Si l’on écrit cette équation ainsi
ÀA
elle (ait voir que plus xf augmente plus j/ diminue; ce qui confirme que l'asynaptote s’approche sans cesse de la courbe , et ne l’atteint jamais ; car
(•) On trouverait de même , si on le voulait , cos' nt = — -
HA>POBTj:B A 8SS ASTkPTOTESv SO0l
Of pni«qu’oa a x'y' = »>* , on a tutsi : >
x'y sin 2m = sin 2m.
C’est-à-dire que le parallélogramme de deux coordonnées correspondantes quelconques est équivalent au losange des coordotmées du sommet.
Ce losange pourrait aussi être nommé puissance de l’hyperbole ; on a même désigné tiinsi le grand losange quadruple de celui-là, qui a les deux axes de la courbe pour diagonales , et dont l’aire vaut g' sin 2m.
Du reste lorsque l'hyperbole est équilatère , comme c' =s: c , on a :
sin m ^ sin m! ^
cos m cos m' * ^
ensorte que l’ange des asjonptotes est droit , et le dernier théorème n'est autre chose alors que le précédent,
263. Si l’on a une sécante passant par un point ( • , à ) , son équation sera de la forme : >
y* — « = îï Cx' — «); .
et si l'on veut chercher la valeur des coordonnées des points d'intersection « on la combinera avec l’équation :
on trouvera par l’élimination, en observant que = «a (lorsque le point ( « , « ) est sur la courbe , comme nous allons le supposer , pour plus de simplicité), on trouvera, dk-je :
eu;'’ (a* — fi) a/ — «8 = o.
Si l’on fait alors a = o , ou si l’on imagine que la sécante soit parallèlâ à l’axe des x' ou à la première asymptote , il n’y aura qu’un point d’intersection, parce que l'équation en a:' ne sera plus que du premier degré (n®. 222). Il en sera de môme si la sécante est parallèle à l’axe des y' ou à l’autre asymptote , parce qu’on ne change point l’équation de la courbe en mettant y* pour et sé pour y'. '
Pour tirer de cette équation la valeur de a qui convient à la tangente» nous l’écrirons ainsi :
Dd
ne BX fc'HT?EKBOLE
et nous supposerons que l’on a, en mettant ^ à la place de a (n*. Iî2)l ^
— «fl
d’où l’on conclura facilement A ~ ensorte que l’équation de la tan-
gente sera:
264. Si dans cette équation on fait y' = o, il est clair que a/ vaudra CT, fig. 82 ; on aura donc la soustangente TP =. CT — CP = x' — « = «, C'est-à-dire que généralement la soustangente est égale à V abscisse du point de contacL ,
265. De plus , les triangles semblables MTP , CTt, à cause de CP=TP , donnent Mt = MT; c’est-à-dire que la portion de la tangente indéfinie comprise entre les deux asymptotes est coupée au point de contact en deux parties égales.
Cette propriété peut être généralisée, et elle s'étend à toutes les sécant»^ qui rencontrent une des courbes en deux points.
Reprenons l'équation de la sécante RS, fig. 81,.
yt — 0 = a(x' — •>),,
et faisons-y ^' =qQ, nous en tirerons x' ou
Mais on voit dans l’équation
que cette valeur n’est autre chose que la somme des deux valeurs de x"',. ou la somme des abscisses des points d'intersection ; d'où résulte
CS=Cf + C^== CQ^-h VL ;
donc VL = QS; donc les deux triangles QSN , VLR, sont égaux, et par conséquent NS = Ui. Ainsi les deux parties d'une sécante comprises entre la courbe et les asymptotes sont égales..
'iX'PVOmtt A 119 A9TMPT0TES. 2fl
266. Laissons la normale, et Aiisons encore un rapprochement assez cutieux de ce que nous venons de voir avec ce que nous avons déjà vu au n*. 256.
Menons au point de contact ( ■ , a ) fig. 82 , le diamètre Of ou d , les triangles MCP, MTP <, donneront, en observant que TP = CP =z », en nommant t la tangente MT, et faisant R = l (n°*. 100. 137. 1-46. 14b. 166.):
= «* + à* + 2»A cos 2m , <»=«*+ à* — 2 cos 2m,
d'où l'on tirera,
— P = À»S cos 2m .... (P).
Mais , par la trigonométrie :
COJ 2m = COJ* m — jôi* m.
et par ce que nous avons vu au n*. 259 ,
ce qui donne ;
fin* m = • ,
COJ 2m =
COJ* m =s
c*-td**
&’un autre côté l’équation de la courbe devient
4«fl = g*.
Substituant ces valeurs dans le second membre de (P ) , on obtient :
Or, nous avons vu (n*. 258) que
donc t — d. C’est-à-dire qu’un demi-diamètre conjugué quelconque est toujours égal à la tangente menée à l’extrémité du diamètre principal. Cela s’accorde avec le n°. 256.
Dd2
