CHAPITRE XIV

t>e thyperhole rapportée à ses asymptotes,

259 . Chebchoks maintenant quelle forme prendra l’équation de l’h/perbole si nous la rapportons à ses asymptotes : comptons par exemple les abscissses depuis le centre le long de l’asymptote du premier angle et du troisième, en montant et en descendant, et les ordonnées le long de l’autre asymptote en descendant et en montant ; l’axe des oé fera avec l’axe des

X en dessus , un angle m. , dont la tangente trigonométrique vaut H , et

l’axe des ÿ fera avec l’axe des x , en dessous , un angle m' , dont la tan.^

geute trigonométrique vaut — — (n®*. 239. 240 ). C’est-à-dire qu'on aura :

sin m c' sin m' d

cos m e ’ cos m' c ’

car ces angles sont égaux , ils ont le même cosinus , et leurs sinus , quoiqu’égaux , diffèrent pourtant par le signe.

N. B. Il faut bien observer que notre but actuel n’est plus de conserver la forme de l’équation ; voilà pourquoi ces valeurs ne s’accordent pas avec (//)(n*. 261).

On tirera de là :

c* sin* m = c'* cos* ni , c* sin* m' = d* cos*m'.

Substituant dans la formule (G) du n®. 261 , les termes en x'* et en t/* s'évanouiront. D’ailleurs sin m' étant en —, le coéfficient de x'y" sera tout en — (n®. 164.), et l’on aura pour l’équation de la courbe :

^ 2 ( c* sin m sin m' -f- d* cos m cos m' ) x'i/ = — c’ d*.

Mais puisque les sinus , indépendamment des signes , sont égaux , de même que les cosinus , on pourra écrire :

2 ( c* sin* m -f- d* ens* m ) x't/ = s* c'* ,

D£ L*HTPEHB0I,Z IAPPOBTÉE A SES ASTMPTOTES. 207

OU, en mettant c* sin* m à la place de c’* cos* m , et divisant par c* ;

.4 sin* m x't/ = cf*.

Or nous savons que l’angle A , dan» le triangle ACD, fig. 81 , est égal à celui de l’asymptote ( n°. 256), et peut donc être désigné par m; ensorte que ce triangle donne :

\ AD sin m •. c\ 1 : AD'’ ; : sin* m : c'- , 1 : c» + t *

et, par conséquent:

sin* m —

sus* m : c'* ,

Substituant cette valeur dans l’équation précédente, et réduisant, ou obtient enfin ;

260. Il faudrait voir, avant d'aller plus loin, si aucun autre système d'axes ne peut fournir une équation de cette forme. Reprenant encore la formule (ü) , et supposant nuis les coéflîciens de x'* et de y'*, on aura :

Sin* m c’* sin* rri c**

cos* m c* ’ coî* m' c* *

extrayant les racines , et prenant pour l’une le signe plus et pour l’autre le signe moins , afin d’avoir deux axes qui ne coïncident pas , on retrouvera

sinm ^ sin m’

cosm c ’ cos m'

Il n’y a donc que les asymptotes qui puissent fournir une équation dn la forme précédente.