IP + I

229. 'Voulons-nous, par exemple, la soustangente de la parabole? nous ferons t—o, cl nous aurons :

Soustang. parab. = 2«.

Voulons-nous celle de l’ellipse et de l'hyperbole ? nous ferons / =r i

cl nous trouverons, après les réductions :

soustang.

(eUip^, (= 2 :^.... ( 16 ).

( hyperb. ) c -j- «

Or de cette équation on peut tirer ces proportions :

c ^ : 2c ^ : soustang.,

2c ^ 2» ; 2c ^ : 2« : soustang.

Et comme avec le signe d’en haut le second terme de la seconde proportion est plus grand que le premier , et qu’il est plus petit avec le signe d’en

178 SECTIONS continues:

bas , te quatrième est aussi plus grand que le troisième dans le premier cas , et plus petit dans le second cas.

De tout cela il résulte que la soustangenU dans la parabole est égaie au double de F abscisse du point de contact; cpxelle est plus grande dans r ellipse , et plus petite dans V hyperbole.

Quant au cercle , en faisant dans (15) p = 2r et t = — 1 , on a ;

2r« — «» fl»

soustang. cercle = = .... (17).

230. Si on voulait la valeur de la soustangcnte dans l’ellipse et l'hyperbole , en comptant les abscisses depuis le centre , il faudrait mettre dans (16) zh ® 1® place de on trouverait, après les réductions ;

soustang.

f ellipse î ^ , I hyperb. J ~

Enfin pour le cercle, on mettrait dans (17) r — «à la place de •, ou simplement on ferait dans (18) arec le signe d’en haut c = r , et l’un trou> Tcrait, comme au n». 175 ,

, r* — «» fl»

soustang. cercle = = — .

231. Quant à la grandeur de la tangente même , considérée comme une ligne finie TM, il est évident, par les figures, qu’on a :

TM = fl* soustang.*

Nous ne nous arrêterons pas à faire ces calails ; nous avon.s vu le cas particulier du cercle au n®. 175 , les abscisses étant comptées du centre.

232. Cherchons maintenant l’équation de la normale MN (n®. 176). Elle

doitêtredelaformey — fl = -(*—»); mais ici — (n*. 179);

ainsi nous aurons :

Or dans la parabole 1 = o, ce qui donne ;

y~ ^ Tz (*““••)•,,. ( 20 ).

sécantes, TANaiNTESi c(c.

Dans l’ellipse et l’hyperbole ^ ~ ^ résulte :

Dans le cercle J p = r et < = — 1 , on a donc :

233. Si on voulait l’équation de la normale dans l’ellipse et l'hyperbole « en employant les axes et comptant les abscisses depuis le centre , il fau-

drait mettre dans (21) »±ceta; + càla place de « et de x, et — à la

place de t P, on trouverait après les réductions :

y~B=±tl (x-«) .... (23).

C’tt

Enfin pour le cercle , on mettrait dans (22) ■ + /'etar + ràla place de « et de a: , ou simplement on ferait dans (23) c = c' = r , avec le signe d’en haut, et l’on trouverait, comme au n*. 176;

234. Pour avoir la valeur de la sousnormale AT* (n”. 178), il faut prendre la valeur de l’abscisse NA qui répond à ^ = o dans l’équation de la nonn.ile , et en retrancher ensuite y//* = « ou l’abscisse cia point de contact. Faisant donc y = o dans (15) , on trouvera y = Ip -{• l "-{• » , et retranchant « , on aura :

Sousnormale générale = J p .... (24).

Ensorte que pour la parabole ,

Sousn. parab. = ï p .... (25) ;

pour l’ellipse et rhjqperbole,

SKCTIOKS comiques;

pour le cercle,

Sousn. cercle =r — « (27).'

Ainsi dans la parabole la sousnormale est égale au demi - paramètre ; elle est plus petite dans F ellipse et plus grande dans F hyperbole.

235. En comptant les abscisses depuis le centre , on mettrait J; ( c — • ) à la place de » dans (26) et l'on obtiendrait :

Sousn-

ellipse ) c'*

hyperb. 5 c*

d’où . . . sousn. cercle = «... (n“. 177).

236. Quant à la grandeur de la normale même , considérée comme une ligne finie , il est évident qu’on a :

Normede = + sousn.^

Pans le cercle celte ligne est toujours égale au rayon (n*. 178).

237. Recherchons maintenant les propriétés des tangentes aux sections coniques ; par exemple quelle inclinaison elles ont avec l'axe des ar , suivant la position du point de contact.

Cette inclinaison est donnée pai- la fomulc (5) (n". 224} ,