CHAPITRE XIE
FroprUUs des s^canles^ des tangentes, des normales, et des tordes.
sttpplementairts,.
220. A^aintenant pour parler de» sécante» et de» tangente», et pour généraliser l’idée de ce» ligne» , nous dirons qu'une sécante est une ligne droite qui coupe une courbe en data ou plusieurs parties ; et qu’une lan~ gente est une droite que ton peut considérer comme ayant été sécante d'une courbe , et qui a changé de position de telle sorte que deux points dinterséction se sont réunis en un seul, par le mouvement supposé de cette droite.
U est clair d’ailleurs que par la nature d’une courbe , une même droite peut la toucher dans un on plusieurs points , et la couper dans d’autres.
221. Cela posé, concevons qu'une droite passe par un point C>, A), pris dans le pian d'une section conique , et qu'elle rencontre la courbe , puis cherchons à déterminer les coordonnées x, y , des points communs
Prenons d’abord, pour la courbe, l’équation (9) dUQ*. 203, et iàisow^ »
pour abréger, /, nous aurons:
>»=par + tx*:
combinant alors cette étpialiOn avec celle de la droite, c’est-à-diie aveccellc-ci ;
et raisonoAnt comme on l'a fait pour le cercle au n”. 17 1 , nous obtieor, drons :
jts=aot — (a»~«) — (O^
ia* — ê)x* — [2a(<»« — *)-+'P] * + (««■ — = o . (2>.
Sur quoi Ton observera que les abscisses sont ici comptées depuis le sonkv met, tandis qu’au n”. 171 , oû il s’t^issait du cercle, nous les avons con^ tées depuis le centre. Cest qu’alors nous cherchions à simpli£er> et qu'ac:
SECTIONS coniques: siCANTES, TANG., etc.
tuellement nous voulons des formules applicables aux trois courbes ; oi- la parabole n’a point de centre , ou son centre est infiniment éloigné. Concluons des équations (t) et (2) qu’une droite rencontre en général ime section conique en deux points ( voyez ^ n*. 171); reste à recherche^ s'il serait possible qu’elle n’eùt quelquefois qu’un seul point de commun avec la courbe.
222. Examinons d’abord si l’équation (2) peut être abaissée au premier degré, c’est-à-dire si l’on peut avoir a* — < = o, ou ce qui revient au même ;
Or cela n’est possible , ni pour l’ellipse , ni pour le cercle , parce que a , avec le signe — sous le radical , comme il le &ut ici , serait imaginaire. Ainsi la sécante de ces courbes les rencontre toujours en deux points (n*. 220).
Quant à k parabole , comme elle donne = o, à cause de 2c = |, on
mC
a , dans notre hypothèse actuelle , a = v'o = o; d’où il résulte que la sécante parallèle à l’axe des x ne rencontre la couiiie qu’en un seul point ; ce qui est d’accord avec tout ce que nous savons de la parabole.
Enfin prenant pour l’hyperbole le signe + sous le radical , comme cela. P 2c’* „
doit être, on a a* = — —, parce quep = (n®. 210): donc . .
a = — . Ainsi quand k droite qui passe par le point ( •■ , E ) fait avec l’axe
des X un angle qui donne a = — , elle est sécante et cependant elle net
rencontre la courbe qu’en un seul point.
223. Voyons encore si l’équation (2), en restant du second degi'é , ne pourrait pas avoir pour x deux valeurs égales ; ce qui réunirait les deiut points d’intersection de k sécante pour en faire une tangente (n*. 22dX Cela await lieu si, après avoir écrit ainsi l’éqnation :
SECTIONS coniques:
ir-4
ou avait (n°. 172 ) :
A- — t~ ~ "C-P — t y ' Or on lire facilement de là : *
Hp + 2h) ^ +
équation qui étant résolue do:inc ;
Mais si le point C * » ® ) c*t 1® courbe , on a C = p» + /«• , d’où il résulte que s'il est dans l’intérieur on a ^* < p» -f- <»’> et que s’il est extérieur, on a fS* >p«-|-t«’. Dans le premier cas le radical se détruit, et l’on aune tangente possible; dans le second, la valeur de A est imaginaire , et il n'/ a point de tangente possible ; enfin dans le troisième , il y a deux valeurs de ^ , et par conséquent deux tangentes (*},
224. Cherchons donc à présent l’équation de la tangente; il suffit pour l’avoir de mettre la valeur de A dans la fonnule y — a =z A {x — «). Mais, pour abréger, Contentons-nous de calculer cette équation pour le cas où le point ( « , ^ ) est sur la courbe , et où l’on a fl’ = p» + <•’.
On trouve d’abord :
ip + /.
ce qui donne ensuite pour l'équation de la tangente :
y = siLlLL (X-- «) fly = |p(æ + «) .. . . (6).
K. B. Pour calculer la seconde forme , on a multiplié par fl, on a sub#-' titué la valeur de fl’ , et l’on a réduit.
- — • iiii
(*) Pour conclure de cette fi>Rnnlc celle de la première note du n*.'173, il faut observer que daus le cercle p = 2r, c = r, t = —
Et si de ccIIc-U on voulait remonter à la formule (4) du meme numéro, il faudrait écrire « -f- r à la place de ».
SÉCANTES, tangkntes, etc. 175
Il ne &ut ^ai oublier que dan* ces équations les abscisse* sont comptées le long du premier axe , depuis le sommet. D’ailleurs elles sont générales pour les trois sections coniques et pour le cercle.
225. Voulons-nous par exemple l'équation de la tangente à la parabole ,
nous ferons dans (6) É = -j- = o ( n'”. 221. 222 ) , et nous aurons :
y — = By = \p{x + ») (7).
Voulons-nous l'équation de la tangente à l’ellipsç et à l'hyperbole , noua ferons dans (6) é = + ^ , et nous trouverons ;
11 y aurait d’autres formes encore à donner à l'équation de la tangente à l'ellipse et à l’hyperbole, même en comptant toujours les abscisses depuis le sommet; nous allons simplement noter ici les did'érentes valeurs d.e 4 qui conviennent à ce Cas ;
Avec le paramètre et le premier axe
iP
La première forme est celle cpie nous avons déjà vue; on en tire facllcH ment la seconde.
Avec les deux axes
La première forme se conclut de (9. 2*), en se souvenant que p ±=
(n*. 207 )\ la seconde se conclut de la première, en prenant la valeur de
• dans l’équation B* — , faisant toujours p = —, substituant et
réduisant.
Enfin, comme dans le cercle p = 2c = 2r , et que t ~ — l'(n”. 22 ^ ,, note), on tirera, ou de (6), ou de t8) avec le signe d'en haut, les équ.v tions suivantes de la tangente au cercle ;
sections CONIQDBS^
226. Pour avoir l’équalion de la tangente à l'ellipse et à l'hyperbole , eU comptant les abscisses depuis le centre , on pourrait mettre dans (8) ■ et * ± c à la place de « et de x , et de plus, si on voulait les deux axes,
à la place de p; on trouverait, après les réductions ;
cfly ± i p«x — dzi P<^* I dt + c* </* . . » . (12).
On pourrait aussi conunenèer par catculcr les valeurs de A relatives à ce cas , et les substituer dans l'équation y zt= A (x — «); mais il faudrait alors se souvenir que c* fl* = ± r'* ( r’ — «’ ) ( n*. 209 ) ; d'où U résulte que trfl» = ^ I P < c* — «* ). Ces valeurs de A sont ,
pout U centre et U param.
ip*
pour le centre et les axes t c'*«
La première se tire de (9. 2®), en mettant « ± c à la place de ■; et la seconde de (10. 1*.), de la même manière.
Enfin pour le cercle , on mettrait dans ( 11 ) « + r et x + ** à la place de • et de X , ou simplement on ferait dans (12) c = c'-=\p — r , en prenant le signe d'ea haut , et l'on trouverait , comoK au n*. 173 :
flÿ + «X = r*.
D’ailleurs on voit, par (13) et (14), que la valeur de A qui convient ici est précisément la formule (5) du n*. 172; tandis que pour le sommet on trouverait par (11) (n*. 225), une tout autre valeur. C’est-à-dire qu'on a;
pour le centre = — pour le sommet , A = —g—-
227. Du reste, en considérant les valeurs de A qui convienne'nt à l’ellipse, à l'hyperbole, et si l’on veut au cercle, il est facile de voir que les tangentes menées aux deux extrémités d'un même diamètre sont parallèles. Car si de ces extrémités on abaisse des ordonnées au premier axe , on aura deux triangles rectangles égaux, ensorte que les coordonnées d’un des points de contact seront égales chacune à chacune aux coordonnées de l'autre point de contact ; mais elles auront des signes contraires. Or la quantité À
ne
sécaVtes, tangentes, etc. 177
ne change point, ni dans (13), ni dans (1-4), quand on y change simplement les signes de * et de Æ ; et elle ne change point non plus dans (10. 2°) quand on y change le signe de 8.
Si on voulait obtenir le même résultat par (9) et (10, 1®.), il faudrait changer’ le signe de A, et mettre ±; (2c à la place de «, parce que les abscisses sont comptées du sommet.
228. Nous venons de voir l’équation de la tangente , elle nous servira à calculer la valeur de la soustangente (n*. 17.?), ou la longueur de la ligne TP,
fig 72, 73, 74. Il est évident qu’on a pour les trois courbes
2'P = AT -f- AP = AT + ». Or AT n'est autre chose que l’abscisse du point où la tangente rencontre l’axe des x ; faisant donc dans (6^ = o,
on obtiendra x ou
