Pour l'ellipse. Données , les deux axes

Les deux procèdes suivans reposent snr la propriété que nous avons fait connaître au n*. 219, et qu’il faut revoir. ‘

1*. Ajant décrit sur le grand axe A3, fig. 87, et sur le petit axe DD',, pris pour diamètres , deux cercles concentriques , si l’on mène différentes ordonnées AfP au grand cercle, et difl'érens rayons CM, ei que depuis les points n , où ces rayons couperont le petit cercle , on mène les parallèles lun au grand axe, les points m, où ces parallèles rencontreront les ordon" nées , appartiendront à l’ellipse demandée ; ear on aura toujours :

mP ; MP : ; nC : MC, ou t/ : V :: é : c.

2®. De différens points A'^,.fig. 88 , pris sur le petit axe ou sur son prolongement , à une distanee moindre du grand axe que la différence c — c’ des deux demi-axes , et avec un rayon égal à cette différence , on décrira des arcs qui couperont yéS aux différens points E ; on mènera ensuite les droites NEM, que l’on fera ég.ales à c, alors les points M appartiendront à reUip>se i car si avec les rayons AM , et depuis les points A pour centres, on décrit les arcs ML, qu’on mène les cordes ML perpendiculaires suf AB, et les droites AQ parallèles à cette ligne, on aura toujours:

MP -.MQr.ME: MA, ou y:V::c':c.

Au reste la ligne AM pourrait être une règle égale à c , sur laquelle oa aru’ait marqué la distance AE égale à c — c' , et que l’on ferait mouvoir de manière que son extrémité A glissât le long du petit axe , et que le point £ restât toujouia sur le grand axe ; son autre extrémité M décrirait la courbe.

A. B. Les deux procédés que nous venons de voir dépendent de la description du cercle , qui est toujours facile ; si on voulait les appliquer à

l’hyperbole ,

BELATirS AUX SECTIONS CONIQUES. 217

l’hyperbole , il faudrait partir de l’hyperbole équilatère , qui n’est pas plus facile à décrire que l’hyperbole ordinaire (n*. 219).

■ 276. PouB l’htpebbole. Données, les asymptotes et un point de la courbe.

Le procédé suivant est fondé sur la propriété que nous avons développée au n®. 2Û5. • .

Par le point donné Zi , fîg. 81 , ayant mené des droites terminées aux asymptotes, on trouvera sur chacune de ces droites un nouveau point de la couibc, en portant chaque RL en S N. '

Si l'on avait pour données les deux axes , on aurait donc aussi un point de la courbe , savoir l’extrémité du premier axe, et l’on pourrait fa'u'e usage de la construction précédente , en commcnqant par déterminer la position des asymptotes. Pour cela , il suffirait de mener par le centre deux indéfïnies parallèles aux droites qui joignent les extrémités des axes, fig. 81 ; elles seraient les asymptotes mêmes (n*. 266). 1 •

Avant les courbes, trouver leurs diamètres, leurs axes, lburs

' ASVMPTOTES.

277. Pour l’ellime eT l’hïsebbole. Connaissant les axes trouver deux duunètres conjugués qui Jassent entr'eux un angle donné.’ '• i ,

Les diamètres conjugués ne se rencontrent jamais à angles droits (n®. 253), ' et par conséquent ils font toujours entr'eux un angle aigu et un angle bbtua suppléraens l'un do l’autre ; donner un de ces angles c’est dono aussi donner l’autre. • • • - • ‘j

De plus les diamètres conjugués sont toujours parallèles aux cordes eup> pléinentiiircs què ton peut mener des extrémités. de ^chaïque axe dans lellipse , et seulement des extrémités du premier axe dans l'hyperbole ( n°*. 244 253)’. . • • . . ■ . . , J.. •; ..i - ■

Enfin lés cordes supplémentaires du grand axe dans l'ellipse Amt entr’ellcs un angle obtus , celles du petit axe un angle aigu; mais dans l’hyperbole elles ne font 'jamais cntr’elles' qu'un angle aigu (n®. 246). '

D'après toutes ces considérations, le problème précédent peut s’énoncer ainsi: étojit donnés les axes, trouver deux diamètres Oonjiigues qui fassent entr’eux un angle aigu donné. ^ ■- •*.- ; i - . ,

218 rROBLÊMES GÉOMÉTRIQUES

Sur le petit axe de l'ellipse, ou sur le premier axe de l'h^rperbole, on décrira im segment de cercle capable de l'angle aigu donné ( Géom. Append. Prob. XXIII } , elle centre de ce cercle sera au-dessus de l'aJLC en question ; par un des points où cet arc coupera la courbe, on mènera des cordes supplémentaires aux extrémités de ce même axe; enfin par le centre on fera passer des parallèles à ces cordes; ces parallèles seront les diamètres demandés : il ne restera plus qu'à terminer convenablement le second diamètre , dans le cas de l'hyperbole ( n”. 256 ).

Il faut remarquer que le problème sera toujours possible dans l’hjqier-i bole , qarce que l’angle des cordes supplémentaires , dans cette courbe , parcourt tous les degrés de grandeur, depuis 100* jusqu’à 0*. Il n'en est pat de même dans l’ellipse où cet angle n'augmente ou ne diminue que jusqu’à un certain point (n“. 245). Si dans ce cas l’angle donné sortait de ces limites, l'arc de cercle ne rencontrerait point l'ellipse ailleurs qu’aux extrémités de l’axe.

Il faut remarquer encore que si pour l'ellipse on donnait un angle obtus , on n’aurait pas besoin de chercher son supplément , parce qu’on pourrait faire la construction précédente sur le grand axe x au lieu de la faire sur le petit. Dans ce cas le centre de l’arc de cercle serait au-dessous de cet axe.

278. Si l’on demandait de trouver les diamètres conjugués égaux de l'ellipse, il est évident (n°. 256) qu'il suffirait de mener par le centra des parallèles aux cordes supplémentaires qui joignent une des extrémités d'un axe avec les deux extrémités de l'autre.

279. Pour x’ELLn^X kt L’BrrERROi.E. Eteuxt donné h centre , sans les axes , trouver deux diamètres corÿugucs faisant entr’eux un angle donné.

Si l'angle donné est di oit , cette recherche sera celle des axes ; mais cç n’est qu'un cas particul'icr ; voyons la chose d'une manière plus générale.

Si l’angle donné n’est pas di’oit , on pourra ramener le problème au cas de l’angle aigu.

Cela posé, comme on a le centre, il sera facile de mener par ce point un diamètre quelconque qui rencontre la courbe ; et puisque les propriétét des cordes supplémentaires aboutissant à ce diamètre sont les mêmes que celles des cordes supplémentaires aboutissant à un axe (n*. 257 j, nous y pourrons opérer ici comme au n*, 277.

Ayant donc mené par le centre un diamètre quelconque , mais qui abouûbse à la courbe , on décrira sur ce diamètre un arc de cercle capable do

kkLATlFS AUX SECTION! CONIQUES. 2if

iVngle donné ; depuis le point où cet ai-c rencontrera la courbe , on mè- ,l»era des cordes supplémentaires aux extrémités du diamètre en question ; puis par le centre on mènera des parallèles à ces cordes ; ces parallèles seront les diamètres demandés , sur quoi l’on fera des observations analogues à celles du n*. 277.

On opérera de même pour trouver les axes, si Tangle donné est droit ; mais dans Ce cas le centre du cercle décrit ne sera autre chose que celui môme de la courbe , ce qui rendra la solution plus .simple.

280. Poux L hypkxbole. Etant dotini le centre et nuit les axes , trouver les asymptotes.

On commencera p.ir chercher les axés, par le n". précédent, et l’ori déterminera ensuite les asymptotes par le procédé indiqué au n°, 276.

Ayant lbs courbes, ueua mener des tangentes.

Procédé général; les foyers étant connus.