CHAPITRE X

Des seetions conùpies en general; déjinitions diverses ^ équations, rapports de ces courbes entr elles.

199 . ^loüs allons maintenant parler de trois courbes connues fort anciennement des Géomètres , la Parabole, VEUipse et {'Hyperbole. Ce qu’ Archimède nous a laissé sur cette matière prouve qu’on s’en était occupé avant lui , et Apollonius , qui vint ensuite , composa , il / a déjà deux mille ans , un bon ouvrage élémentaire sur ces courbes. On a eu depuis tors ceux de Grégoire de St. Vincent, de la Hire , de Guisnée, de l'Hôpital, de La Chapelle , etc. ; et enfin Descartes , Newton , Euler, et Cramer ont donné des traités très-étendus sur toutes les courbes en général.

' n faut observer à cét égard, que les premiers auteurs que nous venons de citer ,'jusqu’à Guisnée , n’ont point fait usage de l’Algèbre ilans leurs démonstrations; les uns ne pouvant se servir d’un instrument qu’ils ne connaissaient pas encore , les autres n’osant peut-être pas s’écarter de la méthode des anciens. '

. Ces courbes, ont reçu , dès leur origine , ^Ic nom de Sections coniques , parce quelles résultent de l’intersection du plan avec la surface du cône droit ou oblique. Mais on peut encore les décrire par différens procédés , ou les tirer de l’équation générale à deux indéterminées du second degré. Les anciens , qui les ont observées les premiers , (>nt ignoré leurs usages dans la physique et dans les arts ; la Parabole est la courbe que décrivent en tombant les corps qu’on lance parallèlement ou obliquement à l’horison; elle sert donc dans le jet des bombes ; elle sert aussi dans l’excavation des mines, dans les porte-voix, dans le calcul du cours des comètes. L’Ellipse est la courbe que décrivent les planètes autour du soleil, et les satellites autour de leurs planètes principales ; elle est utile dans l’optique , dans la construction des porte-voix et des cornets acoustiques , dans le calcul des voûtes. L’Hyperbole se rencontre de même dans quelques-uns des phénomènes de la nature , et elle trouve aussi quelquefois son application dans l’optique. Les trois courbes s'emploient enfin pour la résolution de certains

SECTIONS CONIQOES: DÉFINITIONS, èÇüATIONS, CtC, t5* juroblèraes de géométrie tianscendante , et pour la conitructioa des équa-. tiuns du troisième et quatrième degré.

Quant à leur nature , elles ont entr’ellea et avec le cercle de très-grands rapports ; c'est ce qu’on aperçoit bientôt lorsqu’on les tire des sections du cône , ou de l’équation générale à deux indéterminées du second degré» Mais en suivant ce dernier procédé, elles ne paraissent être au premier moment que des êtres fantastiques, dont les contours ne se dessinent pas à nos yeux , et que nous ne connaissons que sur parole. Leur description par te mouvement continu d’un style , nous met bien plus vite en contact avep elles, et nous les montre d'ailleurs comme à nod et sans accessoires étrangers : nous assistons alors à leur formation, et nous voyons naître avec elles les points et les lignes auxquels on doit les rapporter. C'est à peu près ainsi que nous les oflVe la nature,, quand nous suivons de l'œil le mouvement d’un projectile, ou celui d’un corps qui circule autour d’un point En revanche , nous n’apercevons pas tout de suite » de cette manière , les rapporta qu'elles ont entr'elles . nous ne voyons pas assez que ce sont des individus unis entr'eux pai' les noeuds les plus cU'oits et ne composant, pour ainsi dire, qu’une seule et même famille. Essayons donc de suivre une marche qui participe aux avantages de ces diverses méthodes.

200. Soient XX', Yï' , fig. 69 , 70, 71 , deux axes indéfinis et rectangulaires; par un point T', pris sur l’axe des i, à une certaine distance de l’origine A, menons l indéfinie T' LO' faisant avec cet axe, ou un angle de 50”, fig. 69, ou un angle plus petit, fig. 70, ou un angle plus grand, fig. 71 ,mais en général moindre qu’un droit; faisons AF— AL, puis ayant élevé sur l’axe des x, jusqu’à la rencontre de la ligne T' LG' , tant d’ordonnées FG , P N , P N , etc. que nous voudrons , supposons que l’indéfinie FAX' tourne sur le point F, comme sur une espèce de centi'e, et vienne rencontrer successivement les différentes ordonnées ; qu’en même tems le point A parcourre l'indéfinie mobile, et passe avec elle par les points M,G' , M, etc., les deux mouvemens se réglant d’ailleurs l’un l’autre de manière que le point A, toujours placé sur la ligne tournante, se maintienne à une distance de F telle que l’on ait chaque FM égale à l’ordonnée correspondante PN , nous aurons une courbe dont nous allons rechercher l’équation,.

On a dans les trois figures :.

{53 SKCTIOWS CONIQUES :

désignant AF=i AL par l, chaque ordonnée NP de la droite T' LG' pur et chaque o'rdonnée MP de la courbe par y, on obtiendra:

Mai» l’équation de la droite T' LG' étant z = /jj; + /, si on substitua dans la précédente égalité cette valeur de 2 , on aura, toutes réduction» faite» :

c’est l’équation générale de la courbe , pour tou» le» ca*.

1®. Si l’angle tn que la droite T' LG' fait avec l’axe de» x est de 60*, fig. 69 , son sinus est égal à son cosinus , et l’on a A = = 1 ; alor»

l’équation se réduit à

C’est à cause de l’égalité du sinus avec le cosinus, ou de AL avec AT'., ou du carré de l’ordonnée avec le rectangle de l'abscisse par la constante générale 2/ ( 1 A), c’esi dis-je à raison de cette égalité , ou si l’on veut

de cette similitude , que la courbe a rcqu , dans ce cas , le nom de Parabole, 2*. Si l'angle m < 60*, fig. 70, le sinus est moindre que le cosinus, ensorte qu’on a A < 1 et A’ < 1 , alors le coétTicient de x» reste négatif, et l'équation conserve sa forme :

C’est parce que le sinus est ici plus petit que le cosinus , on que AL est plus petite que AT' , ou enfin parce que le carré de l’ordonnée est moindre que le rectangle de l'abscisse par la constante 2/ ( 1 + A ) , et cela de toute la quantité (1 — A* ) a:® , c’est dis-je à raison de ce retranchement qu’on a donné à la courbe actuelle le nom à' Ellipse.

3®. Si l’angle m > 60®, fig. 71, le sinus surpasse le cosinus, et l’on a A > 1 et A® > 1 ; alor» le coéfficieiit de X® devient positif, et l’équation <6’)-peut s’écrire ainsi :

=2/(1 +A)x-KA®— l)x* .... (3).

On a donc sin m > eos m , AL > AT' et le carré de l’ordonnée surpasse le rectangle de l’abscisse qar la constante 2/ ( 1 + A ) de toute la quantité ( /i® — 1 ) X*. Or c’est à cause de cette augmentation que cette dernière courbe prend le nom Ht Hyperbole,

DiFiNITIONS, ÉQUATIOKSi CtC. 153

201, L’angle étant de 60® dan» la parabole, fig. 69, on a toujours

FM — NP = T’P , et par conséquent FM > FP ; ensorte que la courbe ne rencontre l’axe de» x qu’au point A d’où elle part. Mais si on répète au - dessous de cet axe la construction que l'on a faite au - dessus , on Terra que la parabole est composée de deux branches égales qui s’éesu-» tent indéfiniment l’une de Tautre. Quant aux deux autres courbes , chacune d'elle» passe deux foi» sur l'axe des x, comme on peut le Toir par le» figures 70 et 71 ; car si Ton mène par F l’indefinie FI , faisant avec l’axe des X un angle de 50®, elle rencontrera l’indéfinie T' LC au-dessus de cet axe dan» l’ellipse et au-dessous dans l’hyperbole ; et JB étant l’ordonnée du point d'intersection , on aura IB = FB : ensorte que la courbe se retrouvera en B sur l’axe des ar. Mais d.ans l’ellipse FI s’éloignant ensuite de l’axe plus que T'Lff , les ordonnées NP à cette dernière ligne seront dès lors plus courtes que le» correspondantes, et il n’y aura plus de courbe au delà de B, tout comme il n’y en a point en deçà de A. Tandis que dans l’hyperbole le contraire aura lieu, et la courbe, manquant de A en B, se retrouvera au delà de B. En suivant d’un peu plus près ces détails, et en répétant d’un côté de l’axe des x la construction faite de l'autre , on verra que l’ellipse est une courbe rentrante fermée et limitée , et que l’hyperbole est composée de quatre branche» égale» , s'écartant de deux en deux indéfiniment l’nne de l’autre, et formant en quelque sorte deux courbes opposées par leur convexité. Tout cela résulte plus simplement encore de» équations de ce» courbes, comme il est facile de le voir en faisant dans (1), (j2), (3) , y = o, pour savoir où la courbe rencontre l’axe des x, en donnant ensuite à x différentes valeurs en plus et en moins , pour obtenir la valeur réelle ou imaginaire des ordonnées correspondantes , et en observant que, par la foime de» équations, on obtiendra, en général, pour chaque abscisse, deux ordonnées égales et de signe contraire. Mars il était bon de suivre de l’œil la formation de ces courbes, d’après le procédé que nous avons adopté pour le» décrire. ' ’

Essayons maintenant de simplifier les équations (1), (2), '(3); ce sera faciliter la recherche de» propriétés de no» courbe». ' ' ' ’ ‘

202. Si nous comparons le demi-coéfficient de x de l’équation générale (C/) , savo'u: / ( 1 4- A ) , avec le second membre de l’équation ; i

* = Aar ■+•/, qui est celle de la droite T'I/j , nous verrons que ces deux» quantités deviennent égales quand on fait dans la dernière x — l; Ynais en

154 SECTIONS CONIfirUBS?

faisant AF on obtient la valqur de l’ordonnée PG' } donc . . . ^

FO' = lii +A), et 2FG' = 2/( 1 + A).

Il faut remarquer que cette ordonnée /'O' , la seule qui soit conunune à la droite T' LG' et à la courbe ^ concoml à régler ou à mesurer en, quek que sorte la grandeur de celle-ci ; c’est pourquoi on l’a nommée , en la pre^ nant double , le paratnèlre de la courbe , et qn la désigne communément par p.

Or comme le point F, d'où partent toutes les dioites FM , qui vont,', en s’écartant les unes des autres, déterminer les difiérens points de la courbe,, peut être considéré comme un point rayonnant , nous l’appellerons foyer ;• et nous dirons que le parapiètre est la double ordonnée qui passe par le; foyer..

Faisant donc 2FG' = 2Z(1+A)=p, et substituant cette valeur dans, les équations , on aura , pour la parabole :

pour l’ellipse ;

y'=px—ii .... (5),.

pour l’hyperbole :

if =px 4- ( A* — 1 ) X* (6).

Et l’on remarquera que le rectangle dont nous avons parlé au n*. 200 , t%, 2“, 3”, n’est autre chose que le rectangle de l’abscisse par le paramètre.

On remarquera aussi que dans (2) et (3) les constantes sont A et / , et que dans (5) et (6) les constantes sont A et p ; et il est clair qu’on pourrait trouver deux autres équations dont les constantes seraient l et p. En général il faudra deux constantes pour déterminer la courbe, parce qu’it faut deux données pour fixer la position de T' LO' relativement aux axes. La parabole ne lait pas exception , parce qu'elle a une donnée fixe , savoir l’angle de 60°, d’où résulte A = 1 pour tous les cas; or cette donnée est toujours sous-entendue.

203. Au lieu de rechercher les équations de l'ellipse et de l’hyperbole en l ttp, arrêtons-nous à une autre constante qu’on a coutume d’introduire dans CCS équations; c’est la grandeur fig. 70, 71, que nous désigne, rons par 2c , en la considérant comme partagée dans un point C, en: deux parties égales valant chacune c; tout comme le diamètre d’im cercle se xeprésenie par 2r lorsque le rayon est représenté par r. Cherchons donc

DÉFINITIONS, ÉQDATIONS, CtC. (55

à exprimet au moyen de c et de ;; la valeur du coéfficicnt de a* , c’est-àdire la valeur de I — A* ou de i.

L'équation de T' LG' étant :

z = hx + l.

et celle de JF étant, à cause de sin m' = cosm', (m' est l’angle de cette di'oite avec l’axe des x), et de Af{= AF=:AL,

si on en tire par l’élimination la valeur de x , ce sera celle de l’abscisse commune AB, ou de la constante 2c. Or en retranchant la première équation de la seconde on obtient :

a: ou 2c = ^ (7);

mais nous savons que 2l + h) = p ; donc l = » »ubstituant cette

valeur dans celle de 2c, on ti'ouve, après les réductions:

et par conséquent

J’ai mis le double signe au second membre , parce que si /t < 1 , comme dans I ellipse , 1 — h* est en -f-, et si A > 1 , comme dans l’hyperbole, 1 — h* est en — .

Substituant donc cette valeur dans (,U) , et mettant ^ à la place de . . . ' 2/ ( 1 -f- /i ) , ,on obtiendra :

C'est l’équation des deux courbes, avec les constantes p et c. Elle représente même la parabole dans le cas où .le dernier terme est nul. Or pour qu’il soit nul avec une valeur quelconque de x, comme il le faut ici, on doit avoir c = J , parce que le paiamètre ne peut pas être nul , tant que la courbe existe réellement. Ainsi l’on peut considérer la pai abolc comme une

156 SKCTIONS coniques:'

ellipse ou une hyperbole dans laquelle la quantité c est infiniment grande.

204. Mais il y a encore une constante bien remarquable dans l’ellipse ; c'est la double ordonnée DD' qui passe pai- le point C, fig. 70 ; désignons-la par .'2c' , et cherchons sa valeur dan» (9) , en y faisant x — c , nous trouverons :

y ou c' = i/» > 2c' = ^2cp ... (10) ;

ce qui prouve que 2c' est moyenne proportionnelle entre 2c et p.

Maintenant si par le point C dans l'hyperbole , fig. 7 1 , nous menons une perpendiculaire DD' , moyenne proportionnelle entre 2c et p, et partagée eu C en deux parties égales » cette perpendiculau'e , désignée aussi par 2c', jouera dans l’hyperbole le même rôle que DD' , fig. 70 , joue dans l'ellipse. Sur quoi l’on observera que si l’on calculait, au moyen de (9), la valeurde l’ordonnée au point C pour 1 hyperbole , en faisant dans celte formule X =■ — c , et prenant le signe d’e n ba s , on aurait y = | cp ; ensoi-te

que c', que nous faisons égal à cp, n'est autre chose que l'ordonnée ou point C prise comme réelle , ou rendue réelle d’imaginaire qu'elle était.

205. Voilà done le point C qui se trouve à égales distances d’abord des points A ci B el ensuite des point» D et Z)', qui appartiennent tous quatre à la courbe dans l'ellipse, et dont deux seulement appartiennent à la courbe dans l’hyperbole ; cxanûnons maintenant à quelle distance il se trouve en général de tel ou tel point pris sur l’une ou l'autre de ces courbes. O.ési' gnons cette distance par ), nous aurons évidenunent :

js= (i q; + ,

équation qui doit s'accorder avec celle de la courbe,.

- Px'

y^ = px^—.

cl avec celle de la droite qui passe par le point C, (.±:CyO), et qui A, par conséquent cette forme :

*/ = a(xTc).

Faisant le calcul préc'wément comme au n”. 179 , nous obtiendroQs uneéquation du second degré en S , d^ laquelle nous tirerons :

i = ±cV^

-p ( t + a*) 2ca' P

DÉFINITIONS, ÉQUATIONS, etc. .167

Cette fbrmule prouve que la valeur de ï sera toujours possible dans l’ellipse, mais qu’elle ne le sera dans l’hjperbole que quand on aura 2ca ■<p. Si l’on supposait pour cette courbe 2ca^ = p, on aurait î = |, c’est-à-dire qu’alors la droite passant par le point C ne rencontrerait la courbe qu'à une distance infiniment grande, ou ce qui revient au même, ne la rencontrerait pas du tout ; non plus que sous un angle plus grand et qui donnerait 2ca* > p. Mais en général on voit que > a deux valeurs égales et de signe contraire, ce qui prouve que lorsqu'une droite qui pusse pai' le point C rencontre la courbe (ellipse ou hyperbole) elle la rencontre, de part et d’autre, en deux points également éloignés du point C.

De là vient que ce point , placé toujours à égales distances des points opposés de la courbe, de deux en deux, a été nommé le centre; et que l'on appelle diamètre toute droite qui passe par ce point (*).

Sur quoi il faut observer que si un diamètre aboutit à la courbe , comme cela a toujours lieu pour l’ellipse , nous regai'derons sa partie interceptée comme sa longueur ; et que si un diamètre n'aboutit pas à la courbe , comme cela peut arriver dans l’hyperbole , nous chercherons à déterminer sa longueur en rendant son expression réelle d'imaginaire qu'elle était ,. comme nous, avons fait pom' la ligne DD' (a”. 204.) Le centre étant infiniment éloigné dans la parabole , tout diamètre de cette courbe qui aboutit à la partie finie est. parallèle à l’axe des Xt et réciproquement, on peut considérer toute droite ‘ partant de la courbe et parallèle à l’axe des x comme étant un diamètre.

206. Quant aux lignes AB et DD' , qui sont aussi des diamètres , elles ont ime propriété particulière ; c’est que si l’on fait tourner les figures sur ces lignes , comme sui' des axes , la portion qui , est d'un côté de la ligne vient s’appliquer exactement sur celle qui est de l’auti'e côté. Cela résulte- 1 *. de ce que l’angle des coordonnées est droit, 2*. de ce qu’à chaque abs-. cisse il répond deux ordonnées égales et de signe contraire (n°. 201 3*. de ce que les ordonnées placées à égales distances du centre sont égales ,. comme nous niions le démontrer. Supposons CK-=: 73, 74, on.

aura UB= AK = x; ainsiyi/f=:t(2c^/fj9) =± (2 c^x). M ettons, donc cette abscisse AH ou ±(2c^i) àla place de AK ou de x dans.

(*) Ce n’est pas là la définition la plus générale de ce mot, lorsqu’on l’apr. plique à des courbes quelconques ; niais elle convient du moins à toutes les sec-, tious coniques , aussi bien qu'au cercle , et cela suffit pour notre but actuel.

158 SECTIONS CONTQOES:

(9) , et cette équation se retrouvera la même après les réductions ; ainsi la valeur de l’ordonnée sera la même.

II est facile de voir, au simple coup-d’œil, que si les figures tournaient sur toute autre droite passant par le centre que les droites AB et Diy , une des pallies ne s’appliquerait pas exactement sur l’autre. C’est à cause de la propriété particulière de ces diamètres AB, Diy , qu’on leur a donné le nom A' axes, en prenant ce mot dans un sens un peu différent de celui que nous lui avons donné jusqu’à présent (•). La ligne AB = 2c, dans l'ellipse et l’hyperbole , c’est-à-dire celui des deux axes qui passe par le foyeit, s’appelle le premier axe , et la ligne DD" = 2c' s’appelle le second axe. De plus les extrémités du premier axe', c’est-à-dire les points d et .S où il rencontre la courbe , se nomment Us sommets. Quant à la parabole , fig. 69 , elle n’a qu’un axe indéfini AX et un seul sommet A. Mais dans le cercle tous les diamètres sont des axes , et tous les points de la circonférence sont des «ommets.

Du reste l’équation (8) fait voir que dans l’ellipse, où /i* < 1 , le premier axe est plus grand que le paramètre , et par conséquent plus grand que le second axe, qui est une moyenne proportionnelle entre ces deux lignes; c’est pourquoi les deux axes sont souvent appelés dans cette courbe le grand axe et le petit axe.

’ La même formule prouve que dans l’hyperbole , où > 1 , le premier axe peut être égal au paramètre , ou plus grand , ou plus petit que lui ; d’où il résulte qu’il peut être égal au second axe , ou plus grand , ou plus petit que lui. On reconnaîtra tout cela plus facilement en écrivant ainsi la formule (8), pour le cas de l’hyperbole :

p. cos^m

et en faisant successivement rin- m — 2 cos^ m , rni* m = J cos^ m, et . . . sin* m '= 3 coi^ m ; ou d'autres suppositions analogues à celles-là.

207. Si l’on fait dans l’équation (9) x = l et y = îp, on obtient:

(•) Il paraît qu’on a d’abord m les axes comme nous les voyons dans ce moment', et qu'on a ensuite généralisé l’idée, eu appliquant le meme mot aux axes obliques et à ceux qui ne partagent pas k$ ordonuc'cs eu deux parties égales. ’*• ' - ‘ '

siriNiTiONS, ifivAriONS, etc.

Dp' 2P

lp^z=pl-h —, d’où p==4/-t-— .... (tl)v

c'est la valeur du paramètre en c et /. Et comme le dernier terme s’an^ gulle en supposant c = U en résulte que dans la parabole le paramètre vaut quatre fois la distance du sommet au foyer, qu’il est plus petit dana l’ellipse, et plus grand dans l’hyperbole.

D’ailleurs, puisqu’on a pour la parabole y' =px, ou a? : y :: y : p^ et puisqu’on a pour l’ellipse et l’hyperbole (n®. 160 ) 2c 2c' :: 2c' : on peut dire que dans la première courbe , le paramètre est une troisième proportionnelle à une abscisse quelconque et à fordonnée correspondante; et que dans les deux autres , le paramètre est une troisième proportionnelle au premier axe et au second. Mais le caractère général de cette ligne c’est d’ètre égale à la double ordonnée qui passe par le foyer, ou à 2/(l-f-/0; quantité qui se réduit tout d’un coup à 4/ quand on fait h = l , comme il le faut pour la parabole ( n°. 200 >.

208. Si on substitue dans ( 10) la valeur de p que nous venons de trou-> ver (11), on aura pour la grandeur du second axe en c et

Cela posé il sera facile de trouver la valeur de FD, fig. 70, et de AD y, ig. 71.

On a FD' = c'* + ( c — /)*, et si l ’on met ici la valeur de c'* , tirée d» ' l’équation précédente , on obtient Fü' = 2/c -r- P- + c*— 2/c + /*= c* ^ d’où il résulte FD = c.

On a, dans l’hyperbole, ALr = c'* +■ c*, et si l’on substitue ici la valeur de c** , tirée de (t2) , on trouve AD* = c* + 2/c + /^; d’où U résulte . . .. AD=c+l = CF.

On a donc , pour Ica deux courbes ,

cP=c'^<r-.

Enfin si on voulait trouver la valeur de FB = 2c ^ /, on tirerait dte (12) c'“ = / ( 2c ^ /) ; ce qtH donnerait / : c* : : c' : 2c ^ /;. eusorte quft FB est troisième proportionnelle à / et c'.

Ces résultats pourront nous être utiles.

209. Observons maintenant que nous avons eu dhns l’ellipse et l’hyper--

160 SECTtOKS eoNiQUÏS:

bole cinq constantes, h, l,c, </ , etp, qui prises de deux en deux peuvent fournir des équations de ces couibes (n*. 202); on en pourrait donc trouver dix différentes pour chacune d’elles avec ces constantcs-là. Nous avons examiné celles en A et / (2) et (3), celles en A et p (5) et (6), et celles en c et P (0) ; vo/ous encore celles en c et c' , qui sont simples , élégantes , et fort usitées.

On peut tirer de (10) p = ( voyes aussi n®. 207) ; substituant cette

valeur dans (0), on a:

y*= ^ (2cxrTx*) .... (13); , ,

c’est l’équation au sommet et aux axes.

Si l’on veut avoir l’équation au centre et aux axes , ou transporter l’origine au centre, il faut mettre dans (13) x-f-c à la place de x pour l’ellipse , et X — c à la place de x pour l’hyperbole , comme il est facile de le voir par les figures. On aura ainsi , pour la première courbe «

et pour la seconde :

Sur quoi il faut observer que l’cquatiou (lé) devient l’cquatioh( 15) en y changeant c' en c' y' — 1.

2 1 0. Toutes nos équations au sommet prouvent que pour chaque vakur qu’on Voudra donner à x, on aura deux valeurs de y, réelles ou non , mais égales et de signe contraire ( n*. 201), sauf dans les points où la courbe rencontrera l’axe des x et où y sera nul. Il en résulte, comme nous l’avons déjà dit ( n*. 206 ) , que cet axe partage les trojs courbes , chacune en deux parties égales , qui peuvent se superposer quand on plie la figure suivant cette ligne. f )

On voit de même par (14) et (15), qui sont les équations au centre de l’elIipse et de fhyperbole , que si l’on donne successivement à x deux valeurs quelconques égales et de signe contraire, il en résultera les mêmes valeurs pour y , p.uce que cas équatioas ne contiennent qtw la seconde

puissance

DériNITIONS, iftQDATIOlTS, «tC. 161

puimnce db x ; ce qui signifie que la portion de la courbe qui est d'un côté du centre est semblable et égale à la portion qui est de l'autre côté ; ainsi ces portions , connue nous l'avons aussi vu ( n*. 206 ) , se superposeront exactement quand on pliera la figure suivant le petit axe. L'un des sommets ira donc se placer sur l’autre sommet , et le foyer F marquera suc l’axe un autre foyer F ' , depuis lequel on pourrait supposer que la courbe a été décrite, en plaçant convenablement la ligne T'LG' ; et l’on aura. , . BF' — AF.

Quant à la parabole , elle n’a point de centre ; elle n'a qu’un axe , qu’un sommet , et qu’un foyer ( n°*. 205. 206 ). Dans les deux autres courbes , la distance du centre à l’un des foyers , s’appelle ï excentricité.

21 1. Si on voulait supposer que la ligne T'LG' , fig. 71 , tournât surle point JL en se rapprochant de l’axe des x , h diminuant , sans que l changeât , la courbe deviendrait d’hyperbole parabole, et de parabole ellipse. Ce mouvement continuant ensuite, dans le même sens, on voit par (7) que 2e diminuerait, ou que le point B, fig. 70, irait en se rapprochant de F, et par conséquent I aussi. Enfin quand T'LG' se trouverait parallèle à l’axe des X, on aurait h = zéro, 2c — 2l [fonnule (7)] , et l’équation (2) deviendrait :

y* = 2lx — a?» ou y* = 2cx — a:’ ;

équation d’un cercle qui a l’origine au sommet et dont le rayon est / ou e (n“. 166).

Si T'LG’ effectuait le même mouvement en tournant sur un autre de sea points, au lieu de tourner sur Z, / irait en augmentant ou en diminuant, pendant que h diminuerait , et par conséquent , ou F s’éloignerait de A , ou il s’en rapprocherait , et la ligne Fl se mouvrait parallèlement à ellemême, en suivant le point Z; quant à B, ce point pourrait, suivant les ~ras, ou restera sa place, ou se rapprocher de il, ou s’en éloigner; mais lorsque 2" LG' se trouverait paiallèle à l'axe des x, la courbe serait encore un cercle , qui aurait pour rayon la grandeur acquise par AF.

Si la ligne T' LG’ tournait sur le point T' en se rapprochant de l’axe des X, les quantités h, /, et 2c iraient en diminuant, de même que p, ensorte que les points F et B se rapprocheraient àe A ,\c point 7. se rapprocherait de ^ et de E, et le point O’ aussi ; enfin quand la ligne T’LG’ serait couchée sur l’axe des x, toutes les quantités ,h,l,2c,p seraient nulles, et la fonnule (2) donnerait ^*=5-— a:*, et ÿ = .y/ — a;*, équition qui ne

|(J2 SKCTIOIÏS CONIÇOïSr

pourrait être satisfaite qu'en faisant en même tenu a; s o et t/ssû; la courbe ne serait donc plus qu’un point.

On pourrait aussi voir cela de cette manière : faisant d'abord h = o, l’équa* tion (2) deviendrait celle d'un cercle ayant l pour rayon ; mais ici l est encore nul, donc ce cercle dont le rayon est nul n'est autre chose qn’un point.

Si dans les trois figures la ligne T'LG,' vient passer en ^ , on a AL = o , et par conséquent AF ~ AL = zéro ; ainsi la ligne IF passe aussi en A.

Alors 1’. si m < 50°, la portion de IF qui est au-dessus de l'axe passe aussi au-dessus de T'LG' , le point J et le point B, iig. 70, se réunissent en A , avec les points T'y L, et F, et toute l’étendue de là courbe , toujours comprise entre ses deux sommets et , se trouve ressen-ée en un seul point. En effet chaque NP étant plus petite que chaque distance coiTcspondixnte T'P , ne peut plus , étant portée de F en M, ou de T' en Af, rejoindre NP. Ce résultat estaussi confirmé par l’équation (2), qui devient, en faisant /= o, ÿ* = — (1 — h*) et qui ne peut être satisfaite qu'en supposant x = o et y = o,ce qui indique un point.

2®. Si m = 6ü°, la ligne JF se confond avec T'LG', fig. 60, chaque N P étant alors égale à chaque TP ou FP correspondante , tous les points de la prétendue courbe viennent se placer sur l'axe des x. En effet l'cquation (1) , en faisant / = o, devient y* = o, d'où y = o, ce qui n’est autre chose que l’équation de l’a.\c des x. C’est dpnc à cette droite que se réduit la courbe dans ce cas. >

3*. Enfin si m > 50° la partie de IF qui est au-dessus de l’axe des x passe au-dessous de T'LAJ' , le point / et le point B, fig. 71 , se réunissent en A, avec les points T‘, L, et F ; mais la courbe n’étant jamais, sous cet angle, comprise entre les points A et B, ne se trouve pas , comme dans le premier cas, resserrée en un seul point. Pour savoir ce qu’elle devient, faisons dans ( 3j / = o, et nous aurons = (/i* — 1 ) a:*, d'où ,

y = ±\/ h* — 1.x; équation de deux droites qui passent par l'origine, et dont les tangentes trigonométriques (n°. 121), étant égales et de signe contraire , sont prises en dessus ét en dessous de l'axe des x. Chacune d’elle vaut, à part le signe, /i* — 1. Les hyperboles se réduisent donc ici à deux droites, et leurs quatre branches deviennent les côtés de deux angles, opposés au sommet. Voyons une application paiticulicre de cela.

Si on voulait que la première de ces droites se confondit avec Fl, il faudrait que sa tangente trigonométrique fût i , afin que l'angle qu’elle fait

rÉFlNITIONS, ÎQÜATIONS, CtC. • J6S

a^ec l’axe des a: fût de 60® ; on aurait donc \/h^ — 1=1 et A* —<1 = 1, d’où l’on tirerait A ou ^-2 = \/2; ensorte que cos m : sin rn:: i : y'2. Il faudrait donc, après avoir pris T' P à. volonté pour 1, construire un carré sur cette ligne, et faire la ligne PN , correspondante à T'P , égale à la diagonale de ce carré ou à y^2; menant alors T' N, et construisant comme au n”. 200 , tous les points de la prétendue courbe se placeraient sur fli L’équation iU) peut donc représenter un point , une droite , deux droites , un cercle, une ellipse, une parabole, et une hyperbole. Si l’on y fait h et.I nuis , elle devient y — x' ; si l’on y fait l nul et A < 1 , elle donne y z= — (i — d’où l’on tire egalement x = o et ÿ = o ; c’est

le cas du point Si l’on y fait / nul et A = 1 , on trouve y = o ; et si l'on y fait l nul et A > 1 , on trouve y = ± — 1 . a: ; ce sont les équa-

tions d'une droite et de deux droites. Si l’on suppose simplement A nul, on obtient y* — 2lx — o:“; c’est l'équation du cercle. Si l’on a A < 1 , le dernier terme reste en — et c’est l’équation de l’ellipse. Si A = 1 , il vient y^ = 4/a.- ; ce qui repré.sente la parabole. £nân si on prend A > 1 , le dernier terme devient + et l’on a l’hj perbole. '

Ces résultats peuvent aussi se tirer plus ou moins facilement des autres équations, excepté celui des deux droites. Prenons, par exemple, l’équation (9). Si l’on y fait p nul , on a y = o ; si l’on suppose p — 2c, et qu’on donne au second terme le signe — , on trouve y* = 2cx — a* ; et si dans ce résultat on fait de plus c nul, on obtient y = y' — a*. L’équation tell® qu’elle est, avec le signe — au second terme, est celle de l’ellipse , et avec le signe -|- celle de l’hyperbole. Enfin en supposant 2c = | , on a y^=px, équation de la parabole. Mais si on voulait , pour avoir les deux droites , faire dans l’équation avec le signe -J- , p = o et 2c = o , on n’obtiendrait autre chose que o = o , ce qui n’apprendrait rien. Du reste on voit par tout ceci que les trois courbes n’en font pour ainsi dire qu’une, sans parler du cercle , de la ligne droite , et du point , que nous avons vus être aussi représentés par les équations.

Remarquons enfin que l’équation (13) avec le signe d’en haut, et l’équation (14), deviennent les équations au sommet et au centre du cercle, lors- '

qu’on y suppose c' = c. C’est-à-dire que le cercle est une ellipse dont les axes sont égaux.

L’équation (13) avec le signe d’en bas, et l’équation (15), lorsqu’on y (ait c' = c, donnent y* = 2cx + a?’, et y* = .t’ — c*; équations au som-

164 SECTIONS CONIQUES: OÉriNIT. ÉQUAT., Otc. ,

met et au centre d’une h/perbole dont les axes 2c' et 2c sont égaux (n*. 206), et qu'on appelle, à cause.de cela, hyperbole ëquUatère. On voit par ce» équations , comparées à celles du cercle y* = 2cx — ac* et y* = c* — ■ x* , l’analogie qu’il y a entre ces deux courbes.

212. Au reste il est évident que les équations générales que nous avons eues pour les sections coniques, ne sont pas les plus générales que l'on pût obtenir, puisque nous avons toujours supposé les axes rectangulaires, et l’origine placée ou au sommet ou au centre. Ensorte que ces équations ne nous ont point pu redonner l’équation générale du cercle trouvée au n*. 166 , et qui n’aurait été qu’un cas particulier de l’équation générale des sections coniques , si nous avions commencé pai* cette équation.

Mais nous avons traité d’abord de la ligne circulaire , parce que nous en connaissions déjà les propriétés, et que nous voulicms voir comment elle» étaient représentées par les formules de l’algèbre (n*. 166); cet exercice devant d’ailleurs nous donner plus de lacilité pour d’autres recherches.

En abordant ensuite les sections coniques, nous avons donné au n°. 199 les raisons que nous avions potu- les décrire comme nous l'avons fait.

Enfin , quoique nous eussions pu conclure de ce procédé même l'équation la plus générale de ces courbes , nous avons préféré commencer par une équation moins composée et qui convint cependant à toutes ; d’autant plus que lorsqu’on discute les équations des courbes , pour reconnaître les propriété» de ces lignes , on tend toujours à les réduire aux formes les plus simples possibles.