DIAMÈTRES CONJUGUÉS

c* c'* C sin* m' + cos* m' )

c* sin* m! — cos*m'

... . . ... , sm m , c * « , .

divisant haut et bas par cos* m , substituant a sa valem- , faisant

disparaître les diviseurs , réduisant , et mettant c* </* à la place de

— c*<*, quantités équivalentes par féquation de l’hyperbole, on trouve :

Substituant cette valeur de d* dans (O), effarant le facteur commun au* deux membres , faisant disparaître les diviseurs , extrayant la racine , effectuant les multiplications , ti'ansposant , et réduisant , on obtient enfin ....

a" . Ce qui indique que la ligne qui joint les extrémités des deux

diamètres, fait avec le premier axe de la cpurbe, un angle égal à celui de l’asymptote, mais de l'asymptote renversée, ou de l'asymptote à la courbe de la gauche ; et elle est parallèle à cette asymptote.

Du reste , cet angle est aussi celui de la droite qui du même côte que la ligne précédente , joint les extrémités des deux axes; car, passant par le sommet d , (c, o), son équation est y = a'" (a; — c ) ; et passant aussi

pai‘ le point D (o, c'), on a c' = — o"'c; d'où l’on tirca"' = — — • .

Les deux droites en question , celle qui joint les extrémités des diamètres conjugués, et celle qui joint les extrémités des deux axes , sont donc parallèles. ( Voyez la figure 80 ).

267. L’équation aux diamètres conjugués et au centre étant de même forme que celle aux axes et au centre , toutes les propriétés indépendantes de 1 inclinaison des coordonnées seront ici les mêmes qu’elles ont été pour les axes. Et si on voulait transporter l’origine sur la courbe , à l’extrémité d'un des diamètres , l'équation deviendrait ;

y'* = ” ( 2 Jx' x’* ),

Si on voulait enfin avoir une équation analogue à celle au paramètre et au sommet , on prendrait pour le paramètre p' d’un diamètre qui rencontre la

Ce 2

SECTIONS coniques;

coin lie, une troisième proportionnelle à ce diamètre et à son coniuraé ( 11 °. 207 ) ; ce qui donnerait :

11 faut seulement observer mu- tout ceci , que si Ion désigne par a l'iiu clinaison d'une droite sur un diamètre , a ne sera plus la tangente de cet

angle, parce quon naura plus a — . mais a = (n” l ’I

258. Voici maintenant deux propriétés remarquables et nouvelles.

1“. On tire de la formule (M) . rendue réelle pour le c.as de l’hjperbole, «t après avoir extrait la racine des deux membres ; ’

dti' sin ( m' — m ) = cc'.

Oi (ni m) étant 1 angle des deux diamètres, le premier membre dC' cette équation représente l'aire du parallélogramme de ces deux diamètres (*), et le second membre représente le rectangle des deux axes. On peut donc dire que dans l ellipse et [hyperbole , le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques, est équivalent an rectangle construit sur les axes.

2*. Un diamètre d de l’ellipse^ aboutissant à un point de la combe (« , fl) ,on a ^ *'

En tirant de (L) la valeur du diamètre conjugué, comme nous avons fait au n“. 256 pour l'hyperbole, on trouve de même :

vr c«â’+c'*v <i* = («y

ijoutant ces deux équations membre à membre, réduisant ensuite le second

(*) En nommant A la hauteur de ce parallélogramme, dont la base est d et l'autre côté d' , on aura l'aire égale à dh; mats la hauteur formant avec le second côté d‘ , et une portion de la base , un triangle rectangle , qui donne 1 : d' : : sin o : A , on a A = d' sin u , et l’aire devient dd' sin u Ç u est ici l’angle des deux diamètres ). (**)

(**) Ces valeurs pourraient servir à plusieurs des calculs précédeni.

diamèthes conjugués. 205

au même dénominateur, mettant e’c'’ — c'*«' à la place de c’fi*, à cau»c^ de l'équation de la courbe , et réduisant , on obtient :

rf* + d'* = c* + c'*.

Changeant ensuite d' en dy/~ 1 , et c" en c'y/—l , pour- avoir le cas de riiy'pcrbole , on a:

D’où il résulte que dans tellipse la sonvne des carrés de deux diamètres conjugués .quelconques , est toujours égale à la somme des carrés des deux axes ; et que dans l’hyperbole la différence des carres dun diamètre princ'qiol et de son conjugué , est égale à la différence des carrés du premier axe et du second.

Pu reste , ces deux formules ,

dd‘ sin ( m' — m) z=i ce’ , d* d'* = c* ± c'“ ,

combinées avec (//) du n®. 261 ,

sin m sin m' té*

COS m cos m' c* ’

peuvent servir à calculer trois des six quantités, c', d, d! , m, m',. lorsqu'on connaît les tiois autres.