CHAPITRE XIII
Dts sections coniques rapportées à leurs diamètres, et des diamètres . conjugués.
246. Jüsqu'a prêtent toutes les équations des sections coniques que nous avons vues, se rapportaient à ces diamètres pariiculiers que nous avons nommés spécialement les axes (n*. 206 ); et il est évident qu’on pourrait rapporter ces courbes à des axes quelconques , avec une origine placée aussi d’une manière quelconque ; on aurait ainsi leur équation la plus générale (n°. 212 ). Mais ce n’est pas ce dont il s’agit ici : nous allons actuellement rechercher si on ne pourrait point changer les axes des coordonnées et l’origine , sans changer la forme des équations que nous avons eues jusqu’à présent.
Pour cela nous prendrons les formules du n*. 166, et pour faciliter le calcul , nous désignerons par m et par m' les angles (arx') et (xy * ) formés par les nouveaux axes des x' et y' avec l’ancien axe des x. Alors les for* mules en question s’écriront ainsi :
X = x' cos m y" cos rn!
y = x' sût m + y' sût m' -f- y ;
«t en substituant ces valeurs dans l'équation géuéraie ;
y^ — px± — = o,
on trouvera:
x'* — coé + séi/.2Qût m iin m' + ^cosm cw/n'; j
'i- l/'(sûi' m' +^cos' m'^ + x'. 2(gsinm — \pcosm±^fcost 7 ^ m ' — J p cos m'± cos m' ^ p/+ “ )
O II est évident que cette équation est l’équation la plus générale possible
StCTIONS COMQÜES: DIAMET. CONJUG. 193
247. Appliquons d’aboid cela à la parabole. Pour que l'équalion précédente soit de la forme y* — px = o , il faudra que les coéfflciens des termes en a;'*, xJy\ et y\ soient nuis, ainsi que le terme entièrement constant.
Or comme dans la parabole = o par lui-même , les équations de condir
lion seront celles-ci :
jin» m = O, g sin m' — \p cos m' = o, g' -—pf '~ o . . . \B).
J’ai laissé de côté le coéflicient de x'y' , qui ne nous apprendrait rien, puisque nous avons déjà sitt^ m = o et par conséquent aussi sîn m ~ o.
La première de ces trois équations nous dit que l’angle m est nul, et la troisième , n’étant autre chose que celle de la parabole, nous fait voir que la nouvelle origine, dont les coordonnées sont et g, est un point de la courbe. Ainsi pour que l'équation conserve sa forme, le nouvel ase des X doit être parallèle à l’ancien. Ce nouvel axe est donc un diamètre et l’origine est à son extrémité.
La seconde équation de condition peut être mise sous cette forme :
sin m' cos m'
ou
Mais m' est l’angle que le nouvel axe des y fait avec l'ancien axe des x ;
ensorte que ■■ ~ - ou a' marque l inclinaison de cet axe, et la formule fait
cos m
voir qu’il est tangent à la courbe à la nouvelle origine dont l’ordonnée est g tn“. 225, fom. (7)). Et comme la tangente à la parabole n.’est perpendiculaire à son axe qu’au sommet de la courbe ( n®. 237 ) , ce n’est que dans ce point non plus qu’elle est perpendiculaire aux diamètres , parce qu’ils sont tous parallèles à l’axe. Donc les nouvelles ordonnées sont obliques au nouvel axe des x. , :
Au moyen de ces conditions, l'équation de la courbe conservant, son ancienne forme , à chaque nouvelle ab.scisse répondent donc deux ordonnées égales et de signe contraire. Ensorte que si d’un point de la parabole on mène un diamètre , puis une tangente à ce point , toutes les cordes paral-
iles sections coniques. Elle est rfe la forme + Bxy -t- Cy' -h Dx + Ey + Fzz e (voyez celle du cercle n“. 156).
Bb
SECTIONS coniques:
lèles à cette tangente seront coupées par le diamètre en question en deux parties égales.
Prenons maintenant les termes qui restent dans l’équation tlansformée : . • P
en faisant toujours -- o , et en nous souvenant que sin m — o, et que
par conséquent cos m = Æ = 1 , noiu aurons y'* sin* m' — px' = o ; ce «juc l’on peut écrire ainsi :
y- =— 7-7 — T sut* m
C'est l’équation de la parabole rapportée à un quelconque de ses diamètres. D’ailleurs la valeur de sût* m' , ou la valeur de ni' , ou la grandeur de l’angle des coordonnées, lorsque celui-ci est fixé, celte quantité, dis-je, détermine le diamètre dont il s’agit. Si on voulait par exemple que m' fût un angle droit , on aurait sin* ni — H* — l , et on retomberait sur l'équation à l'axe. Du reste comme l’angle de la tangente peut parcourir tous les degrés de grandem-s , il y a une infinité de systèmes d'axes qui répondent à notre but.
248. Cherchons à exprimer sin* m ' , en fonctions des coordonnées de la nouvelle origine. Nous avons eu , il y a un moment :
sin m" \p
cos ni g ’
multiplions pai' cos ni , carrons les deux membres , mettons 1 -— siii* ni à la place de cos* m' , üansposons et réduisons, nous trouverons:
siti* m' —
Mais g* =py, comme nous l’avons aussi vu, substituant cette valcm', et divisant haut et bas par p , nous obtiendrons :
sur m
Ensoite que l’équation au diamètre pourra prendre cette fonne r
y'*^À(:/+lp)x'.
De plus y est l’ordonnée de la nouvelle origine A ' , fig. 79 , d'oû il résulte
OlAMÈTBES CONJCGUés. i95
nue l'on a, par le n“. 214 , FA' = f 1 = f + jp. Ain»i le coéfficient de x' vaut 4/'/l'; non» désignerons cette quantité par //, nous l’appellerons le paramétré du diamètre, et nous dirons que dans la parabole le paramètre d'un diamètre quelconque est quadnqile de la distance du foyer à Porigine de ce diamètre. Propriété tjui est la meme pour l'axe.
249. L'équation de la pai aboie rapportée à scs diamètres, étant donc y'* = p'x' , et ayant absolument la même forme que l'équation à l'axe , toutes les propriétés que nous avons eues relativement à cette dernière ligne , auront lieu pour les premières , du moins lorsque ces propriétés seront indépendantes dé l'angle des coordonnées. Ainsi nous ne nous j arrêterons pas.
250. Appliquons maintenant à l'ellipse et à l'hyperbole la transformée
par*
générale du n*. 246. Pour qu'elle soit de la forme y* =px
que les coéfficiens des termes en x'y' et en y* soient nuis , lûnsi que le terme tout constant. Les équations de condition seront donc celles-ci :
sin m sin m' ± i cos m cos m' = o , J g s inm' — \p cos m' cos m! = o, s .... (!>).
gp p/± i/»==o. )
La troisième nous dit tout de suite que la nouvelle origine , dont les coordonnées sont /et g, est un des points de la courbe même. Ensorte que si l'origine était placée ailleurs, l’équation ne pourrait plus ressembler à l’équation au sommet.
La seconde peut être écrite ainsi : . . :
sinm' îp pf , \P Pf . .
; = -t- r — ) ou a — — -f- — — .... (£) ;
cosm g 2cg g 2cg , ...
et prouve que le nouvel axe des y est tangent à la courbe à la nouvelle origine, dont les coordonnées sont f et g (n®. 225, form. (9)j.
La première équation de condition peut se mettre sous ces deux formes :
sin m sin m' p c'»
cosm cosm' 2 c c*
Bb 8
i96 SECTIONS coniques:
Elle nous apprend donc que les nouveaux axes des x et des y font avec l’ancien axe desx, où avec le premier axe de la coui'be, des angles dont le rapport est constant , et le même que celui des angles formés par les cordes supplémentaires ( n®. 244 ). Ensorte que si un de ces axes est parallèle à une de ces coixles, l'autre axe sera parallèle à l’autre corde; et en même lems les deux axes feront cnü-’eux un angle égal à celui de ces mômes cordes. D'ailleurs comme on peut former une infinité d'assemblages de cordes supplémentaires, faisant entr’ellcs des angles qui ne sont jamais droits, et qui varient sans cesse ( n°. 245 ) , on peut donc aussi former une infinité d’assemblages d'axes, faisant entr’eux des angles obliques, variables d’un système à l’autre, et qui donneront toujours des équations de môme forme que celles aux axés proprement dits.
Il résulte encore de Là qu’à chaque nouvelle abscisse répondront deux ordonnées égales et de signe contraire. De manière que si l’on a une tangente à la courbe , et qu’on prenne le point de contact pour la nouvelle origine, toutes les cordes parallèles à la tangente, ou toutes les ordonnées, seront coupées en deux parties égales par le nouvel axe des x. Cela posé,, comme une de cc.s cordes peut toujours passer par le centre , et que là elle est déjà divisée en deux parties égales ( n“. 205 ) , il faut bien que 1« nouvel axe des x pas|e aussi par ce point ^ et qu’il soit un diamètre.
251. Si nous prenons maintenant les tennes qui restent dans la translormée, noua- aurons l’équation de la courbe rapportée à scs diamètres avec l’origine sur la comiie môme. Et comme de l'équation aux axes et au sommet, on conclut facilement celle aux axes et au ceolrc, nous pourrions aussi conclure de l’équation aux diamètres et à leurs extrémités , celle aux diamètres et au centre. Mais cette dernière pouvant rendre plu* «impies tous les calculs qui nous restent à faire , nous laisserons l’autre , et ne prendrons que celle-ci , que nous tirerons de l’équation aux axes et au centre, toujours pai' la tran.sformalion des coordonnées.
^ Pour cela, nous cmrons ainsi les lonnules du n°. 160 , puisque noua ne voulons point cliungcr l’origine :
.... a> = a/ cos m y' cos m' , ' y=i x' sûi r>i -f- y' sin m''; ‘ et nous substituerons ces. valeurs dans l’équation : '
nous aurons r . •
SIAMKTRES CONJUGUis.
( c* sin* m':+; m') + ( c’ ji;t* m + c'® CGi* m ) :t'*
4- 2 ( c® ii« m ji/i m' :+; c'* cgj m cos m') s/y' = + c* </* ... (C).
Pour que cette équation n'eût point changé <le forme, il faudrait que le coefficient de a V fût nul ; posons donc que cela soit , et que l'on ait :
<r sin m sin m' ± c'® cos m cos m'=o, ) ou ce qui revient au môme , /
sin m sin m' c'* I ” ’
cosm . cosm' . c’ j
l'équation de la courbe deviendra :
( c® ri/»® ± c'® cos* m') y’* 4- ( c’ süi* m ± c'® cos * m ) a/® = 4; c® &* ... (/J.
252. Si l'on y fait y' — o, pour avoir la distance du centre à la courbe, prise siu' Taxe des x' , et que l'on appelle cette distance d , on trouvera :
c* sin* m 4; c'® cos* m
Si l'on fait ensuite x' = o, pour avoir la distance du centie à la coüi-bc,^ prise sur l'axe des i/ , au cas du moins que la courbe l'encontre cct axe, et que l'on appelle cette distance et , on trouvera :
C® s'm* m' c'® cos* m!
Remarquons, avant d'aller plus loin, que dans l’ellipse tous les d'iamètres rencontrent la courbe , ce qui n'a pas lieu dans l'hyperbole ; cependant elle est toujours rencontrée par le diamètre 2d (n*. 250). Si elle ne l’était pas par le diamètre 2ct il faudrait que la valeur de d* fût en moins , pour que d lut imaginaii'c. Comme cela ne se reconnaîtrait pas facilement dans cette valeur de d'®, nous essayerons de faire le produit de d* par d'®, car d*
(*) Ces valeurs s’accordent avec la formule du n*. 205, comme on le verra ... , , , JMJ /n sdi m* , , , ,
facilement , en mettant dans cette formule ou ^ a la place de n , et
à la place de p.
198 sections coniques:
étant décidément en plus , si ce produit est en moins , il faudra bien que <f* soit aussi en moins. En faisant cette multiplication on troure , pour les deux courbes :
JXfi’t —
c*sin*m sin*m' ± c*c'’(jrt/jW cos^m -t- sin*m cos*m') + c'*cos*in cos^nŸ
ou , ce qui revient au même (*) :
’ (c * sin m sin m' ± cor m cos m')* -± c* c’* jîn* (m' — m )'
Mais comme la première partie du dénominateur s’évanouit par (^Ü) , on n’a plus que :
d*d'* = — — - 7 - .... (AO.
stn* ( m — m )
Ce produit de deux carrés ayant décidément le signe — pour l’hyperbole, prouve que le diamètre parallèle aux ordonnées de 2d n’a qu’une longueur imaginaire, ou ne rencontre pas la courbe. Pour lui donner une longueur réelle, nous changerons donc le signe de son carré, comme nous avons fait à l’occasion du second axe (n“. 204. 2o5), et nous tirerons de (AT) et de CE) :
c» sin*m-+-c'^ cos* m = ± , o* sin* m' ± </* cos* m' = + — — f
substituant ces valeurs dans (/), divisant ’ tout par c*c'*, et faisant disparaître les diviseurs , nous aurons :
dy'* ±d* x'* = ±d}d* , y'* = ±-^ (d — x'*) .... (^);
c’est l’équation au centre et aux diamètres 2d et 2d.
. Si on voulait que le second devint l’axe des x, on prendrait les ordon-
(*) On sait , par la trigonométrie (n*. 8S) , que
stn(id — m) = sinm' cosm — sinm cos id ; élevant au carré et transposant, on obtient ;
sin'm' cos’m + sin'm cos'm' =2 sin m' sin in cos ni cos m + sin' {.ni — m ) ;
substituant le second membre dans le dénominateur du produit ci - dessus , il contiendra le carré d’un binôme, que l'on pourra écrire comme dans la formule suivante.
DIAM^TBES CONJUGUÉS. 19$
nées pour ab.scisse* et les abscisses pour ordonnés, comme an n*. 218; et l'on aurait :
ensorte qu’à chaque nouvelle abscisse répondraient aussi deux ordonnées égales et de signe contraire.
253. Cela posé, lorsque les sections coniques sont représentées par des équations de même forme que celles où entre le premier axe, deux diamètres, comme 2d et 2cf, dont chacun est au nombre des doubles ordonnées, soit réelles, soit imaginaires, de l’autre, sont nommés diamèlres conjugués. Nous allons récapituler quelques-unes de leurs propriétés , que nous connaissons déjà.
1”. Comme dans l’ellipse ils rencontrent tous deux la courbe , et que rien ne les distingue l’un de l’autre , on peut prendre pour le premier celui qu’oit voudra, le second sera toujours paiallèlc à la tangente menée à l’extiémitié de celui-là ( n°*. 227. 250 ). Quant aux axes on sait qu’on nomme le pre^ mier , celui qui passe par les foyers et les sommets.
2®. Dans l’hyperbole , un des diamètres conjugués rencontre décidément la courbe , et l’autre ne la rencontre pas ( n”. 250. 252 ) ; nous appellerons eetui-ln le premier ou le principal, et nous le désignerons par 2d\ alors l’autre 2d‘ sera le second , et il sera parallèle à la tangente menée à l’une des extrémités du premier.
3®. Quoiqu’il n’y ait qu’un système d’axes proprement dits, lesquels se lencontrent à angles droits , il y a une infinité de systèmes de diamètres conjugués, et ces diamètres font entr’eux des angles obliques diflérens(n®. 259).
4®. Quant aux angles que ces diamètres font avec le premier axe de la: •ourbe , leur rapport est toujours le même , et il est égal à celui des cordes, supplémentaires , qui est aussi constant ( n®‘. 242. 250 ). Lors donc qu’une corde supplémentaire est ordonnée d’un des diamèti’es , ce diamètre-là est parallèle à l’autre corde supplémentaire ( n*. 250 ).
