DANS LE CÔNE ET LE CTLINDHE
pant , il déterminera sur la surface ronde du cylindre deux droites parallèles, placées de part et d’autre de l'axe, à une distance par tout égale au rayon r du cercle générateur. Et .si l’on suppose le cylindre terminé par deux cercles parallèles , la figure entière de la section actuelle sera un parallélogramme , que nous pourrons appeler parallélogramme par t axe.
2i>8. Cela posé cherchons l’équation de la section MAm , fig. 102 , dont nous supposons que l’intersection avec le plan de la base soit FG.
Menons le plan circulaire MA'm parallèle à la base , et qui rencontre le plan coupant. Leui- intersection commune sera la ligne Mm , qui sera papallèle à FG.
Conduisons ensuite un plan par Taxe , et faisons-le tourner sur cette ligne* jusqu’à ce que la droite >>, qui est son intersection avec la base, renconti'c à angles droits FG; il est clair que A' IF , intersection du plan par l'axe avec le cercle MA'm, et parallèle à >i, sera aussi perpendiculaire à MF, qui est parallèle à IG, Mais AP ne sera pas dans tous les cas perpendiculaire À AfP.
Nommons AP, x , MP, y, le rayon du cercle générateur r, et observons que sin S = sin r = sin t = siii • ; nous aurons par la propriété du cercle :
y' = A'P-XB'P .... (A).
D’ailleurs le triangle AP A' donne sin A' : x :i sin t : A' P,
ou sin fl : X :: sin * : A' P ; donc :
A'p^EJin^.
.un B
Quant à. B' P, cette ligne vaut 2r — A' P; c’est-à-dire qu’on a:
^,p 2r sin B — x sin u
sin B
Substituant ces valeurs dans la formule (A) , on trouve:
, 2r sin « „
tt» = : — X
sut 8
sm' B
équation que l’on voit tout de suite appartenir à l’ellipse.
l’on y fait y = O , on a a; = O pour’ le point .d , et x ou .
Gg
SECTIONS CONIOtES
id —
2r sin 4 sin “ ’
pour le point B.
Sj l on suppose ensuite x = , on trouve y ou
sm «
Cherchant encore une troisième proportionnelle p' à ces valeurs de 2d et 2d' , on a :
2r sin «r p' = — :■ .
stn s
D'où il résulte :
p' sin' *
2d jwj* fl'
Comparant ces valeurs avec les coéfficiens de la fonnule (5), elle pourra s’écrire ainsi :
et l’on y reconnaîtra mieux encore l'équation aux diamètres conjugués d’une
ellipse. En y faisant // = — , elle deviendi'a :
y'- — — ( 2dx — a;*).
299. Avant d'aller plus loin, faisons ici une obsen'ation assez intéressante , c'est qu’on a toujours 2d' = 2r; c’est-à-dire que toutes les ellipses coupées dans un meme cylindre oblique , ont toutes un diamètre égal au diamètre du cercle générateur (*)• Si donc le diamètre conjugué augmente en passant d’une ellipse à l’autre, son paramèü'e diminue, et réciproquement; et cela de manière que le produit de ces lignes soit toujours le même. En
. sin 8 , ■
effet , SI augmente , 2d augmente , et p diminue , comme on le voit
sin «
par les formules , mais toujours 2<îp' = Ar\
(*) Dans le cylindre (.blique les lignes qui joignent les eôte's parallèlement à la base ne sont pas les plus courtes de celles que l’on peut mener entre ces côtés, parce qu’elles ne leur sont pas perpendiculaires.
DANS I.E CÔNE ET LE CYtlNDRE. 2.^5
Dans le cylindre droit ce diamètre constant n'est autre chose que le petit axe.
D’ailleurs si le plan JM ' /n pivs.sc par le centre de l'ellipse, ce que l'on peut supposer, la d,>uble ordonnée AtPm, comme appartenant à l'ellipse et passant par son centre, est précisément la ligne 2d'; ra.ns cette ligne vaut 2r ou le diamètre du cercle ; donc clic passt aussi par le centre du cercle. Il en résulte que les deux centres coïncident. Or les centres de toux les cercles p.irallèlcs à la base, sont sur l'axe du cylindre ( n". 297 ); donc les Centres de toutes les ellipses coupées dans le cylindre sont aussi sur son axe.
300. Si on fait dans (5) « = y , ou « = î, c’est-à-dire si on suppose que le plan coupant soit parallèle ou anliparallèlc à la base, fig. 101, on aura sin « = sin B , la formule deviendra — 2 rx. — x* ; équation d'un cercle égal à la base, et qui a aussi son centre sur l’axe.
Dans toute autre position du plan coupant , s’il rencontre les côtés opposes du cylindre, la section sera clliplicjuc; et comme le cylindre est indéfini vers ses bases supérieures et inférieures , le plan coupant, partant d’un point pris sur un des côtés, rencontrera toujours l’autre, à moins qu'il ne se couche sur le premier côté. Dans ce cas on aurait « = o et la formule {B) donnerait t/ = o; la section ne serait donc plus que le côté du cylindre.
301. Si on voulait que l’équation pùt s’appliquer à une section faite parallèlement à l’axe , il ne faudrait plus que l’origine fût placée sur un des côtés, il faudrait la transporter sur la longueur de AB , fig. 102, pour pouvoir supposer que le plan MAin, tournant sur cette nouvelle origine, se
2r sin o
plaçât en efl'et parallèlement à l'axe. Or comme on a AB — — ; , une
2 ir s in n
portion de cette ligne pourra être représentée par — , t étant une
ûnetion quelconque. Faisant donc dans l'équation générale,
2ir sin S X =x + — r- — , stn «
on obtiendra , après avoir supprimé les accens :
, 2r sin « sin- «
y'=:-4ir»(l — OH ^ •(!— 2i)x tt- ar» . . . (C)-
^ $ui a siiP ê
Gg 2
En supposant i = o, on retombe sur l’équation {B), comme cela doit être. En faisant i = | , on trouve :
j/ir «
jwi- B
c'est l’équation au centre. En mettant i = 1 , on a :
2r sin « S7>i’ «
= ^ .T rr— ;
SM/ B sur B
ce qui prouve qu en plaçant l’origine en li, il n’j a plus de .section possible tant que x e.st pris en -j- ou compté vers la droite; mais en donnant à x des valeurs en — , ou comptées vers la gauche , on retrouve l’cquation primitive. Du reste il en serait de même de celle-là en prenant les x à la gauche de ^ ou en — . Cependant , on peut encore satisfaire à cette dernière en faisant x = o et 1 / = o ; ce qui représente le point B. On pomrait aussi y faii e sin « = o ; mais nous allons voir cela d’une manière gé* néralc.
Dans tous les cas donc , si après avoir pris l’origine sur la longueur de AB, on fait tourner le plan AfAm sur cette origine , jusqu’à ce qu’il se place parallèlement à l’axe , on aura « = o , sin « = o ; et l’équation (Q deviendra :
Sous cette forme elle représentera deux droites, placées sur la surface du cylindre, parallèles cntr’elles, et également distantes de l’axe des x, situé dans l’intérieur.
En faisant ici i = o , on a y = o ; c’est l’éq ration du côté gy. En faisant i = 1, on trouve encore y = o; c’est l’équation du côté >•. Eu fusant . . i = j, onay = + r; c’est l'équation des deux droites tracées sur la surface, quand le plan p.isse par l’axe; on l’obtiendrait aussi de l'équation au centre (D), en y faisant simpkmeni « = c. Et cela confirme la propriété de la section elliptique ou circulaire d'avoir toujoui's son centre sur l’axe du cône ( n®. 29U ).
Mais ce n’est là qu’un cas particulier d'une loi générale indiquée par la formule (E). Celte formule prouve que la grandeur de y, lorque r est fixé, et lorsque le plan par laxe est ni' né, ne dépend que de t, et en aucune manière de .AB. Ainsi donc si plusieur s ellipses parunt du point A , et ren-
