CHAPITRE XI

FroprUUs des foyers^ de la directrice, des rayons vecteurs, et des

ordonnées.

213. L’ÉgüATiON z — hx + l (n®. 200), ou, ce qui revient au même, FM =hx-\-l, prouve que , dan* les troi* section* coniques , la distance du foyer F à chaque point de la courbe est une fonction rationnelle de l'abscisse correspondante: c’est-à-dire que hei l étant supposés rationnels, •i X l’est , FM le sera aussi. On ne le voit dan* cette équation que pour ui| des foyers ; mais ce que l’on peut affirmer de l'un de ces points , on peu( aussi l’affirmer de l’autre ; comme cela est évident par- le n°. 219.

Recherchons si quelqu’autrc point aurait cette propriété. Représentons par } la distance. d’un point quelconque (x', y'), pris dans le plan de la

courbe, à un point de la courbe même, il est clair qu’on aura

a* = (ÿ — ÿ'/ + (x — x')*, ou

y = y* — 2ytJ +y‘* + xi* — 2xxf + xf*.

Mais on voit par (,IT) que i ne peut être rationnel en x que dans le cas où le terme — 2y}/ , qui contient la première puissance de y , serait nul ; faisons donc en effet — 2yy' — o, et ÿ' = o ; il vient ainsi :

»• y» + a:* — 2xx' •+- x’*,

J*=2/(1+A)x — (1 — — 2xx' + x'* ,

J* = h*x* + 2 [ ZC 1+ A) — x'] X + x'V

Or le second membre de cette équation ne peut être un carré que dans le

cas où l’on a / ( 1 4- A ) — x' = hx' , et par conséquent

Z( 1 + A) = i' ( 1 + A), ou i' = /. Et puisque les coordonnées du point cherché sont / et zéro, ce point n’est autre chose que le foyer F.

Il semblerait d’abord qu’on ne trouve jamais ainsi qu’un seul point qui ait la propriété indiquée; mais ce que l’on dit d’un des foyers, on peut le dire de l’autre ; et d’ailleurs on peut tirer de (12), pour l’ellipse et pour l’hyperbole ;

SECTIONS CONIQüES:

ce qui donne , dan» chacune de ces courbe» , deux valeur» pour a* = Z; parce qu’alor» la quantité Z est considérée comme la distance du sommet à l’un de»

foyer» quelconque.

Déplu», dan» l’ellipse, c» — c'* = Cf*, (n*. 203), et dan» l’hyperbole, j £.'» =z cy (n®. 2ü8); ainsi l’on a, pour la première et pour la seconde de ces courbes :

l=c=hCF, l= — c±CF.

Ensorte que les deux foyei-s ont en effet la propriété indiquée ; mais cette propriété n’appartient à aucun autre point.

■ Du reste , si dans l’ellipse et l'hyperbole on voulait compter les abscisses flepms le centre , la conclusion ne changerait pas , puisqu’il suffirait de mettre dans le» formules x + c à la place de x , s’il s’agissait de l’ellipse , et x — c s’il s’agissait de l’hyperbole ( n”. 209 ).

2f4. Puisque dan» la parabole h = l , on a, par le n®. 213,

fM = X + Z = + -dT” = T'P. Donc si par le point T' , où la droite

T'LG' rencontre l’axe des x, on mène l’indéfinie Z Z' parallèle à l’axe des y , puis Af|Q parallèle à l’axe de» x , on aura FM = T'P = D’où il résulte que chaque point de la courbe est à luie mitne distance du foyer et de tindé finie ZZ' , qu'on nomme la Directrice.

Cette propriété peut être exprimée d'une manière plus générale , et qui convienne à toutes les sections coniques. Menons par le point T' , pour chacune des courbes, la Directrice ZZ', et la ligne MQ qui lui soit per-' pendiculaire ; comme on a toujours FM = AP , et MQ = T'P , on aura aussi :

FM AP JL sin m ^ MQ~Tl^~JT'~sin n~

C’est-à-dire que les distances de chaque point de la courbe au pranier foyer et à la directrice sont dans un rapport constant et égal à h.

Et comme dans la parabole 7i = 1 , on a FM = MQ ; tandis que dans l’ellipse FM < MQ, et que dans l’hyperbole FM > MQ.

Dans le cercle, la ligne T'LG' étant parallèle à l’axe des x (n®. 211), la direcüice est infiniment éloignée , et l'on a :

FM ■. MQ r. i:i, dou ~ =

rOTEKS, BÂTONS yiCTEDHS, ORDONNÉES. 167

comme cela doit être , car dan» ce cas m = o , sin m = o et A = o.