CHAPITRE VIII

Des positions respectives de deux cercles.

184 . Recherchons maintenant dans quelles circonstances peuvent être placés deux cercles l’un à l’égard de l’autre.

Pour qu’il y ait quelque liaison entr’eux, il est évident qu’on doit les rapporter aux mêmes axes ; nous mènerons donc une droite par les deux centres et nous la prendrons pour l’axe des x ; puis , pour simplifier la discussion des formules , nous supposerons toujours le plus grand des deux cercles, s’ils ne sont pas égaux, placé à la gauche de l'autre, son rayon sera r et son centre sera l’origine des abscisses, que nous prendrons en -1- en allant vers la droite. Alors la distance des centres, désignée par d, marchera dan» le meme sens et ne sera jamais en — L’équation de ce cercle

sera :

Le second cercle, égal à l’autre ou plus petit que lui, et dont nous désignerons le rayon par r ' , aura pour équation , conune il est facile de le voir , fig. 63 et 64 :

D’ailleurs, ou ces cercles ne se rencontreront pas, ou ils se rencontreront, et dans ce dernier cas ils auront pour le même x le même y dans chacun de leurs points communs; cherchant donc, par l'élimination, les valeurs de ces coordonnées conununes (n***. 142. 143), nous obtiendrons pour x:

rP -4- r* — r'»

et , suivant la manière dont nous aurons fait le calcul, nous trouverons pour y ou l’une ou l’autre de ces formules :

rOSITlONl KBS»£CTIVES D£ DEOX CERCLES.

Du reste dès qu’on en aura trouvé une on pourra en conclure les autres i si l’on remarque l’analogie qu’elles ont avec celles du n®. 22. C'est même plus qu’une analogie , c’est une identité ; car quand deux cercles se cou» pent , comme dans la figure 64 , on peut former un triangle AAfC avec d,} r, y , dont la base est d et la hauteur y; et dans le n°. 22 nous avions aussi un triangle formé par les trois côtés a, b, d, fig. 5, dont la base était a et la hauteur x. Les valeurs de x de ce numéro>là ront donc celles de y de celui-ci.

Examinons maintenant les résultats de ces formules.

185. Si les cercles ont le même centre, d sera nul, et chacune des quatre formules donnera également r = r' ; c’est-à-dire que dans ce cas les cercles doivent avoir des rayons égaux pour se rencontrer, et nous avons supposé cette rencontre en calculant nos formules. Mais comment se ren-' contrent-ils ? Si l’on fait d = o et r = K ; on trouve a; = § et y = Ces valeurs indéterminées peuvent donc être prises à volonté ; du moins entre les limites où le cercle existe , et dans les rapports que cette courbe admet. En d’autres termes , si l’on calcule les valeurs de tant de coordonnées correspondantes que rbn voudra pour un des cercles, elles conviendront toutes à l’autre ; et par conséquent les deux cercles dans ce cas n’en font qu’un (Géora. Liv. V. n®. 53).

Si les cercles , ayant le même centre , n’ont pas le même rayon , le résultat r — r', qui résulte de la supposition que d = o, prouve qu’on ne peut pas supposer en même tems que deux cercles ont le même centre , que leurs rayons sont inég.iux , et qu'ils se rencontrent. En faisant donc les deux premières suppositions, on rejette la troisième ; ainsi dans ce cas les cercles ne se rencontrent pas , il est évident qu’ils sont concentri' ques ( Géom. Liv. V. n*. 55 ;.

186. Si les cercles n’ont pas le même centre, d n'est pas nul, et quoique l’abscisse x soit toujours possible , comme l’indique la formule , l’ordonnée y ne l’est pas toujour». U est clair que si cette ordonnée est imaginaire les

rOSITtONS XESrsCTITES

cercles ne' se rencontreront pas; cela aura lieu, comme on le voit dans ÇA), {B), (C), lorsqu’on aura

— r'>>2dr, + , r* + r'*— <i>> 2r/^ ;

cherchons ce que cela signifie. La première inégalité donne successivement:

d^—2dr+r^>t^*, d—r>r', d > r+ r' . . . .

La seconde conduit au même résultat; et la troisième foui'uil celui-ci, en la üailant comme la première :

Ainsi les cercles ne se rencontrent point quand la distance des centres est plus grande que la somme des rayons, ni quand clic est plus petite que leur difl’éi’ence.

Dans le premier cas , les cercles sont placés hors l'un de l’autre , à une distance déterminée par la valeur de d relativement à celle des rajons , qui du reste peuvent être égaux. Dans le second cas , les cercles sont au dedans l’un de l’autre, et leurs ravons ne peuvent cire égaux, car alors la ùista»ice des centres , qui est plus petite que leur difl’ércncc , serait moindre que lien (Géoin. Liv V. n"’. 56. 64),

187. Si y est possible, tout comme a;, les cercles se rencontreront; cela arrivera certainement, comme on le voit dans ÇA), ÇB), (C), quand on aura

a> + r»— r'*<2dr, tl> + /•'’—/•*< 2d/, r‘-hr‘^ — d*<2rr';

voyons aussi ce que cela signifie. On tue de ces inégalités

d<r+i' .... iF), d>/-r' .... (O),-

ce qui prouve , en le combinant avec (E) , que les cercles se coupent , fig. 64, quand la distance des centres est en meme teins plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence. Je dis qu'ils se coupent plutôt que de dire qu’ils se rencontrent , parce que les formules font voir qu’ils n’ont qu’une abscisse commune, x n’ayant qu’une valeur quand on fixe d, r, et r', mais qu’à cette abscisse répondent deux ordonnées égales et dirigées en sens contraire. Ils se coupent donc, mais ils ne peuvent jamais se couper en plus de deux points , puisqu’il n’y a Jamais que deux valeurs de y communes ; ensortc que s'ils avoient trois points communs ils sc cou-

t>S Deux CBRCLEt.

fondraient. Du reste les rayons peuvent dans ce cas être égaux ou inégaux (Géom. Liv. V. n”. 53. 54. 62. 63).

Les deux valeurs de y , égales et en sens contraire , prouvent en outre que la droite qui joint les centres , et qui est perpendiculaire à la double ordonnée , partage en deux parties égales cette double ordonnée , c’est-àdire la corde qui joint les deux points d'intersection ( Géom. Liv. V. n°. 65).

Si les deux rayons sont égaux, les équations des deux cercles sont. . . . y* = r* — a:’ et y* == r* — ( </ — x )* , d'où on tire x = ld; ainsi. . . . AP = CP ( Géom. n°. 65. bis ).

188. Si on avait dans (A), (B), (C), — r'*=2dr, d*-i~P* — r*—2dr',

rM-r'* — d}==2rr ' , on tirerait de ces égalités :

substituant ces valeurs dans les formules, 'pour avoir celles de ar et de y, on trouverait pour les deux cas, toutes réductions faites, x=.r ety — o. Ces valeurs simples et non doubles de x et de y , prouvent qu’alors les cercles se touchent , sans se couper ; on voit que cela a lieu quand la distance des centres est égale à la somme ou à la différence des rayons ; et il est bien évident que dans le premier cas les cercles se touchent extérieurement, et dans le second intérieurement. D'ailleurs le point de contact est sur l'axe des X, ou sur la ligne qui joint les centres, puisque y — o (Géométiie n". 57 58).

Si dans le second cas les rayons étaient égaux , leur dilfércnce serait nulle , et la distance des centres aussi ; alors les cercles se confondraient entièrement ( n“. 185) f Géom. n“. 61).

189- Pour que tout ceci soit aussi clair que possible, faisons encore une observation sur quelques-unes des formules précédentes.

En extrayant les racines pour trouver (£) , (G) , (/), nous n’avons pas mis le double signe, parce que si les rayons sont égaux r' — r=r — r' , et si les rayons sont inégaux, r étant plus grand que r' ( n®. 184), on aurait r' — r négatif; or d, qui est décidément en -t-(n°. 184), ne doit pas être comparé avec des quantités en — , si ce n'est en faisant abstraction du signe ; m.ais alors le résultat serait encore le même.

Ces lormules étant ainsi décidées, et devant servir de règle pour les autres, n.ius allons légitimer successivement celles-là. Et d'abord nous n'avons pas écrit pour {F) d < r ± r*, parce que la seconde valeur

140 ÏÔSITIONS SKSPECTITEI DE DtDE CERCLES,

aurait été la même que (£) , et que celle - ci décidant la non • intersection se trouvait rejetée pour l’intersection.

Nom n’avons pas non plus écrit pour (I?) > r±r^ , parce que l’inter-

section jétant décidée possible par (G), dans certains cas où d r — r'» elle ne pouvait pas être toujoui's imjjossible avec cette valeur. D’ailleurs cette intersection étant supposée impossible avec > r — r', et l'étant décidément par (£) avec d < r — d, elle n’aurait plus été possible qu'avec d= r — d ; mais (/), qui est aussi une formule arrêtée, prouve qu alors il n’y a qu’un simple contact : on n’aurait donc jamais eu , dans cette sup^ position, d intersection proprement dite, ce qui est en contradiction avec les formules (F) et (G) déjà sanctionnées.

Enfin , nous n’avons pas écrit pour ) d=sr + d^ parce que la secondoi valeur n’aurait été qu’une répétition de (i).