 ^ tlONB Ct»CÜLAt«B :
Mais, sans aucun calcul, ce résultat nous dit plusieurs choses ; car on peut y satisfaire de deux manières; c’est-à-dire en faisant ou aa! = zéro, ou aa'+l =o. Or, 1*, quand aa! = zéro, on a encore ou a = o, ou a' = O , ou l'une et l’autre de ces quantités nullcs; ce qui signifie que l'une ou l'autre des deux droites, que l'on appelle dans ce ca& cordes supplémentaires , ou toutes les deux ensemble , peuvent être couchées sur l’axe des x; et il est bien clair en effet que les trois lignes auront alors ou un ou deux points communs. 2*. Quand aa' + 1 =: o , les deux droites sont perpendiculaires l'une à l’autre (n*. 161. Voyez aussi le 150) ; ensorte que l'angle inscrit appuyé sur le diamètre est droit.
183. Si l’on n’eût pas désiré de connaître la valeur des coordonnées communes , et qu’on eût voulu seulement trouver le rapport que les deux angles doivent avoir entr’eux pour que les droites se rencontrent sur la circonférence , on aurait pu faire un calcul plus simple et plus prompt. F.n multipliant entr 'elles les équations des deux droites , on aurait tout de suite :
y* = ao'(x* — r*);
et comparant ce produit avec l'équation du cercle écrite ainsi ;
la seule inspection do ces formules donnerait aa' = — 1.
Mais on n’aurait pas ainsi les valeui-s de ar et de y; et le résultat . . aa' =o am'ait disparu. Ce résultat, rigoureusement parlant, n’apprend rien, mais il peut servir d'exemple aux commençans de cette grande vérité, que le calcul algébrique peut indiquer, jusque dans les plus petits details, tous les cas particuliei's renfermés dans une question générale. Du reste c’est l’habitude du calcul et l’attention qui peuvent faire reconxiaitre dans chaque cas les procédés les plus prompts pour arriver à ce que l’on cherche.
“ On voit , par cet exemple , dit Biot , que lorsqu’on doit combiner ensemble plusieurs équations, pour en éliminer certaines quantités, il est quelquefois possible d’abréger l’opération par des procédés plus ou moins ingénieux ; mais en profitant de ces artifices pour rendre les calculs plus élegans et plus simples , il ne faut Jamais voir dans les changemens qu'ils opèrent , que le résultat et rclfct de l’élimiaation. £t comme les divers procéd^'S
SiSCANTXS, TANOSITTES, CtC. 135
que l’on peut employer pour éliminer, introduisent quelquefois des facteurs étrangers à la question, ou en font disparaître, il faudra s’assurer que l’on a réellement trouvé le nombre de facteurs convenable ; ce qui sera toujours indiqué par le nombre et le degré des équations entre lesqueUei QU a dû éliminer. ”
