B'P= AH^AL

lICTIOKS CONtfiVIl X sin ( • 4- 1 * )

sin i kl sin B -

X sin ( • + ^ )

sin i

Substituant cette valeui-, avec celle de A' P, dans l’équation (1), 'on trouve, pour la combe AlAni :

sin »

si}i y sut î

( k sin B . X ■+■ sin (* + B) x* ) .... (2).

289. En conaparant cette équation avec (t), r2), et (3) du n*. 200 , avec (9) du n°. 203, avec (13) du n*. 209, et avec les équations des n“. 249, 257, on verra:

1*. Que lorsque son dernier terme est nul , elle appartient à la parabole : c’est le cas de la fig. 95, oü la ligne AP est parallèle à Bi, et où I’qji a « 4- fl = 2 droits.

2°. Que lorsque son dernier terme a le signe moins, elle représente une ellipse ; c'est ce qui a lieu dans la figure 96 , où la ligne AP va rencontrer le côté Bi du cône , et où Ton a » 4* û <2 droits.

3®. Que quand son dernier terme a le signe plus, elle représente une hyperbole; comme dans la fig. 97, où la ligne AP diverge du côté flî, et le rencontre dans son prolongement, et où l’on a « 4- ^ > 2 droits. Alors le plan coupant entre dans le cône supérieur, et y détennine la seconde partie de la courbe.

290. Pour nous assurer d’autant mieux encore que cette équation est bien celle des sections coniques ; cherchons la valeur de AB dans les figures 96 et 97 , et pour cela faisons dans (2) y—o, nous trouverons une valeur de x nulle; c’est celle qui répond au point A ; et une auU'e valeur de x, qui sera celle de AB ou de 2d, savoir ;

... k sin B

sin (o 4- fl)

Pour avoir ensuite l’ordonnée du milieu de cette ligne , nous ferons

} k sin B

sin (« +

OANj LS c6ne et le ctlindrE. 227

et cette valeur étant substituée dans (2) , nous trouverons la valeur de ÿ , laquelle étant désignée par d' et doublée, nous donnera :

2tf

A* sut » sin* A sin V sin i sin ( • + fl ) *

bien entendu que nous avons rendu réelle celle de la fig. 97 , qui était imaginaire.

Cherchant ensuite une troisième proportionnelle & 2d çt à 2d', et la désignant par //, nous obtiendrons :

d'où l'on conclura :

A sin • sin fl sin r fin > '

A sin « sin fl

ff sin y sin t sin (« + fl) sin *

2d ~~ A sin fl ' sût y sût > fin ( • •+■ fl )

D’un autre côté l'équation (2) devient, lorsqu’on effectue les multiplications :

A sin « sin fl fin • fin (» + B) x*

sût y sût t

fin y sin i

et si l’on met à la place du coefficient de son dernier terme , sa valeur prise dans (3) , on a :

A sin « sût fl

A fin « fin fl sût y sin >

^ fin y sût i ^ A sût A ’

sin ( « 4- ® )

ou, ce qui revient au même, d’après les dénominations et les valeurs précédentes, qui ont bien entr’ellcs les rapports que nous leur avons rut dans le cours de cet ouvrage :

291. Mais nous avons encore quelques observations à faire sur tout cela: 1*. Dans le cas de la fig. 96, où la droite AB , rencontre les deux côtés

Ff 2

du c6ne, si l'angle « égale r, ou si AB est parallèle à v), on a ^

sin « = sin v, et comme en général itn (■ -f- fl ) = sin APL y et que dans ce cas APL = î, on a flt/t (■ + '*) = Ensorte que la foimulc (2> donne poui' ce cas ;

k siu fl

^ s in i

ou , ce qui revient au même , par le n®. précédent ;

I/* = 2dx — a* ;

équation d'un cercle dont le diamètre est 2d. ( Vojez le n®. 287 ).

2®. Si dans la même figure , le cône étant oblique , on a l'angle « égal à î , ce qui donne PBb = », cas dans lequel la droite AB reste inclinée à

on a sin » = sin >, et comme en général

sin (« + fl) = sin APL — sin PBS , et qu'ici PBi = », on a .

sin (^9 -i- B) = sin y. Ensorte que l'équation générale devient

^ k sin fl J

ce qui est encore l’équation d'un cercle. On peut donc faire dans le cône oblique une section qui rencontre les deux côtés du cône , et qui donne un cercle , quoiqu’inclince au plan de la base ; mais la position de cette section, est unique, et toutes les autres sections obliques, rencontrant les deu.x côtés du cône, fournissent des cllqîscs. On a dit que cette section , placée de cette manière, était antiparallèle à la base.

Cette circonstance n'a p.as lieu dans le cône droit , parce que dans ce solide les deux angles » et ï sont toujours égaux; ensorte que si « = î, on a aussi » = », et la section qui donne le cercle est toujours parallèle à la base.

292. Maintenant, nous avons examiné toutes les positions possibles du plan coupant, lorsqu’il ne passe pas par le sommet, et nous avons trouvé que les sections étaient, ou des cercles, ou des ellipses, ou des paraboles, pu des hyperboles. Supposons encore que le plan coupant passe par Iç: sommet, on aura A‘ = o, et l’équation (2) deviendra :

sin « rirt ( « + fl ) ^*

^ sin y fin

DANS CÔNE ET lE CTLINDBE. 229

Si l’on se représente alors que le plan soit dans la position propre aux paraboles , ou que l’on ait « + ^ = 2 droits , on trouvera y z=. o pour toutes les valctus de x. C’est l’équation de l’axe des x, ou d’une droite qui est le côté du cône ; parce qu’en effet le plan touche alors les surfaces coniques, et ce contact détenninc une droite.

Si l'on veut que le plan coupant soit dans la position propre aux ellipses, ou que l’on ait * + fl < 2 droits, fig. 98, 1 équation précédente restera ce qu’elle est avec le signe d’en haut ou le signe moins , et ne pourra être satisfaite qu'en faisant en même tems a? = oety = o; ensorte que la section ne sera plus qu’un point ( n®. 211^

Enffn si l’on suppose que le plan coupant soit dans la position propre aux hjpeii^lcs, ou que l’on ait « -+- ® > 2 droits , fig, 99 , l’équation (4) prendra , dans son second membre , le signe d’en bas ou le signe plus , cl si l’on désigne son coélfîcient par * , on aura

y* ■=.> X* , ou y = -f- -y/ ^ . a;.

Elle représentera donc deux droites , passant par l’origine ,' qui est ici 1© sommet, se couchant sur la surface du cône, et faisant de part et d’autre de l’axe des x, placé dans l'intérieur, des angles égaux, dont la tangente trigonométrique aura pour expression -y/#. Cet axe n’est autre chose quq l’intei'section du plan coupant avec le plan fleî.

Par exemple, si le cône est droit, et que l’angle du sommet fl soit de 400® , les angles y et î seront chacun de 60* ; si de plus le plan coupant passe'

par l'axe du cône, on aura « = i50‘; il en résultera.

fltn « = sin 150* = sin 60® , j/n ( « -J- fl ) =: sin 260° = sin 50® ; ce qui donnera :

Les droites en question feront donc de part et d’autre de l’axe des a?, qui est ici l’axe du cône , des angles dont la tangente trigonométrique sera i= R ; ces angles seront par conséquent de 60° ( n°. 2 1 1 >.

293. En supposant le cône droit, comme dans cet exemple particulier, l’équation générale se simplifie un peu ; ou du moins les constantes se réduisent à trois au lieu de cinq. Car alors y = J, fig. 95 , 96 , 97 , d’où fl, «résulte sm y sin t = siri^ y ; d’ailleurs 2> = 200° — fl, et y = 100 ° — î fl. Ainsi l’on a sin y = xin f 100* — \ B') = cos\B, et sin* y = î fl. E4 fitrinule (2) peut donc s’écrire de cette manière :

leCTIONS COMtQaBf

sin • , , ,

(k sin B X -t- sin (• -{- X* ),

cos*

Mais ce qu’il y a de plus essentiel à remarquer à cet égard , c’est qu*a» lors le triangle par l'axe est toujours perpendiculaire à la base , et au cercle parallèle à la base. ( Géom. Liv. VI. n“. 27). Les deux plans MAm, AfA'm, étant ainsi tous deux perpendiculaires au triangle par l’axe , leur interscc> tion MP lui est aussi perpendiculaire ( Géom. Liv. VI. n*. 29 ) ; et par conséquent elle est perpendiculaire k AP , tout comme à A! P. Donc la formule précédente , ou si l’on veut la formule (2) , devient décidément , et pour tous les cas , l'équation aux ftxcs et au sommet. Ensorte que les valeurs de 2d, 2ct, et p' , que nous avons eues au n*. 2<J0 , deviennent les valeurs de 2c , 2<f , et P ; et que l'équation de la section peut prendre l’une ou tautre de ces formes :

px* c'*

y»=px-t- — , y* =— {2cx x*y.

294. Cela posé, si on se représentait deux cônes droits opposés, coupés par deux plans parallèles , dans la position qui convient à l'hyperbole ; et de telle sorte que le premier ne passât pas par le sommet et que le second y passât; celui-là fournirait deux hyperboles opposées, qui seraient représentées par l'une ou l’autre des équations précédentes. Quant à l'autre plan, il fomniiait deux droites qui auraient pour équation (n”. 292) ;

V sin « lin ( « -+• ^ )

: ar,

sut y sin ï

Mais la quantité sous le radical vaut ( n”. 290 , 293 ) — ; d'où il résulté t

Ensorte que les deux droites déterminées par le plan qui passe au sommet, sont parallèles aux asymptotes de l’hyperbole déterminée par le plan qui ne passe pas au sommet ( n®. 240 ).

Du reste, cette dernière équation est d'accord avec celle du n*. 211, . . y = — 1 . a; ; car , pai- le n®. 203 , A* — t =

Cela est aussi d’accord avec l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymp»

dans LB cône et le CyiTNDRE, 2S1

tote» (n“. 259 ) , aV = \g' ; car si l’on y fait ÿ ■=: o, on a = o; ce qui est la combinaison de l’équation x' = o , qiû est celle d’une des as^ mptotes, avec l’équation y' =zo, qui est celle de l’autre asymptote.

Sur quoi il faut observer que cette équation est bien diiférente de celle du point; cardans le point on n’a qu’une valeur pourx et pour y, savoir zéro; tandis qu’id quand a:'=o, y' peut avoir toutes les valcuis imaginables, et réciproquement. Ici les équations x' = o, y'=e, sont deux équations qui peuvent exister séparément , et que l’on a réunies par la multiplication; tandis que pour le point elles doivent coexister, sans cependant être multipliées entr’clles. Dans l’équation y* — — , dès que l’on

fait x = o, on a y = o, et on ne peut faire aucune autre supposition qui satisfasse à l’équation ; au lieu que dans xy = o on peut sans doute faire une des lettres égale à zéro, mais alors l'autre est quelconque; ou réciproquement , on peut donner toutes les valeurs à une des lettres , et alors l’autre est toujours zéro, ,

- 295. On pont aussi faire arriver le plan coupant au sommet sans réduire k à zéro. Représentons-nous que ce plan passe en et qu’il tourne sur ce point , en partant de la position propre à la parabole , /îg. 95 , si « diminue, la ligne >4 ira à l’instant, dans son prolongement, rencontrer le côté indéfini Bi, et l’on aura une ellipse, fig. 96. fermant toujours plu* « , sin ( « + <9 ) augmentera , cl ./4B diminuera , comme le prouve la valeur de 2d du n®. 290, et cela jusqu’à ce que » ^ = i, droit , ou jusqu'à

ce que l'angle ABB ^ l droit. Dans l’intervalle la section elliptique aura pria deux fois la forme circulaire , si du moins le cône est oblique , ou une foia seulement s’il est droit (n*. 291); et elle sera encore redevenue ellipse. Le mouvement continuant , sin (« + fi) diminuera, et AB recommencera à augmenter, jusqu’àce que « = o , et que rtn ( <« -+- fi) = rin 5 ; alors on aura 2d~k\ et parce que sin • —o, la formule (2) donnera y — o, équation du côté

Si ■ , fig. 95 , au lieu de diminuer augmente , la parabole deviendra hyperbole , fig. 97 , et la ligne AB prendra ime longueur finie. En même tems « -+• fl déjà plus grand que x droits , augmentant encore, sin (« -f- fi) augmentera, et AB ou 2d diminuera. Quand » seul vaudra 2 droits, oo aura sin (K +*) = sin (200 + fl) —sin fi; d'où résultera ou Et parce que sin a = o , l’équation (2) donnera encore y = o.

Si l’angle fi est obtus, quand • sera devenu égal à 2 droits, on aura . 4

Ô32 SECTIONS CONIOtJES

(« + a) > 3 droits. Dans ce même cas le sinus de » 'f* û n’augmente , et ne diminue, que jusqu a ce qu'on ait « 4- a = 3 droits. Aloi-s AB ett perpendiculaire sur fl», et plus petite que k, qui est oblique. Depuis ce term« AB augmente et devient enfin égale à A ( voyez la fig. 100).

Du reste le plan coupant , s’étant couché dans les deux cas précédens le long du côté Q * , a repris alors la position propre à la parabole , qui est le parallélisme à l'un des côtés; il est donc tout simple que nous ayons re. trouvé le premier résult.at du n®. 292. Là nous avions l'équation du côtéiSî, ici nous avons celle du côté 6y; mais c’est toujours l'équation d'une droite, et un cas particulier^ de la parabole.

296. Nous avons parlé dans tout ce chapitre du cône à base circulaire, et nous l’avons supposé quelconque, c'est-à-dire droit Ou oblique. Il est évident qu’on pourrait se représenter aussi un cône droit ou oblique à base elliptique ; mais alors on devrait le considérer comme n’étant autre chose que la partie supérieure d'un cône à base circulaire , que l’on aurait coupé par un plan donnant une ellipse ; ensorte qu’on retrouverait aussi dans ce cône les sections que nous venons d'examiner , et qu'il n’en pourrait point fournir d’autres.

297. Pour terminer tout ce qui a rapport à cette matière , nous allons encore dire un mot des sections du cylindre.

Par les deux extrémités du diamètre >* d’un cercle, fig. 101, menons j hors du plan de ce cercle, deux droites indefinies et parallèles fc; faisons ensuite glisser le cercle le long de ces lignes, toujours parallèlement à lui-même, et de manière que les extrémités y, î, de son diamètre restent constamment sur les droites >0, ti; ce cercle engendrera dans ce mouvement un solide nommé cylindre. Ce cylindre sera droit si les lignes v0, sont perpendiculaires sur le cercle de la base ; il sera oblique , si ces lignes sont obliques.

Dans tous les cas, si dans ce cylindre à bases circulaires, on fait des sections planes parallèles à la ba.se, ces sections seront des cercles égaux à celui de la base , et les centres de tous ces cercles se trouveront sur une même droite CD , placée dans le plan du parallélogramme 0t à égales distances des côtés .<y, *>, auxquels elle sera parallèle. Tout cela résulte évidemment de ce que nous venons de dire ; et cette droite CD s'appelle J'axe du cylindre.

U n'est pas moûts évident que si l'on fait passer par l'axe un plan coupant ,