PROBLEMES

le preraicr angle des axes ou dans le troisième , ce qui revient au même , on prendra, pour avoir le* points de eontact des deux tangentes, -f- a? avec + y et — x avec — t/ ; et si la droite est dans le second angle ou dans le quatrième , on prendra + x avec — y et •— x avec + y (*).

En général, il y aura toujours deux tangentes parallèles à la droite, à moins que celle-ci ne soit elle-même tangente et ne tienne la place d’une des deux ; et dans tous les cas le problème sera possible.

191. Pour résoudre ce problème, on aurait pu aussi raisonner de cette manière. En désignant parx' et y' le* coordonnées du point de contact, la formule (12) du n“. 174, aiu'ait donné pour l’équation de la tangente. . . y' y -f- x'x =x r*. Mai* on peut supposer qu’en général cette tangente coupe l’axe des x dans un point ( •> , zéro ) ; ainsi ces valemTs doivent satisfaire à l’équation précédente , et l’on a de cette manière x'» = r*. D’un autre côté le cercle donnant y'* = r* — x" ; il est facile de tirer de ces deux équa* lions :

Prenant encore dans la formule (9) du n®. 1 73 la valeur de « exprimée en A, et substituant cette valeur dans les dernières formules, on obtient, comme au numéro précédent :

192. Par un point donné extérieur au cercle mener à ce cercle les deux tangentes que l'on peut y mener ( n*. 1 73. )

On pourrait prendre la formule (10) n*. 174, dans laquelle on suppose* roit que « , é , désignent les coordonnées du point extérieur donné , et x , y, celles du point de contact; on la combinerait avec l'équation du cercle,pour en tirer les valeurs de x et dey. Ou bien, pour simplifier, on prendrait la formule (11) avec l’équation du cercle, en supposant qu’on eût fait

(*) Dans le cas actuel les coordonnées du point de contact sont égales; mais'

en général on a pour la longueur de la tangente (n*. 175) ,- donc ici I* tan-

gentc égale r-\ ce qui s'accorde avec le principe que la tangente de 50* est égale au rayon.

BCLATIF9 AU CERCLE. i43

tourner les axes pour faire passer celui des x par le point donné. Mais voici ce qu’on a trouvé de plus simple et surtout de plus élégant, quoique très-général.

Soit A , fig. 65 , le cenlre du cercle donné , et C le point extérieur («,«), désignons par S* , les coordonnées du point de contact inconnu, nous aurons, par la formule (i2), fi'y -H«'x = /•’ pour l’équation de la tangente. Mais comme elle doit passer par O, on pourra mettre », ^, à la place de ce, y, ce qui donnera;

d'un autre côté le cercle donne :

et voilà les deux équations qui doivent être combinées pour la solution du problème, lleüanchons la. première de la seconde pour avoir ;

complettons les deux carres :

(fi-s + + («”—««' + 1 «») = (!/»)* + (!«)*;

écrivons seulement :

Comparons actuellement cette équation avec la première formule (5} du n*. 167, et nous verrons qu’en supposant «' et 0 variables, et les représen' tant par x et y, cette équation est celle d’un cercle dont les coordonnées du centre sont \ et dont le rayon est (i®)*» c’est-à-

dire l’hypoténuse d’un triangle rectangle qui a pour côtés de l’angle droit ces mêmes lignes dont nous venons de parler. Nous reconnaîtrons de plus que les coordonnées , fl' , sont communes à ce nouveau cercle , au précédent, et à la tangente.

Divisant donc • ou A* en deux parties égales, pour avoir } », qui est l’abscisse du centre du nouveau cercle , élevant sur ce milieu de « une perpendiculaire égale à I fl , pour avoir l’ordonnée du centre et le centre mémo C, et joignant ACG, cette droite, dont C est prcciséiimnj^ lc milieu , sera le diamètre du cercle en question, et en sera la

rayon. Ainsi en décrivant la circonférence de AC, elle passera ea A, en G,

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et coupera te premier cercle en deux points , qui seront les points de con> tact cherchés (Géoin. Append. Probl. XXH.).