Le point donné est sar la dourbe

Supposons pour un moment le problème résolu, et représéntons-nous qu'on ait déjà mené par le point donné fig. 89, 90, 91 , la tangente A/y , ta normale MN, et les rayons vecteurs FM, F’M , on aura pour l'ellipse, fig. 90, pour l'hyperbole, fig. 9iiFMT=F'MT;

et pour la parabole, fig. 89» l’une ou l'autre de ces égalités , suivant qu’on la considérera comme une ellipse ou une hyperbole , et qu‘on prendra le point F' vers la concavité de la comrbe ou vers sa convexité ( n®. 242 ). De là résulte ee procédé»

Joignez le point Jl/ avec les deux foyers, et partagez l’angle des rayons vecteurs en deux parties égales , par une droite à laquelle vous mènerez une perpendiculaire au point M; une de ces droites sera ht normale, et l'autre sera la tangente demandée < n*. 242 ).

2®. Le point donné G est extérieur ; et il s’agit de trouver le point de contact M,

Supposons que le problème soit résolu , et que l’on ait déjà la tangente et la normale ; il est évident que si par le foyer F on mène une parallèle à

Ee 2

FBOBtiMES gAOMÉTBIQüES

la normale, et qu’on la termine en £ à la rencontre du rayon vecteur de l’autre foyer ou du prolongement de ce rayon , la tangente «era perpendi- ^ culaire sur le milieu de cette ligne FE , et l’on aura M.E = Af/'ct GE = G£. Ainsi le problème se réduit à trouver le point E ; puisque le point M est sur la droite F'E ou sur son prolongement.

Or le point £ est à une distance de t ' égale à la somme ou à la différence des rayons vecteurs , c’est-à-dire au premier a*e , parce que . ..... A/£ = MF. Ce point E est de plus à une distance du point donné G égale k GF, parce que GE = GF , d’où résulte cette construction ;

Du foyer F' , pris pour centre, et d’un rayon égal au premier axe, décrivez un cercle entier; du point G, pris pour centre, et d’un rayon égal à GF, décrivez un autre cercle entier ; menez enfin une droite par un des points d’intersection de ces cercles et par le foyer / elle déterminera sur la courbe le point M cherché.

Pour appliquer cette construction à la parabole, il faut observer: 1®. Qu’un cercle décrit avec un rayon infiniment grand , n’est autre chose qu’une ligne droite. 2®. Que puisque le centre de ce cercle est supposé être sur l’axe ,. fek ligne droite en question doit être perpendiculaire à cet axe. 3®. Que dans l’ellipse et l’hyperbole le sommet de la courbe se trouve à égales distances entre le foyer F et le cercle décrit depuis le foyer F' ; et que par conséquent dans la parabole le sommet doit être aussi placé à égales distances entre le foyer F et la perpendiculaire à l’axe dont nous venons de parler. À”. Que cette perpendiculaire se confond donc avec la directrice. De tout cela il résulte qu’on peut modifier ainsi , pour cette combe , la construction précédente : ,

Menez la directrice, et du point G pris pour centre , et avec GF pour rayon , décrivez un cercle ; enfin par un des points E où ce cercle coupera la directrice, faites passer une parallèle à l’axe; elle détciminera sur la courbe le point de contact M..

iV. £. Comme on peut toujours mener par un point extérieur deux tan-.. gentes à une section conique (n®. 223), il est évident que les cercles dé-, crits des points F' et G auront deux points d’intersection ; ce que l’on pourrait du reste faire voir par des considérations géométriques. Tout comme on pomrait prouver aussi, par les mêmes moyens, que la droite GT n’a. qn’un point de commun avec la combe.

XEtATirS AÜX SECTIONS CONIQUES.

Pour r ellipse et t hyperbole ; le centre étant connu.