DIGRESSION
Sur le sens du signe moins dans quelques formxdes.
197. Je crois avoir donné, au n*. 35 de l’Algèbre d’Emile, une règle auflisante pour l’interprétation du signe moins dans tous les cas. J’ai ajouté à cela, au n*. 63 de cette Application de l’ Algèbre à la Géométrie , que lorsqu'on arrive , après un calcul, à un résultat de cette fome:
xz=-±:k,
trouve de deux choses Tune, ou la valeur en — - peut être prise en sens Contraire de celle en +, sur une même ligne droite qu’elle, où elle est insignifiante. Or voici une question qui rentre dans celle du n*. 179 , et qui pourrait donner quelques doutes à cet égard.
Cherchons la longueur de AM fig. 67 , le point A étant fixe à l'extrémité du diamètre , et le point M pouvant varier sur la cotirbe. Si on nonune cette longueur 1, on aura évidemment :
P = (r + + ou 1* = /•* -1- 2ra; -t- X* + y* ;
substituant la valeur de x* + y* tirée de l’équation du cercle , ou r* , il viendra :
î»=2r* + 2rx, et > = ± \/2/- (r-l- x) . . . . (1).
Alors, dira-t-on? si l’une de ces valeurs est AM, l’autre sera AM , quantité qui n’est point prise en sens contraire de AM, et qui pourtant n'est pas insignifiante.
Pour répondre à cette objection , il suffira de généraliser le problème. Supposons que le cercle de la fig. 58 soit rapporté à des axes obliques , et que ceiKndant l’origine soit toujours au centre , puis cherchons la longueur de AM ou de 1. Nous aurons, en faisant /?= 1 (n°*. 100. 137 j:
»* = (r-f-x/>4-y'+2(r-l-x) y. cosr,
î* X r* -J- 2rx 4- X* + y* •+■ 2/ y . c w V + 2xy . c w y ;
i48 D IC SC s 110 N
substituant la râleur de ar* + y* + 2ary. cos >, tirée de l'équation du cercle aux coordonnées obliques [(3) n®. 167], savoir r®, on obtiendra;
= 2r* 4- 2rx + 2ry. cos y ,
d'od U résultera :
> = ± V^2/-* + 2/x + 2/y. eos y .... (2).
Or si l’une de ces valeurs représente AM , l’autre ne peut pas représenter AM' , parce que ces deux lignes ne sont pas égales ; donc la valeur en *— est insignifiante.
, Si on voulait AM , il faudiait prendre y en moins , et l’on aurait ;
> = 4: \/2r* + 2rar — 2ry. cos r . . . . (3) ;
formule dans laquelle la seconde valeur serait encore insignifiante.
. Sur quoi il faut bien remai’quer que les longueurs de AM et de AM' sont données par les deux valeurs de 1 en + dans les deux formules {2j et (3) » que L’on pourrait du reste réunir de cette manière :
* = + •v/2/- (r + a:) 2ry. cos y .... (4).
Donc les longucms de .d A/ et de AM' de la fig. 57 doivent aussi résulter de (4), et cela sans mettre le signe — au devant du radical, et en faisant seulement cos r = o, à cause des coordonnées rectangulaires. On trouve ainsi, pour représenter l’une et l'autre de ces longueurs,
d’où l’on doit conclure qu’elles sont égales, et que la valeur en — de (I) est insignifiante.
Confiimons encore ce résultat par un ou deux cas particuliers ;
' 1®. Si X = r , fig. 68 , comme on a alors y — o, la formule (2) donne * = 4: 2r, et la valeur en — ne pouvant pas représenter une autre ligne que la valeur en + , savoir le diamètre AB , est sans doute insignifiante.^
2*. Supposons que l’angle y soit les | d'un droit, on aura
cos y = cos I = siii i = il , puisque /? = 1 . Alors si on fait x = o ci y= r , ce qui s’accorde évidemment , la formule (2) donnera > = La pre-
mière valeur est bien celle de AM ( n®. 8 ) , parce que dans nos suppositions actuelles le point M est sur l’axe des jr, et l'arc AM vaut 1 1 ou c’cst-à-dire qu’il est le tiers de la circonférence; mais la seconde valeur
