On a encore dans Tellipse et l’hyperbole

y = "r (2cx -t- x*>j y» =: ~ (2cx' q: x*»),

Donc :

y : ( 2 eHhx) X :: c'» :c*, y» ( 2 cqpy) *' c'» : c*,

y^:y.:(2c^x)x:(2cq::x')x’‘, etc.

etc.

C’est-à-dire que le carré de cltaque ordonnée au premier axe est au rectangle des segmens correspondons , comme le carré de la moitié du second axe est au carré de la moitié du premier ; et la seconde analogie du numéro précédent.

Les équations au centre donneraient les mêmes résultats , parce que . .

= + <^ — x), et quex» — c* = (, + c) (x — c).

218. Si on voulait prendre, dans ces deux courbes, le second axe pour celui des * et le premier pour celui des y, il suffirait de changer dans Ica équations au centre x en y et y en x, et l’on aurait pour l’ellipse : c'*

X — “ Ce* — >*), d’où l’on tirerait y ( e'* — x*).

On aurait pour l’hyperbole :

X = ^ Cy- — c*), d’où l’on tirerait y* = pj (x* + c'*);

équation que l’on pourrait encore écrire ainsi :

y = Ux + C') c* — c')+ 2 c'*].

Et ai on voulait ensuite transporter l’origine à l'extrémité du second axe , On mettrut x à la place de x dans ces équations ; ce qui donnerait , pour l’ellipse et pour Th/pcrbole :

(2c'x — x‘), y=^tx(r-2«') + 2c«].

170 ^ sectioks C0Ni(^as»:

Entorte que 1*. It carré de chaque ordonnée au second axe de Fellipsi est au recUmgle des seginens correspondons , comme le carré de la moilié du premier axe est au carré de la moitié du second ; et les carrés des ordonnées au second axe sont entr’eux comme les rectangles des seg~ mens correspondons.

2®. Le carré de chaque ordonnée au second axe de V hyperbole est au rectangle des segmens correspondons augmenté de deux fois le carré de la moitié du second axe , comme le carré de la moitié du premier axe est au carré de la moitié du second; et les carrés des ordoruiées au second axe sont entr'eux coirune les rectangles des segmens correspondons augmentés chacun de deux fois le carré de la moitié du second axe. , . ‘

On Toit que ces propriétés sont les mêmes pour les deux axes de Teilipse , mais quelles ne sont pas les mêmes pour les deux axes de l'hjrperbole Cn®. 217).

219. Les équations au second axe, que nous venons de trouver, outre celles au premier axe , que nous connaissions déjà , nous permettront une comparaison assez remarquable entre l’ellipse et le cercle, de même qu'entre l'hyperbole ordinaire et l'hyperbole équilatère.

1®. L’équation de l’ellipse au centre et aux axes , cn prenant le grand axe pour celui des x, est ;

et celle d’un cercle décrit sur ce grand axe pour diamètre , en appelani l’ordonnée est

Les ordonnées de ces deux courbes répondant aux mêmes abscisses, au. j ont donc entr’elles ce rapport :

et chaque ordonnée de l’ellipse sera par conséquent plus petite que l’oi> > donnée correspondante du cercle , dans le rapport du petit axe au grand.

En faisant la comparaison de la même ellipse avec un cercle décrit sur son petit axe pour diamètre, et cela au moyen de l’équation du numéro précédent, on trouvera y:Y::c:c'; c'est-à-dire que chaque ordonnée

rOTERS, RAYONS VECTEURS, OIDONNiES, CtC. 171

sn petit axe de l’ellipse sera plus grande que l'ordonnée correspondante du cercle, dans le rapport du grand axe au petit.

L’ellipse sera donc intérieure au premier cercle et extérieure au second. D’où il résulte que le premier axe de cette courbe est le plus grand de ses diamètres , et que le second axe en est le plus petit.

i'f'.'En comparant de même une hyperbole ordinaire avec deux hyperboles équilatères , l’une ayant ses axes égaux, au premier axe de l’hyperbole ordinaire , et l’autre au second , on trouverait aussi , pour l’un et l’autie de CCS cas:

y: y-.: c' :c, y : Vue; c',

Mais ici c' n’est pas décidément plus petit que c; il peut aussi être plus grand ( n*. 206 ).