CHAPITRE PREMIER
Questions géométriques , résolues en nombres par T algèbre.
N. B. Al serait difficile de donner ici des règles générales ; il faut s'exercer sur des exemples particuliers: leur choix est plus ou moins aibitiaire , et l’ordie à suivre assez indiffèrent.
6. Trouver la distance qu’il y a dun point B où Von se trouve , fig. f , jusqu'à un point G , qui est inaccessible; et cela scuts le secours des angles et sans les formules de la trigonométrie.
Prenons une base que noua puissions mesurer (*)', et supposons fait le triangle BGB ; pour en avoir un semblable à celui-là , nous imaginerons une parallèle EF h la base BD, menée par un point E accessible et pris sut le côté DG ; nous aurons, en nommant x la distance BU , et désignant les côtés connus par de petites lettres semblables aux grandes lettres des angles opposés ; nous aurons , dis-je :
EF : g GF x;
alors pour trouver la valeur de EF, au moyen de deux autres triangles , dont elle soit un des côtés , nous prendrons A dans l'alignement de BD , et C dans les alignemens de BG et de j4E, ces points et C étant accessibles,
(*) Je suppose qu’on conn.n’t l’usage des jalons et de la chaîne d arpentatr ; si cela n’étoH. pas, on lirait, avant d'aller plus loin, le a*. 69, où ces instrumciis sont deerits à l'occasion de la trigonométrie. ^
Quant aux alignemens, ils sont très-faciles à prendre, an moyen de jalons planlc's de manière à sc recouvrir ou à se cacher les uns les autres.
4 QUESTIONS OéOlléTBIQDES,
et nous tnêsurerons AB ou c , AC ou b , EC ou f, et BC ou a ; nous aurons alors, à cause des triangles semblables CEF , CAB:
b:c::f: EF, c f
ce qui donne EF =z -j- ; ensorte que la première proportion dcTient :
: g :: GF : x.
Mais il est facile de voir par la figure, que GF —x — FB, ou
X + CF — CB , ou x + C/’ — a; on a donc:
cf
— g \ : x + CF — a : x.
Maintenant il n’y a plus qu’à trouver l’expression de CF, ce que l’on peut faire au moyen des triangles CEF, CAB qui donnent :
b : a w f : CF ;
ensorte que CF = valeur qu’on peut mettre à la place de CF dans la proportion générale , qui devient enfin :
Multipliant les extrêmes et les moyens , on obtient cette équation :
d’où l’on tne :
c/x ,afg
Toutes les lignes a, b, c,f, ÿ,ou BC, AC, AB , EC, BD, ayant été mesurées , et se trouvant connues , on calculera facilement la valeur de x ou de BG.
7. Zn général, dans tous les problèmes de ce chapitre, on supposera que les lignes connues ont été évaluées numériquement , au moyen d'une certaine unité de longueur , et qu’il s’agit de trouver combien il y a de ces unité# dans les inconnues que l’on cherche.
Lorsque l’équation à résoudre sera du second degré , si elle donne pour la seconde valeur de l’inconnue une quantité toute en moins , on ne s’arrêtera pas à discuter ces sortes de valeurs , sur lesquelles nous reviendrons plus tard.
•B^SOLDES PAR L'ALGèBRE.' 5
8. Etant donné le rayon d'un cercle , trouver la valeur du côté du triangle équilatéral inscrit. ( Gcom. Append. Pfobl. XXIV, Sch. I, ).
On connaît Cd , fig. 2 , et on voudrait trouver jéB ; quantités que nous désignerons par> et par x.
• Puisque AH côté de i'hexagone est égal à AC , le triangle AC H est isosccle et CG— { CH= \ r. Mais AG= — ce*, ou, ce qui revient au
meme :
ïx = \//-* — Jr*; d’où l’on tire : a:== y^3 r*=r \/3.
9. Il est facile de voir que si l’on cherchait le côté du carré inscrit , on aurait a;*=r* + r*, d’où l’on tirerait: x = ry/2. ( Géora. Append. Probl. XXV.Schol. ).
1 0. FAanl donné le rayon dun cercle , trouver la valeur du côté du décagone régulUr inserit. ( Gcom. App. Probl. XXVI. ).
Pour trouver géométriquement le côté du décagone , il faut diviser le rayon en moyenne et extrême raison, cette moyenne est le côté cherché. En le désignant donc par x et le rayon par r, on a :
r : X X : r — x ; d’où l’on [tire : x*=r* — rx; et cette équation, pour ne parler que de la valcm* en plus dex (n°. 7)j
donne :
x = — lr+\/ r* + irl; ce que l'on peut écrire ainsi :
H. Etant donné le côté dun polygone régulier inscrit, trouver le côté dun polygone semblable circonscrit. (Géom. App. Probl. XXVII.).
On connaît AB, fig. 2, et on demande EF; quantités que nous désignerons par a et par x.
Dans le triangle isoscèle ABC , on a les angles et la base , on peut donc déterminer le rayon AC, que nous appellerons r. D’ailleurs les triangles CAG, CEH , donnent la propox tion :
