CHAPITRE II
Des sections conUjiies , tù'ées de l'équation générale à deux indéterminées
du second degré.
302. Soit l’équation générale à deux indclenninéc» du second degré ,
aif + bxtj + ex» + dg + ex +/= o ... (I) ,
dans laquelle les coéfiieiens a, b, c, etc. sont connus, ou sont, si l’on veut, des lignes droites données, cherchons quelles courbes elles peut représenter, lorsque les coordonnées font entr’elles un angle quelconque, droit ou oblique ( n". 1 1 7 ).
Si le premier terme , ou le terme en y ' , ne manque pas dans l’équation i et qu’on la divise par le coéfficient a de ce premier terme, on obtieadia, pour première simplification :
y* -{■ - xy + £ X» •+• - y 4- 1 X + = O.
Or l’unité linéaire étant donnée , ou prise à volonté, il sera facile de trouver en lignes les v.ilcurs de £., 1, etc. (n"*. ^I. 43), et désignant ces valeurs par B , C, D, etc., on aura:
+ Bxy + Cx*-hDy-^Ex + F = o ... (/).
Celte première opération ne changera , ni la courbe , ni scs coordonnées ; tout comme on ne change rien à une ellipse en divisant par c- son équation c’y» = c»c'» — c'»x», pour la mettre sous l’une ou l'autre de ces formes :
303. Cela posé, si nous tirons de (2) la valeur de y, nous trouverons : i/= - J f i9x -h Z>) + * \éÏB- - 4C) .c* + 2{BÜ- 2Ej x + (/?* - 4/0 ... (3);
et si nous désignons par z la première partie de cette valeur, nous aurons :
PISCUSSION DE L'ÉQUATIOh A DEUX INDÉTERMINÉES. 23!)
S = — \Bx — I Z) (4) ;
équation d'une ligne droite qu’il sera facile de con.stniire ; et l'ordonnée Tariable de cette droite représentera toujours la première partie de la valeur de l'ordonnée y <|ui correspond à telle ou telle abscisse x.
Soient X¥', , %. 103, les axes auxquels on doit rapporter la courbe
cherchée, axes qui se croisent sous un angle quelconque, si nous prenons
OCf = — * et OH ■=. , la droite HO' sera le lieu de (4); comme
on le voit en faisant dans celte équation , d’abord a: = o pour avoir la valeur de l’ordonnée s qui répond à l'origine , c’est-à-dire la valeur de OO", puis 3=0 pour avoir la valcui' de l’abscisse x qui répond au point //, c’est-à-dirc la valeur de OH.
Ajant donc pris une abscisse OP à volonté , si l’on mène PN parallèle à l'axe des y, on aura PN = — î ( A’a: + ) , et si l’on connaissait la va-
lem- du radical, et qu’on la portât en NM et NM' les valeurs de y correspondantes à cette abscisse OP seraient MP et M'P. La droite //O' est donc un diamètre de la courbe, en nommant ainsi toute droite qui partage en deux parties égales chaque corde MM' (n". 205. 247. 250); tandis que l’axe XX' n’est, ni un axe proprement dit (n®. 206), ni un diamètre,, puisqu’il partage les cordes MM' en deux parties inégales.
304. Cherchons donc à ramener la courbe et son équation aux axes HO
et rr.
Comme NM égale la partie radicale de la valeur de y, si on l’appelle y'',, en aura ;
y' = I 4C) a* + 2 (A£» — 2£) a; -+- — ÀF) . . . (5) y
d’où l’on tirera, en carrant et transposant (*) :
■y‘^ + i{ÂC—B^)x^ + {i2E—BD)x+\{ÀF—D^-)=o ... ( 6 ).
Prenant alors le point O' pour la nouvelle origine, et nommant x' la notnvelle abscisse ON, il faudra trouver la valeur de x en x'.
(*) Si on eût ordonné l’équation (2) relativement à y, le coé/ficient du second’ terme aurait été Rx+D, cl en faisant, comme nous venons de le faire ,...y = y ~ { ( Ba: -I- £)), puis substituant d.ins (2), on aurait obtenu (6). NotreproccMé a donc clé conlormc à celui que prescrit l'algèbre pour faire disparaitrele second terme d’uue équation.
240 DISCUSSION DB t’ÉQWATIOM
Or si l’on mène OG parallèle à XX' , on aura O' G = O/* = a: , et . .
î Z) = î Bx , parce que PJV, abstraction faite de sa direction ,
vaut i Bx 4- î A Ainsi le triangle O'GJV donnera, en désignant par v l'angle des coordonnées , et supposant le rayon des tables /? = 1 ( u”. 100 ) :
x'» = X* + { fi»x* — Bz* easy ... (7).
De là on tirera;
® “ ^ ^v/4 + B^ — 4B cas y ^ * •*•<*>'
et si l’on fait
^ = «r on aura x = 2|x* ... (10).
^ B* — 4B cas y
Substituant enfin cette valeur de x dans (6) , on obtiendra :
y’^^(4C—B^)t'x'*-h(2£ — BD)tx‘-hi(4f—£>^) — o ... (H).
C’est l'équation de la courbe rapportée aux axes Cf/V et IT' ; et si l’on désigne ses coélficiens par C', £', F', elle deviendra (*): j/î 4- C'x'» + E'x' + F' = 0 ... (12).
Cette équation aurait la forme des équations {U) et (9) des n*”. 200 et 203, si son dernier terme était nul : or le dernier terme , ou le terme tout constant manque toujours quand l’origine est sur la courbe ; car il faut dans ce cas qu'en faisant l'ordonnée nulle , on ait au moins une valeur de l' abscisse égale à zéra , ce qui ne peut avoir lieu avec un terme constant dans l’équation.
305. Essayons donc de porter l’origine sur la courbe , et voyons d’abord dans quel point cette courbe rencontre l’axe des x' ou le diamètre O'iV. Faisant dans ce but y = o, nous obtiendrons :
E' ±s/E'- —ÀC'F' 2C'
(•) Pour faire disparaître de l’équation (2) les lei-mes en Xÿ cl i/ , j’aurais pu employer les formules de I.i transformation des coordomiccs. J’ai préféré la marche que j’ai suivie, comme étant dans ce cas-ci plus facile, plus expéditive, cl plus lumineuse, quoique sans doute moins générale.
Ainsi
A DET.'X INDÉTERMtNÊE».
Ainsi pour transporter l’origine le long de l’axe des x' , jusque sur la courbe, nous pourrons faire (n". 158);
£' + v/ii'* — 4C'/" 2C'
l’équation (9) deviendra, par la substitution de ces valeurs, et après avoir réduit et transposé:
ou, en remettant les valeurs de C , E' , F' :
!/"’ = ± üDy-i-iC— JJ') (.ÀJ—D--) . x"—i‘ (4C—3--) x "* ... (1 6) ;
formule tout-à-fait comparable aux équations (U) et (9) des n". 200 et 203, du moins lorsque le radical ne deviendra pas imaginaire. Cette équation appartient donc en général aux sections coniques ; et suivant que le dernier angle des coordonnées sera droit ou oblique, elle sera aux axes ou aux diamètres.
306. Observons , avant d’aller plus loin , que les valeurs de x et de x' ,
/îg. 103 , étant toujours des portions réelles des axes /JO, 110/ , ne peuvent être imaginaires ; d'où il résulte que « est aussi réel ; car sans cela x ne le serait pas, comme on le voit dans (10). D’ailleurs si on supposait dans (9) 4 — âB cos y = — < , on en tirerait B — 2 cos y + v^4 coi'y — ( i + 4 ) ;
ce qui est absurde, puisque cos y est toujours plus petit que le rajon, que nous avons fait égal à 1 ; ensorte que Acos^ y < 4, et que • + 4 > 4 , car t est décidément en + pour que — • soit en — , comme nous avons voulu le supposer.
Il faut observer en outre que t doit toujours être en +; car quand x' est en + X r est aussi, comme il est facile de le voir par les différens cas que peut présenter la figure ; or si t était en — on aurait , par la formule (10), X en — quand x' serait en -f-.
Au reste si l’angle des premières coordonnées est droit , on a cos y = o
et I = —
V'4+ iî*
307. Cela posé, si 4C=.fl*, ou si C= = (| B)', ou, ce qui est la même chose , si les trois premiers termes de (2) forment un carré parfait, la formule (16) devient:
Tlh
242 DISCUSSION DE u ’ équation
y"^ = ±({2E — BD)3.'’ (17);
éijuation d’une parabole dont le paramètre de l’axe ou du diamètre est . , < ( 2A’ — BD ).
Si le coefficient de x" était en moins, rordonnée y" ne serait possible qu'avec des abscisses en moins ; ainsi la piu'abolc serait tournée du coté de ces abscisses.
Si le coéfiieient de x" devenait nul , pour ne point se tromper relativement à ce cas il faudrait retourner à la formule (3), qui deviendrait, par nos suppositions actuelles :
tj = — iBa; — lD± .... (18);
et selon que — 4A serait en plus, ou zéro, ou en moins, on aurait, ou deux droites parallèles , on une droite seule , ou rien de possible.
Voici des exemples de ces dill'érens cas :
— 2xy -t-a:*-4-^-|-a: + 1 = o parabole ;
— 2xy -+-X* + — x-J-^ = o delta: droites ;
y^ — 2xy + x’+y — x + J = 0 une droite ; y* — 2xy X* -f- y — .r 1 = O rien.
308. Si 4C — IT- est en+, le dernier terme de (16) reste en — , et la courbe est une ellipse , dont le second sommet est placé , ou du côté des x en +, ou du côté des x en — , suivant que le coéfficicntde x" est an -fou en — .
Si la quantité qui est sous le radical de (16) se ti'ouve nulle, la formule donne :
y" = (4C— .ff'O (19) ;
équation d’un point, qui n’est autre chose que la dernière origine; l’ellipse SC réduit donc à ce point.
Si la quantité sous le radical de ' 16) se trouve en — , elle sera aussi en — dans (15), dans (14), et dans (13), et l’on eu devrait conclure que la courbe ne rencontre pas l'axe des x' ou le diamètre mais comme une ellipse réelle rencontre tous ses diamètres , il en résulte que l’équation dans ce cas ne représente rien , et que la valeur de y est imaginaire ou impossible.
Si 4C — /?») = -}- t , sans que le coefficient de x" soit nul ou impossible , l’équation prend cette forme ;
A Dliüi INDÉTERMINÉES.
= 2dx" — .^"* ;
et si l'ant,lcdfs nouvelles coordonnées ou l’angle /lO'O est droit, la courbe devient en cercle dont le diamètre est ;
( 2K — BD y AI-- — D* ) ;
tandis que si cet angle est oblique, l.a courbe re.ste une ellipse, mais elle c.st rapportée à scs diamètres conjugués égaux ( n“. 255 ).
Du rcsie pour que l’angle I/C/O soit droit, il faut que l’on ait, comme on le voit par la dgurc :
d’oii l’on tire facilement :
B = 2cosy .... (20).
Or comme le cosinus de y est toujours plus petit que le rayon 1 , il faut donc qu’on ait Zt < 2.
Voici des exemples de ces difî'érens cas.
>* — 2xy + 2.r’ + 2y-j- x + 3 = o ellipse ordinaire;
y- — 2xy + 2x- + y — .t + |= o lai point ;
’ + x>>+ i*4- 3’4-ia:+l=o rien;
y“ + + x' — 3y -+-.3x + 2 = O cercle , it cos r = J.
y* + 2xy + 2x® — y 4~ * — 1=0 ellipse aux diamètres égaux,
si cos y — i.
A. B. L’avant dernière équation représente un cercle , si le premier angle des coordonnées vaut les | d’un droit, parce qu’alors son cosinus est égal à la moitié du rayon des tables que nous avons supposé 1 , et qu'il est par conséquent égal à |Zt, puisque B est aussi 1. Elle satisfait d’ailleurs aux autres conditions du cercle.
On verra de meme que la dernière équation, quand le premier angle des coordonnées est les | d'un droit, représente une ellipse qui, après les transformations , se trouve rapportée à ses diaraèires conjugués égaux. C'est ce que j’ai entendu quand j'ai mis à la suite de cette équation : ellipse aux diamètres égaux.
300. Si AC — B'^ est en — , le dernier terme de (l6) devient et la
244 DiscüssroN de l’Êouatiok
conibe et.t une lijypeii>o!e, dont le second sommet est placé, ou du côté des jg en — ^ ou du côté des x en ~r , suivant que le coédicient de i" est en + ou en — .
Si la quantité qui est sous le radical de (16) se trouve nulle, la foimul*
donne :
l/'=:± Vr- .x" ... ( 21 ) ;
équation de deux droites qui se croisent à la dernière origine.
.Si la quantité qui est sous le radical de (16) se trouve en moins , elle seia aussi en moins dans (15), dans (l i), et dans (13), et l’on en conclura que la courbe ne rencontre pas le diamètre C/N. Mais quand une hyperbole ne renconti c pas un des diamètres auxquels elle est rapportée par une équation de la lorme di (16), elle rencontre toujours son conjugué; il faudra donc changer dans (1) i en y et en i, diviser tout par c, pour avoir une nouvelle équation de la forme de (2), et la rap]>orter alors de nouveau à la fonnule(16). .S'il était possible (pic la quantité sous le r.adical se trouvât encore en moins, après ce changement d'axe, il faudrait bien en conclure qu’il n'y a point de couibe ; mais cela n’arrive pas , comme nous allons le prouver.
Remontons à la formule (3) ; pour quelle fût imaginaire , il faudrait que la quantité sous le radical fût en moins pour toute valeur de r. Or cette quantité peut s'écrire ainsi :
