Etemt donnas les trois côtés , trouver les angles

On peut tirer immédiatement de (,V) les valeurs de cos A , cos B, cos C, exprimées en a, 6, r; mais sous une forme qui n’est pas propre au calcul logarithmique.

Prenons donc , an lieu de cela , les formules (/r) et (f) , qui n’ont pas cet inconvénient. Elles nous donneront sans calcul, en rétablissant le ra/oa K

sin \ .

sin

cosi

eos.

eosi

sin \ ( a c —

sin b

sin c

' sên

sin |( 6 + c —

sin a

sin c

si/i

sinl(c+ b —

sin a

sin b

' sin

sin f(b + e —

sin b

sin c

si/t

1 Ca

JW 1 ( a + c —

sm a

sin c

sin

sin 1 ( a + 6 —

sin a

sin b

(*) Lorsqu’on a fait quelque calcul avec le rajrou 1 , pour rétabUr le rayon R dans l’équation ou la formule qui est le résultat de ce calcul , il suffit de mettre , ou A* , ou /2’ , ete. , comme facteur dans le membre où il y eu a le moins , et de manière que les deux membres , débarrassés de leurs diviseurs et de leurs radicaux , aient enfin le même nombre de facteurs. Si l’on a , par exemple , . . X = d’où l’on tire cdx' = né, ou écrira ctfcp* siü'aà, ou x=-R ( voyez la raison de cela au n*. 41 ).

261 TBtGONOMÉTSIX

Divisant enfin les formules (1) par les formules (2), on aura celles-ci (n*. 85) :

idtxg \

sin

ietno î

sin

SÜl

l/xïto ï C ^

sin

-ha-

Hu + b

sin

331. Du reste, quand on a calculé un des angles , on peut faire usage des

foi-mulcs (X) pour calculer les autres ; si du moins Ton n’a point de doute sur l’espèce de ces angles. Et ces foi-mules n'ont besoin d’aucune préparation pour l’emploi des logarithmes. ,

332. Observons qu’il ne peut point y avoir d’ambiguité dans les valeurs des sinus, des cosinus, et des tangentes, données par (i;, (2), et (3)- car les angles A, B, C, ne pouvant ni égaler , ni surpasser 200* , I A, i B I C , seront toujoura aigus; ces angles d’ailleura ne peuvent pas être pris en moins. Ainsi un triangle est déterminé pai- ses trois côtés.

333. Si les trois côtés étaient supposés égaux les foi-mules donneraient la même valeur pour les trois sinus, ou pour les trois cosinus, ou pour les trois tangentes; ainsi lek angles seraient égaux.

Si deux côtés seulement sont égaux , les formules font voir que les angles opposés à CCS côtés égaux sont égaux.

Enfin si 1 on suppose a > ô , pour comparer plus facilement A ei B , nous commencerons par tuer de (3) ce rapport général , applicable à tous les cas:

i ^ sin \ {c + b — a)'

mais' puisqu’ici a>ô,onac + a — ô>c + ô — a; d’où il résulte . . sin i (.c + a ~ b) > sin { ic + b — a) (n'’.325), eUang{A> tnng\B. Ainsi quand deux côtés sont inégaux , un plus grand angle est opposé* au plus grand côté. '

334. Si un des côtés commea égale 100*, on tire immédiatement de(/0, en rétablissant le rayon R, les formules suivantes , qui conviennent à ce cas, et qui sont plus simples que (i;, (2) , (3,) ;

' SPHiBIQUE.

tosA^—

cot h cot c R

... cos B =

R cos b sin c

cos C =

R cos c sin b

Alors si le côté b était aussi <le 100®, on trouverait cos A = o, cos Bx=o, cos C= cos c i d’où l’on conclur ait A = 100* , B= 100*, et C=c. C’està-dire que si un triangle sphérique a deux côtés égaux au quadrant, les angles opposés sont droits , et le troisième angle a le môme nombre de degrés que le troisième côté. . ^

Si les trois côtés valaient chacun un quadrant , on aurait cos A'=>o, cos B = O, cos C = O, et par conséquent les angles A, B , C, seraient droits tous trois. ’

335. Les deitx deniières formules (4) , étant écrites ainsi :

sin c cos B = R cOs é, sin b cos €■=. R cos r,

nous fournissent une observation importante : les sinus de 5 et de c ne pouvant être nuis, et ne pouvant pas non plus être en moins, tout comme R qui est aussi un sinus , on voit que si ços B = o, on a cos 6 = o , que si cos B est en plus ou en moins , on a cos b en plus^ou en moins; et de meme pour cos C et cos c.

C’est-à-dire que si tm triangle sphérique a im côté de 100® , chacun des autres est de même espèce que l'angle qui lui est opposé; savoir, ou .

100®, ou < 100", ou > 100*. . • .