BD — 2E . — AF
et pour que ce produit fût en moins, puisqu’ici le premier facteur est enplus , il fendrait que le second fût en moins pour toute valeur de x ; or on peut prendre x assez grand pour que le signe du polynôme en question ne dépende que de celui de son premier teime a* ( Algèbre n*. 752 1 , qui est toujours en phu ; donc le polynôme ne peut pas être en moins pour toute valeur quelconque de x ; donc s’il y a des y imaginaires, il y en aura toujours de réelles; donc aussi la co-urbe sera toujours réelle.
Si ( 4C — 5*) = — 4 , sans que le coefficient de x" soit nul ou impossible , l équation prend cette forme :
ÿ"* = 2dx" -j-
et elle représente une hyperbole équilatère , rapportée à ses axes si l'angle des nouvelles coordonnées, ou l’angle HO'O, est droit, et rapportée a ses
A rlOX INDÉTERMINÉES. 2-1.Ï
diamctred con jugués si cet angle est oblique (n“. 255). Pour que le premier cas ait lieu il faut que B = 2 cos > ( n*. 308 ).
Si avec <* ( 4C — £») = — 1 le coéfficient de x" était impossible ou imaginaire, l’hy perbole serait encore équilatère; mais il faudrait leloiirner à (1), changer x en et en x , et opérer comme nous l’avons déjà dit il y a un moment.
Voici des exemples de ces difTérens cas.
y* — 2xy — i’ — 2jr + 2x-}-3 = o hyperbole ordinaire si > est oblic/ue xy — X*— yr + 3x — 1=0 deux droites ;
y* + 2xy — I* + 2y 2x — 1 =0 hyperbole ordin. au second diamètre
si r est oblique ;
-jr X y — ?x^ y — x -f- 1 = O hyperb. e'quil. aux axes si cos y = j ;
y* — 2.ry — X* — 2y -i- 2x -f- 3 = O hyperbole équilatère aux diam. coiq.
si V est droit;
-t- 2iy — X* -f- 2yr + 2x — 1 = O hyperbole éqliil. au second diamètre
si > est droit ;
N. B. Quand je dis : hyperbole ordinaire au second diamètre , hyperbole équilatère aux axes, etc., etc. , j’entends hyperbole prdinaire qui, apres lestransformations , sera finalement rapportée à son second diamètre ; hyperbole équilatère qui sera finalement rapportée à ses axes, etc., etc.
310. Ob.scrvons que, dans tous nos exemples, nous n’avons fait manquer aucun des termes de l’équation ; cependant on pourrait supposer nul dans les calculs précédons tel ou .tel des cocfliciens de (1); à moins que ce ne fût a; car comment tirer d’une équation la valeur dey*, si y’ n’y est pas? Voyons maintenant ce qu’il y a à dire de particulier sur les termes qui se trouveraient manquer.
D’abord les trois premiers ne peuvent manquer à la fois , car Féquation ne serait plus que du premier degré , et elle ne représenterait qu’une ligne di’üitc > n“. l.)3 ) ; mais nous voulons qu’elle soit du second degré. Considérons donc encore les trois premiers termes, qui nous ont déjà fomni des œdicutions tres-iinportantes.
On voit tout d'un coup que si le troisième terme manquait tout seul , on aurait C = o, et par conséquent AC — /<* serait toujours en moins, parce que A* est toujours en p/ux ; ce cas serait donc celui de l'hyperbole , laquelle pouirait cependant dcgcucicr en deux lignes droites.
240 discussion de l’écdation
Si le premier teiinc manquait tout seul, comme on aurait alors a = o, il ne faudrait pas diviser toute [équation par a, car les cocflicicns devenant tous ou ï ou e, la formule (16 J ne serait pas propre à nous faire reconnaître la courbe cherchée. Mais ayant ordonné ainsi 1 équation (1):
ex' 4- ôxy ■+• ex dy ■+•/'= o , on la diviserait par c et on aurait :
*:* + t. xy-}- ^ Æ + i y + ^ = O ; ce que l’on pourrait écrire de cette manière ;
x> + £"xy + D"x + £"y + £" = o . . . (22) ;
prenant alors les x pour les ordonnées et les y pour les abscisses , on retomberait dans le cas précédent; ensorte que C" étant nul, on aurait encore une hyperbole.
Si le second terme manquait seul , on aur,ait Æ = o, et suivant que C serait on />/i(s ou en moins , on aurait aussi 4C — Ji' en plus ou en moins; la courbe serait donc une ellipse dans le premier cas, et une Iiypcrbole dans le second; sauf les cas particuliers que ceux-ci comprennent, et que nous
avons vus. Du reste, quand B = o, la ligne /éO, qui vaut devient J,
d’où il résulte que le diamètre //O' est parallèle au premier axe des x ou à /lO. Et, pour le dire en passant, si le quatrième terme manquait seul, ou que l'on eût D = o, la ligne 0(7 serait nulle, et le diamètre passerait par la première origine. Il se confondrait avec //O, si on avait en même tems £ = O et Z> = O.
S’il m.anquait deux des trois premiers termes, et que ce fût le second cl le troisième , on aurait B = o, C = o , et par conséquent 4C = JP ; ce qui serait le cas de la parabole ( n°. 307 )■ Ce serait la mémo chose s’il manquait le premier et le second, d’après ce que nous avons vu il y a un moment.
Enfin s’il manqnait le premier et le troisième , tous les coéfficlens , à cause de a = o , seraient encore ou J ou et la formule (16) ne serait pas propre à cc cas, comme nous l’avons déjà dit. Mais l'équation étant:
bxy + dy -+- ex +f— o ; on diviserait d’abord par 6, et l’on aurait:
A DEUX INOÉTEKMINÉEI.
J')'4-f^+î-x + ^ = o; ce que l’on pourrait éci ire ainsi ;
xy 4- + E'"x + = O . . . . (23).
Si le» deux termes du milieu manquaient, cette équation serait celle d'une hyperbole rapportée à ses asymptote» (n®. 259); transjjortons donc les ;ac» parallèlement a eux-racmes, et faisons (n®. 158) :
nous obtiendrons par la substitution de ces valeurs dans (23) :
x'y' 4- (Z)'" — /j ) y 4- ( E"'—k) x' + (hk — D"'k — K"'h 4- F ") = o.
Supposant alors Z)"' — /i = o ot A'"' — k — o, ou h = Z>"' et k — E"' , l'équation deviendra, après les réductions:
qui est en effet l’équation d’une hy perbole rapportée à scs asymptotes.
Du reste, sou» la forme qu’elle a en (23), elle rentre déjà dans la classe de celles qui donnent 4C"' — /f'"* < o, puisque C'" = o, et que le coéllicient de xy , désigné généralement par h, et qui doit l'être ici par^'", se trouve égal à l’unité.
311. Il résulte donc de tout cela, que toute équation à deux Indctenninccs du second degré désigne, ou une parabole, ou une ellipse, ou une hyperbole, ou un cercle, ou une droite, ou deux droites parallèles , ou deux droites qui se croisent, ou un point, ou rien.
Quant à la manière de discuter et de construire ces équations dans chaque circonstance, tout ce que nous avons dit dans cet ouvrage, et ce que nous venons de voir encore dans ce chapitre, suffit amplement pour qu’il ne reste aucune difficulté à cet égard. Nous donnerons bientét de nouveaux exemples, sur lesquels les commençans feront bien de s’exercer; mais nous allons d'abord revenir sur quelques details qui pourront être utiles.
312. Nous .avons vu (n®. 308) que pour que le dciiiier angle des coordonnées, ou l’augle HUO y soit droit, ’tl faut qu’on ait .A < 2 et égal à 2 cos y. Or si le premier angle des coordonnées , ou l’angle y , était luimcine droit , on aurait cos y = o, cl par consctjuenl pour que le sccfuid Mgle fut aussi droit dans ce cas, il faudrait que JJ lut nul ; ce qui s’accorde
2^5 discussion de l’équation
avec ce que nous avons dit au n*. 3)0, que quand B est nul le diamètre
H<y est parallèle au premier axe des x.
Pour avoir le cercle , ou l’ellipse rapportée à ses diamètres égaux , il faut
( n°. 308 ) que
substituant ici la valeur générale de prise dans (9), multipliant, réduisant, et divisant par 4, on trouve que cette condiüon revient à ccllc-CJ :
C = i — B cos V.
Mais pour avoir le cercle, il faut de plus que HCyO soit droit, ou que cosy = { iî, d'où résulte pour ce cas C = 1. Toutes les fois donc que dans ( 2 ) le coéiTicient C = l, que Z? < 2 , et qu’on suppose d’ailleurs le premier angle dis axes tel que cosv~\B, l'équation est au cercle.
Si le premier angle des coordonnées était droit, on aurait cosy = o, aloi-8 il suffirait pour l’ellipse rapportée à ses diamètres égaux, que l’on eût C — i 5’ + 1 ; mais pour le cercle, il faudrait 5 = o et C = I.
Pour avoir l’hyperbole équilatère rapportée à ses axes, ou à ses diamètres conjugués , il faut ( n“. 3ü9 ) que
substituant encore ici la valeur générale de P, prise dans (9), multipliant, réduisant, et divisant par 4, on trouve que cette condition revient à celle-ci :
C= B COSy — 1.
Mais pour que l’hyperbole soit rapportée à ses axes , il faut de plus que J/O' O soit droit , ou que cos y = \ B; d’où résulte pour ce cas C = î fl* 1.
Toutes les fois donc que dans (2) le coéfficient C — {B^ 1 , que B 2,
et qu’on suppose d'ailleurs le premier angle des axes tel que cos y j Z?» l’équation représente une hyperbole équilatère , qui , après les transformations indiquées , sera rapportée à ses axes.
Si le premier angle des coordonnées était droit, on aurait cos v — o, alors il suffirait pour l'hyperbole équilatère rapportée à scs diamètres conjugués, <|ue l’on eût C = — 1 ; mais pour qu’elle fût enfin rapportée à scs axes, il faudrait que l’on eût 5 = o et C= — 1.
3)3. Voici
