SECTIONS COMIQUES

à-dire vers la droite ou vers la gauche ; ensorte que la position de ce second diamètre est aussi déterminée. Cela posé on pourra calculer, par {K) et par (.L), la longueur de ces deux diamètres.

Et d’ailleurs il est facile de voir , par l’une ou l’autre de ces formules , comment la longueur des différens diamètres varie suivant leur position relativement aux axes. En mettant dans (Æ) , par exemple , 1 — sin* m à la place de cor* m , extrayant la racine , et ne s'occupant d'abord que de l’ellipse , on a :

( c’ — c'* ) sin~‘ m -J- c'^

Alors si l’on fait m nul, on trouve d= c; si l'on fait ensuite augmenter graduellement m , on voit que d va en diminuant , et cela jusqu’à ce qu’on ait m =■ 1 droit ; ce qui donne sin m = Æ = 1 , et d = c'.

Prenant après cela l’hyperbole, et changeant les signes du numérateur et du dénominateur' de (A') , on trouvera d’abord :

c * — ( c' + c'* ) si/l* >n

Si l’on fait alors m nul , on aura d = c; supposant ensuite que m augmente graduellement , le ter me en Moins ne sera d’abord qu’une très-petite fraction de c* + c'*, et la valeur de d sera possible; mais elle ira en augmentant , jusqu’à ce que ce terme en — du dénominateur égale le terme en -f- , supposition qui donne ( n*. 2ô2 (L) ) : s

, . , „ - sin ni c

c* si/i* m = c * cos~ m , ou = — .

cos m c

Dans ce moment on a d = et le diamètre n’est autre chose que l’asymptote (n“. 2-40).

L’angle m continuant ensuite d’augmenter , le terme en moins l’emporte sur le terme en plus, et les valeurs de d deviennent imaginaires, parce que les diamètres ne l'encontrcnt plus la courbe. Prenant cependant ces valeurs comme réelles, et pour cela changeant dans la formule le signe du dénominateur seulement , nous ti-ouverons :

er

DIAMÈTBES CONjaCuis. 20J

et nons verrons qu’en faisant augmenter m, d ira en diminuant, jusqu’à ce qu’on ait m = 1 droit , et sin »i = /f = 1 ; ce qui donne d = c'.

Dan» l'M perbole équilatère, le» diamètres augmentent Jusqu’à l’angle . . m = } droit , et il» rediminuent ensuite ( n”. 240 ).

255. On pouri-ait demander si le» diamètres conjugué» peuvent être égaux entr’eux dans tel ou tel système; car il est bien évident, par tout ce que nous venons de dire, que le plu» souvent ils ne le sont pa».

En égalant le» valeur» de d trouvées pour les deux courbe», dans le numéro précédent, avec les valeurs analogue» qu’on aurait pour d', on en tire sur le champ , s'm* m = si/i* m', d’où l’on conclut, abstraction faite du signe, sin m = sin m' , cos m = cos ni , et

sin m sin m'

cos m cos m'

» Mai» le produit de ces deux tangentes est toujours en moins pour l’ellipse, • ^ * 1

comme on le voit en (/'), et vaut donc ici , qu’elles sont égales,

l’une vaut + — et l’autre , Ainsi le» deux angles ni et m' sont sui>-

plémcns l’un de l’autre ; et par conséquent le» deux diamètre» conjugué» sont dans ce cas parallèles aux cordes supplémentaires et BD , fig.77, menées d’une des extrémités du petit axe aux deux extrémités du grand axe (n’. 245); ils font entr’eux le plus grand angle possible (même numéro) , et c’est là le seul système dans lequel les diamètre» conjugué» puissent être égaux.

üuant à l’hyperbole, le produit des deux tangentes de m et de m”cst

en plus , et vaut + -- ; donc ici , qu elles sont égales , chacune vaut — avec ^ c

le même signe. Ainsi les deux angles m et m' sont égaux , ou plutôt n’en

font qu’un; cnsortc que les diamètre» conjugués supposé.» égaux coïncident entr’eux , et avec l’asymptote ( 11 “. 240) ; ce qui veut proprement dire , que dans cette courbe il n’y a jamais de diamètres conjugués ég.aux.

Cependant il y a exception pour l’hyperbole équilatère; car alors c'=:c, et le produit des deux tangentes devient l’unité ; ensorte que la tangente d’un des angles est toujours la cotangente de l’.autre, ou que les deux angle» m , m' sont toujours complémens l'un de l’autre (n®. 244. note). Tous le» diamètres conjugués sont alors égaux de deux en deux ; comme cela a

202 SECTIONS CONIQOES:

lieu pour le cercle. Il y a poui tant cette difTérencc ; c'est que tous les diamètres du cercle sont égaux entr'eux, tandis que dans l'hjpcrbolc équilatère, il n’y a que les diamètres conjugués qui soient égaux de deux en deux.

Du reste l’équation de l’ellipse rapportée à ses diamètres conjugués égaux, ressemble tout-à-fait à l'équation du cercle ; car elle devient , en faisant dans (A’) d — d . . . . y'* + a;'* = cP. Mais il ne faut pas perdre de vue que dans le cercle , les diamètres sont alors à angles droits , au lieu qu'ici, dans Velllpse, ils font entr’eux des angles obliques. ( Voyez le n°. 169 ).

256, Pour (aire tomber sous les sens la longueur du second diamètre con-. jugué de l’h^'perbole , qui ne se termine pas à la courbe, supposons qu'on mène par une de ses extrémités et par l’extrémité correspondante du diamètre principal, une droite, et recherchons qu’elle doit être sa position.

Comme cette droite coupe la courbe dans le point ( «, H), son équation doit être de la forme :

fl = a" (x— »).

D’un autre côté le second diamètre , passant par l’origine, et étant parallèle à la tangente au point ( «, fl), a pour équation;

se:

D’ailleurs ces deux droites se rencontrant à l’extrémité de Ta seconde, ont dans ce point les mêmes coordonnées, ou les mêmes valeurs pour .t et pom y. Or l'élimination donne

c*fl (<i"« — fl) c'“« (n''« — fl)

c‘ fl a" — c’’ <* ’ ^ c’ fl a" — - c'* « *

Çela posé , pour exprimer que ces coordonnées appartiennent à l'extrémité du second diamètre , il faut encore qu’elles satisfassent à l'équation :

Faisant donc leurs carres et les substituant dans cette équation, on trouve;

(g’ ;^ .- fl ) » ^

(c*fla" —

Mais la valeur de , prise dans (ZL), rendue réelle par le changement de signe du numérateur , et multipliée par j/;i’ m' -t- cos* ni == /i* =5; 1 , ce qui ne change quç sa forme , devient :