AT

^-=fi

Cela posé, puisque dans l’ellipse s ne peut jamais surpasser c', la valeur de A sera toujours réelle pour toutes les valeurs possibles de 6; or nous savons que B augmente avec » tant qu’on a « < c ; ainsi à partir' du sommet, où ^ = O, où l’on a donc A =.\, et où l’angle de la tangente est par conséquent droit , cet angle va en diminuant à mesure que « et ^ augmentent. En même tems le point T s’écarte indéfiniment du sommet A , en sens contraire du pied de l'ordonnée, et avec un mouvement très-rapide , puisque quand « = f , on a AT = — J. Dans ce moment l’ordonnée f étant devenue celle du centre est égale à c' ; on a donc .d = o , et la tangente est parallèle à l’axe des x.

Depuis ce point, à mesure que « augmente, B comme on le sait rediminue , et par conséquent A augmente j ou la tangente s’incline de nouveau vers l’axe des x, en faisant un angle qui devient de plus fn plus grand. Mais le point T, qui s’était éloigné à l’infini du sommet A vers la gauche ,, revient de l'infini du côté de la droite, et se rapproche promptement du sommet Bi comme on le voit dans la valeur de AT, qui devient + dès. qu’oir a * > c , et qui peut alors s’écrire ainsi ;

Lorsqu’enfin • = 2c, comme alors fl = o,ona.d = i, AT — 2c, et la tangente est de nouveau perpendiculaire à l’axe des x au second sommet de la combe.

182 SECTIONS CONIfiDES:'

Les mêmes résultats ont lieu pour le cercle.

239. Reprenant ces formules avec le signe d’en bas pour l'hyperbole, et remarquant que dans cette courbe « et S augmentent en même tem» et cela à l’infini, nous verrons qu’à partir du sommet A, où B = o , où l’on a donc A = 1, et où l’angle de la tangente est par conséquent droit, cet angle va en diminuant à mesure que • et à augmentent Mais il y a ici quelque chose de bien remarquable , c’est qu’en faisant = | , valeur que cette ordonnée

ne peut jamais atteindre , on a .4 = £- ; ce qui désigne un angle , que nous

avons déjà vu au n®. 222 , et qui est propre à toute sécante qui ne rencontre la courbe qu’en un point L’angle de la tangente est donc toujours plus grand que celui-là. En meme tems le point T s’écarte continuellement du sommet A , en marchant lentement vers la gauche , pendant que <• se prolonge rapidement vers la droite, car si l’on fait « = i, valeur que l’abscisse ne peut atteindre , on a — — c. Ainsi le point T n’arrive jamais au centre ; c’est la limite de tout son mouvement. Et il est clair que ce que nous venons de dire de la courbe à droite s’applique aussi à la courbe à gauche.

240. Si l’on mène donc par le centre une droite indéfinie , qui fasse avec

l’axe des x un angle tel que l’on ait A = — , cette droite sera la limite de

toutes les tangentes , et sera en même tems pa allèle à toutes les sécantes qui ne rencontrent la courbe qu’en un point ; elle sera située au milieu de toutes ces sécantes, dont les unes rencontrent en un point la courbe d’un côté de cette droite et les autres de l’autre. Cette singulière ligne, qui est tangente des deux courbes à une distance infiniment grande, ou plutôt dont les branches dçs deux courbes s’approchent sans cesse sans jamais l’atteindre, s’appelle fasyirptote. Et comme on peut en mener deux, CB, CS , fig. 74, qui se croisent au centre, et qui comprennent entr 'elles les deux hyperboles, on les nomme les asymptotes. Leurs équations sont, quand l’ori-

gine est au centre , = — ar, y=. — ~

L’asymptote est aussi un diamètre particulier , que nous avons considéré au n®. 2ü5 ; car si dans la formule de ce numéro, on fait 2c a* = p , on a,

pour le cas de l’hyperbole , • = J ; or 2c a* = p donne a = — .

On pourrait donc dire que l’asymptote est un diamètre dont la courbe

jicANTïs, tangïNTSî, etc. 183

«'approche indéfiniment sans jamais le rencontrer ; qui est parallèle à toutes les sécantes qui n’ont qu’un point de commun avec l’hyperbole , étant situé au milieu d’elles ; et qui est la limite de toutes les tangentes placées dans les deux angles des axes où il s’étend.

Dans l’hyperbole équilatère, comme c' = c, on a a = 1 et l’angle que l'asymptote fait avec chacun des axes est de 60°. Les deux asymptotes sont donc alors perpendiculaires entr’elles.

2-41. Ne quittons point encore la formule du n*. 228, qui devient,

pour la parab. pour l’elL et Thyperb,

AT =1 — a, AT —

Elle nous fait voir que dans les trois courbes , la distance du sommet au point T est indépendante du paramètre , puisque la lettre p a disparu de la formule.

Ainsi donc , si plusieurs paraboles ont le môme sommet , et des foyers diflérens , ce qui leur donne plus ou moins de largeur , les tangentes qu’on mènera à ces dilférentes courbes , et qui auront leurs points de contact sur le prolongement d’une même ordonnée, auront le môme pied. Et si plusieurs ellipses ou plusieurs hyperboles ont le même premier axe fixe et les mêmes sommets , avec des paramètres ditférens , et par conséquent des foyei's différens et des seconds axes diflérens , toutes les tangentes à ces courbes qui auront leurs points de contact sur le prolongement d’une meme ordonnée répondant à une même abscisse «, auront le même pied 7V

1kl. Recherchons aussi quelle est l’inclinaison de la tangente sur les rayons vecteurs menés au point de contact , ou quels sont les angles qu'elle fait avec eux.

Puisque la parabole est une ellipse ou une hj'perbole dont le premier axe est infini (n®. 203), dont le second foyer est infiniment éloigné (n“. 215), et dont par conséquent im des rayons vecteurs est parallèle à l’axe , faisons simplement notre calcul pour le cas de l’ellipse et de l’hyperbole; nous l’ap’ pliquerons facilement à la parabole, et si nous voulons au cercle (n*. 216),

Supposons , pour rendre le calcul plus simple , que l’origine soit au cen> tre , fig. 76 , 76 , et nommons g la distance de ce point à l’un des foyers. Il est évident d’abord qu’on aura p* = c* ^ c'* ( n®. 208 ). D’ailleurs puisque FM, passe par le po'mt 3/ ( • , s ) , son équation sera de la forme,

134 SECTIONS coniques:

et comme FM pMse aussi par le point F (g, o), en mettant ces valeurs dans l'equaliou, à la place de x et de y , on en tirera:

D’un autre côté, la valeur de A qui convient à la tangente, dans le cas actuel, étant [(14) n°. 226],

on trouvera, par le n®. 160, que la tangente trigonométrique de l’angle FMT a pour expression, en faisant Ji = i,

1 4- aA

Substituant les valeurs ci-dessus, mettant ÿ’ à la place de c’ ^ c'*, et . . c® c'® — c'® «® à là place de ± c® fl , comme le demande la formule ( 12) du n®. 226 , on aura :

tang. FMT = H .

Maintensmt l’équation de F'M sera de la forme ;

y — fl = a'(x — «);

et comme cette ligne passe par le point F' ( — g, o), on aura :

et toujours, pour la tangente à la courbe.

(*) Je mets au numérateur pour les deux courbes A — a, afin de prendre MT, qui est la tangente, comme la ligne à laquelle on rapporte les angles, ou comme la ligne comparable i la première droite de la fig. 48, sur laquelle les sinus et les tangentes trigonométriques des angles en question sont perpendi* cuiaires. Je ferai de même pour l’angle F'MT.

linsorte

sécantes, tangentes, etc. 185

Ensorte que la tangente trigonomcüique de F' MT, aura pour expression, en faisant aussi Æ = 1 ,

Substituant, mettant g* à la place de c» qr et c’c'‘ — c'* •* à la place de ± c* «* , on obtiendra :

tang. F' MT = T (*)•

On voit donc que les angles formés par la tangente à la Courbe et les rayons vecteurs , ont l’un et l’autre la même tangente tiigonométrique , mais avec des signes contraires; ainsi donc, ou ils valent ensemble deux angles droits , ou ils sont égaux , suivant qu'ils sont placés d'un même côté de la tangente à la courbe , ou qu’ils sont placés de part et d’autre de cette ligne. Le premier cas a lieu pour l’ellipse, et le second pour l'hyperbole, comme cela est évident par tout ce que nous avons dit de la position de la tangente, aux n”. 238 et 239>

Puisque dans l’ellipse, fîg. 75 , FUT est supplément de F’ MT, qui a d’ailleurs aussi pour supplément F' MG , on a FMT = F' MG. Mais comme en général ces deux angles laissent un espace entr’eux , à cause de la distance des deux foyers , ils sont dans ce cas-là aigus , et la normale tombant entre les deux rayons vecteurs donne FMN = F'MN.

Puisque dans l’hyperbole , fig. 76, FMT = F'MT, en prolongeant vers H le rayon vecteur F'M, on aura FMT = HMG. Et comme ces deux angles laissent aussi en général un espace entr’eux, et sont alors aigus, la normale tombe entre un des rayons vecteurs et le prolongement de l’auti'e , et elle donne FMN = HMN.

En appliquant cela à la pai'abole, on voit que l’angle formé par la tangente et le rayon vecteur , est égal à celui qui serait fonné par la tangente et une di'oite menée depuis le point de contact parallèlement à l’axe, U-

(*) Dans tous les calculs relatifs à l’ellipse et à l’hyperbole , quand l’origine est au centre, on peut se contenter d’opérer pour la première courbe, et les résultats se traduisent pour la seconde en changeant d tnd>/ — 1 (n*. 209); on pourra si l'on veut faire usage de ce principe dans tout ce qui va suivre.

186 SECTIONS coniques:

quelle droite pourrait être considérée comme étant, ou le second rajon vecteur , ou son prolongement.

En l'appliquant au cercle, on retrouve la propriété de la tangente détre perpendiculaire au rayon.

Réciproquement si ces propriétés ont lieu dans les courbes dont nous venons de parler , les lignes qui les donnent sont l'une la tangente et l’auue la normale.

Donc si d’un foyer d’iirie section conique, il part des rayons lumineux ou sonores , ils sont réfléchi» ver» faune foyer , ou dans le prolongement de cette direction. On verra facilement comment cette loi doit se modider pour les différentes courbes.

243. On aurait pu rechercher tout de suite , pour l'ellipse , les angles formés par les rayons vecteurs et la noiTnate , et pour l'hyperbole , comme nous l'avons fkit, les angles formés par les rayon» vecteur» et la tangente; et on les aurait trouvés immédiatement égaux. Mais alors il aurait été bon de faire voir d'avance que la normale est placée entre les rayons vecteurs dans l’ellipse, et hors de ces ray ons dans l'hyperbole.

Cherchant pour cela la valeur de CN, fig. 75 , 76 , ou de l’abscisse qui dans la normale répond à l'ordonnée nulle, quand l’origine est au centre; on aurait pris l’équation de cette ligne ( n*. 233 ) ,

et Ikisaot O, en aurait d’abord trouvé

c* * = ( e* ^ c'* ) • = ÿ* ■ ; d'où l’on aurait conclu :

fm

X ou CN = O. — i ce

lésultat qui prouve plusieurs choses :

1". tN n'est nul que quand « est nul , excepté pour le cercle , où g luimême est zéro ; ainsi le pied de la normale n'abouiit au centre que quand le point de contact est sur l’axe des y ; ce qui du reste ne peut avoii' lieu dans l’hyperbole.

2®. CN n'est en — que quand « est en — .

SÉCANTES, tangentes, CtC. 187

Il résulte de ces deux observations que le pied de la normale est l’cxtré- Jnité de «, et par conséquent le point M et le point N sont d’un même côte de l’axe des y , celui-ci passant par le centre.

3*. Comme dans l’ellipSe « entre scs limites est toujours plus petit que c,

de. même que g, le facteur — est une ûaetion; d’où il suit que CN est une

fraction de g ou de la distance du centre au foyer.

4“. C’est le contraire dans l’hyperbole, parce que, dans cette courbe, « et jt sont chacun plus grands que c.

C’est-à-dire que dans l’ellipse la normale est entre les rayons vecteurs, et qu’elle est hors des rayons vecteurs dans l’hyperbole.

Cela posé , si l’on cherche pour l’ellipse les valeurs des tangentes trigonométriques des angles que font les rayons vecteurs avec la normale , on trouvera que ces valeurs sont égales et de signe contraire , d’où l’on conclura que ces angles, situés de part et d’autre de la normale, sont égaux.

On trouvera le même résultat pour les angles formés pat les rayons vecteurs de l’hyperbole avec la tangente qu’ils comprennent ; mais nous avons déjà fait ce calcul

2é4. Nous venons d'examiner les propriétés des tangentes , et celles des normales, qui sont des espèces de sécantes, il y a encore dans l’ellipse et l’hyperbole des sécantes assez remarquables , ce sont celles qui étant menées deux à deux des extrémités d’un même axe ou d’un même diamètre aboutissant à la courbe , se rencontrent aussi sur la courbe ; on les appelle cordes supplétnetüaires ; et elles méritent quelqu’attention.

Toute droite qui passe par le sommet (± 2c, o), fig. 77, 78, a pour équation y = a ( x ^ 2c ).

Toute droite qui passe par le sommet .4 (o, o) a pour équation .... y = a'x.

Or on trouve pai' l’élimination que ces droites, quand elles se rencontrent , ont pour coordonnées de leur point d’intersection ;

Cela posé pour que ces mêmes droites se réunissent sur la combê , il faut > encore que les valeurs de leurs coordonnées communes s’accordent avec l’équation :

Aa 2

SXCTtONS CONI^OBS:

y*=px-i-—.

N. B. Je prend» cette équation , qui convient aux troi* courbe» , pour que le ca* de la parabole / soit compria, quoiqu il n/ ait point de cordes »upplémeniaires proprement dites dans cette courbe dont les axes et les diamètres sont indm's.

Substituant ici les valeurs de x et de y trouvées , on obtient cette équa-tion de condition :

aa' ( 2c. eut! ± P ) = o-

Elle servira k trouver un des a quand on aura pris l’autre à volonté.

On peut / satisfaire, soit en faisant aa' = o, soit en posant . ^ .

2c, ac£ :+;/» = O, ce qui revient à

S*il «'agît de la parabole, comme — = o, on n a jamaïa que act^ o ;

ensorte qu'une des cordes ayant une direction quelconque , il faut que l'autre’ soit couchée sur l’axe ou lui soit parallèle pour qu'elles puissent se rencontrer sur la courbe; et c'est ce qui était évident par soi-méme.

Pour les deux autres courbes, si l'on fait aa! — o, on exprime alors qu’une des cordes au moins se confond avec l'axe (n”. 182^; mais si l'on fait.

on exprime la relation constante que doivent avoir les directions des deux cordes pour se rencontrer sur la courbe. Cette relation ne dépend que du paramètre et du premier axe , on si l’on veut des deux axes.

Par un calcul inverse on prouverait que si la relation indiquée a lieu entre les angles correspondons que forment deux droites avec l’axe des abscisses, ces droites sont des cordes supplémentaires partant des extrémités du premier axe c d’une ellipse ou d’une b/perbole , dont le second axe est c'.

Le signe — pour l’ellipse provient de ce que l’un des angles étant aigu et ayant son cosinus en -t- , le correspondant est obtus et a son cosinus en — . Pour l'hyperbole on a le signe -1-, parce que les deux angles sont , ou loua deux aigus , ou tous deux obtus , et que leurs cosinus sont de même signe.

SÉCANTES, TANGENTES, CtC, 189

Dans )« cercle où c' — ct= r, on a au' = — 1 , et les cordes sont perpendioulaires l’une à l’autre (n*. 150. 151. 182).

Dans rii yperbolc équiluteie , où c = c' ( n®. 21 1) , on a «a' = -f- 1 ; d'où il est facile de conclure que les deux angles aigus correspondans , formés par les cordes supplémentaires et le premier aAe , valent ensemble un angle droit (*).

Si on voulait chercher le rapport des angles correspondans que font avec le petit aAC c' de l'ellipse, les cordes qui paitent de scs extrémités, on

trouverait aa’ = -, rapport qui est l’inverse du précédent , et que l’on

peut obtenir, comme cela doit être, par l’échange simple des axes.

245. Du reste l'angle que forment entr'elles les cordes supplémentaires partant des extrémités du grand axe de l’ellipse est obtus , et celui que forment les cordes partant des extrémités du petit axe est aigu; ce qui est évident par le n*. 219. Dans l’hyperbole l’angle des cordes menées des extrémités du premier axe est toujours aigu.

Nous allons rechercher une formule propre à représenter l’angle des cordes du grand axe. Mais nous ne nous occuperons point de la parabole, parce que dans cette courbe l'angle des cordes est le supplément de celui que la petite corde fait avec l’axe ; or celui-ci est toujours aigu cl va ea diminuant sans cesse depuis le sommet où on peut le considérer comme droit ; donc l’autre est obtus et va toujours en augmentant

Taisons d’abord le calcul pour l’ellipse , en mettant l'origine au centre.

I.'cquation de //M, fig. 77, 78, passant par le point if (-{- c,o) est . . y = a{x — c); et comme elle passe aussi par le point M B) oa a # = a(« — c); d’où il résulte ;

L’éqnatioti de AM, passant par le point A (—e , o) , est y = a' ( a: -1- c et comme elle passe aussi par le point Af(«,fi),oa aé=sa'(«-4-c;,’ d'où l’on tire :

(*) Ou a ici A = tmf m, é = long rrl ; donc tang m. tang iri -=:\. Mais , par la triijouoiiiclrie , tang m. eotang m =: 1 ; doue , dous ce cas , tang ni = cjta/ig m et par cousequeut ni est le complùncni de m.

SeCTIONS CONIQUES;

Substituant ccs valeurs dans la formule

1 + aa'’

du n”. 109, on trouvera, après les réductions, et après avoir mis

tf'*

— ( c’ — •* ) à 1a place de fi* , et gr’ à la place de c* — > c'* , on trouvera , dis-jc :

long AMB ■■

2c». fi

Mettant encore — — «» à la place de s, divisant haut et bas par . .

\/c* — «*, et réduisant, on obtiendra enfin :

tang AMB z= —

Si on veut tirer de là la formule propre à l'hyperbole, on mettra à la place de c' (n“. 209. 242 , note ), et l'on multipliera haut et bas par v^; ce qui donnera :

tang AMB = +

‘ Nous allons interpréter ces valeurs, en commençant par l’ellipse, et ne considérant que le premier quart de la courbe.

1®. Comme « n’est jamais plus grand que c , l'angle est toujours possible , et à cause du signe — de sa tangente , il est toujours obtus ; excepté lors* que m = c ; car alors on a tang AMB — i, ce qui prouve que l’angle est droit

2*. Dep uis B , où l’angle est donc droit , à mesure que « diminue ■ . ■ • •\/c* — ■* augmente , et la tangente trigonométrique de AA/B diminue. Mais quand la tangente en — d';in angle obtus diminue , cet angle devient plus grand. Donc, en effet, l’angle des cordes augmente depuis .fl jusqu’en t>. Alors il est clair qu’il recommence à diminuer sur le second quart de la courbe.

JECANTE5, TANOENTIS, CtC.

S*. Le plu» grand angle se trouve donc à rcxtrémité du petit 'axe, et

2cc'

quand « = 0 . On a alors tant/ AM B ou tang ADB=. .Dans cette

position les cordes sont ég.iles, et le» angles DAC, DBC\t sont aussi; donc le» angles DACzX. DBX , sont supplémens l’un de l’autre ; ensorte que leur» tangentes trigonométriques sont égale» et de signe contraire. Or le produit

de ce» tangente» a et a' est toujours (n*. 244 ) ; donc ici Tune vaut , ,

H et l autrç — — .

Voyons maintenant la formule relative à l'hyperbole , et ne considérons toujours que le premier quart de la courbe. Cette formule est celle-ci ;

tang AMB = +

1*. Comme » n‘e»t jamais plu» petit que c, l’angle est toujours possible,' et à cause du signe + de sa tangente il est toujours aigu ; excepté lorsquo • = c , car alors la tangente devient infinie et l’angle est droit.

2°. Depuis le sommet A , où l'angle est donc droit, à mesure que •> aug« mente \/at» — c» augmente aussi et la tangente de AMB diminue. Mais quand la tangente d’un angle aigu diminue , cet angle lui-mème diminue. Donc, en etfet, l'angle des cordes diminue depuis le sommet A à l’infini; et il ne peut être supposé nul, qu‘en faisant •• = 5. Dans cette position lea cordes sont parallèles, et les angles correspondan» qn’elles font avec l’axo sont égaux ; ainsi leurs tangentes sont égales et de même signe. Or le pro>

duit de ce» tangentes a et a' est + ^ (n*. 244); donc chacune d’elles vaut

(toujours pour le premier quart) + c’est-à-dire que ces cordes sont pft-

ïaUcles à l’asymptote (n°. 240).