Etant donnés les trois atigîes , trouver les côtés
Au lieu de tirer immédiatement de (Z') les valeurs de ces côtés , pic« nons-les dans les formules (/n) et (w) ; elles nous donneront , en rétablissant le rayon Æ ^
cor » a = A
cos lb = R \
cos\c = R
càs A B
cos t ( -f- C-
sin B
sin C
cos l(B + A
cos{iB-i-C-
s in A
sin C
cos K C+ A
cos K C+B-
sin A sin B
TRlGONOMiTÜII
Sin :
\J — co^{(.A + B-^Ç)cos\(B-{-C~.Ay \ ' sui B sin C
sin\b
■cosl(A + B-i-C')cosl(A + C~ By sin A sin C
sm :
^ /U — cosi(A + B+Ocosi(,A + ” sin A sifi B
Et si on divise les formules (6) par les fomules (6) on obtiendra (n*. 85^.
col
, \l cosi(^A-^B -C) cos i(^A-\-C-B) \
* ** ^ ~-cos\(A A- B-A-O cosKB-i- C — A'^i
zl£1)
cos{(,A +B-i-C) cos{(,B+ C — y<)J
„ cosi(B+A— C)cosi(B+C-A){ col \b = R Y N
col ÎC
— cos l(A-^-B-i- C) cos J ( /I -f- C —
— cos l(A -i~ B -j- 6J cor J ( i4 -4“
337. Du reste , quand on a calculé un des côtés , on peut calculer les autres par les formules (A^); si du moins l'on n'a aucun doute sur l'espèce de ces côtés.
338. Remarquons bien que les valeurs des cosinus , des sinus , et des cotangentes , données par (5), (6) , et ( 7 ), ne peuvent être prises qu'en plus, parce que chaque côté étant plus petit qu'une demi circonférence, sa moitié ne vaut pas un quart de circonférence. Ainsi un triangle sphérique est déterminé par ses trois angles.
339. Si les trois angles étaient égaux , on trouverait par les formules que les trois côtés seraient aussi égaux. Et si deux angles seulement sont égaux on voit que les côtés opposés à ces angles égaux sont égaux.
Enfin si Ton suppose A'^ B, tirant de (7) ce rappoil général :
cot\a cos U C -h A — B) col j b cos \ (C-\r R — A y
nous vejTons que puisque ona C + A — 5> C-f- B — A; d'où il
résulte i*) cos C + A — B) < cos B — A), et par conséquent
(•) On a, par le a*. 32S,^ + B+ C<C 200+2^, ce qui donne HC+B—^y <100. On a de même ^ + B + C ^ 200 + 2B et', (C + ^ — B) < lOO.
col
jpnÉHiQUE. 265
tU\a col\h, et a > b. Ainsi quand deux angles sont inégaux, un plus grand côte est opposé au plus grand angle.
340. Si un des angles, comme est droit, on tire immédiatement de (Z), en rétablissant le rayon R, les formules suivantes, qui conviennent à ce cas, et qui sont plus simples que (5), (6) , (7) ;
cos a =
cot B col C R
cos b
R cos P sin C
co s c =
R cos C sin B
Alors si l'angle B était aussi droit, on trouverait cos a = o, cos 6 = o, cos c = cos C; d’où l’on conclurait a = 100, b = 100, et c = C. C’està-dire que si un triangle sphérique a deux angles droits les côtés opposés sont chaeün de 100'; et le troisième côté a le môme nombre de degrés que le troisième angle ( n“. 334 ).
Si les trois angles étaient droits , on aurait cos a — o, cos 6 = o , . . . cos c = o, et par conséquent u = 100®, b — 100*, c = 100® (n®, 334).
341. Nous n’examinerons donc plus les triangles qui ont deux ou trois côtés de 100*, ou ce qui revient aii meme, deux ou trois angles droits.
342. Du reste , les deux dernières formules (8) éumt écrites ainsi ;
sin C cos b = R cos B , sin B cos c = R cos C,
nous fournissent une observation analogue à celle du n*. 33.5 ; c’est que si un triangle sphérique a un angle droit, chacun des autres est de même espèce que le côté qui lui est opposé ; savoir ou = 100“ , ou < 100* , ou > 100®.
... TKOISIÈMECAS.
.343. Etant demies deux côtés et T angle compris, trouver 1". t autre côté, 2*. un autre angle.
• Les Ibrmules ( V) donnent immédiatement le troisième côté ; mais il faut les rendre applicables au calcul logaritlimique.
Si on connaît a, b, et C,’on fera:
cos c ‘
T = coi a -1- sin a tang b cos C\
cos b ^
2û6 trigonométbie.
et puUqu’ily a des tangçntea de toutes les grandeurs (n*. 104 >, on pourra supposer
> ^ sin 9
tang b cos C = tang « = ,
cos 9
e étant un angle , ou un arc , qu’on déterminera facilement par cette équa* tion. Cela posé on a ;
, /• . sin a sin 9. , ^cos a cos 9+ sin a sin
cos c — cos b{ cos a ‘i ) = cos b (
' cos 9 ' ' cos « ^
cos b cos (a — « ) co s 9
Or a, b, et 9 sont connus , de môme que a — 9; ensorte que l’on peut trouver c.
On aura donc , en rétablissant le rayon Æ ;
tang b cos C cos b cos (a — e)
Uuig 9 = ... cos c= . . . (9).
R cos 9
344. Si le cosinus de c se trouve en plus par la formule , ce côté aura moins de 100”, s’il se trouve en moins, ce côté aura plus de 100”, enfin s’il se trouve nul, on aura c = 100”; ainsi il n’y aura point de doute sur la grandeur de c. Et comme un triangle sphérique est déterminé par scs trois côtés ( n*. 332 ) , il l'est donc aussi par deux côtés et l’angle compris.
345. Si un des côtés donnés est égal au quadrant (n*. 34f ), on peut tirer des formules (9) ou de leurs analogues, celles qui conviennent à ce cas particulier ; mais on les obtient plus facilement de (.f). Si par exemple . . . a = 100*, on a , par la troisième, cos c = sin b cos C; ou en rétablissant le i*ayon R .*
sin b cos C
cos c ^ . . . (10).
346. Si l'angle donné C est droit , on tire pour ce cas , ou de (9) , ou de {F ) , avec le rayon R :
cos a cos b
cos c = . . . (11>.
SFHERTQUE.
347. Quand on a calculé le troisième côté , on retombe, pour trouver les deux auUes angles, dans le cas précédent. Mais si on voulait, avec les don* nées actuelles, a, b, C, calculer immédiatement un des autres angles, comme A , on tirerait de la seconde formule ( l') :
col A Z
col a sin b — cos b cos C sin C
cos C Ê cola sin b sin C V cos C
cos
... . col a , cos 9 ....
taisant alors = cot 9 = , on obtiendrait :
cos C sin 9
, , /• cos 9 sin b » / cos 9 sin b — sin 9 cos b v
col A = col C ( : cosb ] = col C( : 1
' sin 9 / ' sut a *
sm 9
col C sin {b — •)
siti 9
Et pour trouver préalablement 9 on aurait :
col a ^ i 1 . n
=z col 9, ou = , ou tang 9 = long a cos C.
cos C long a cos C latig 9
Rapprochant les équations trouvées , et rétablissant le rayon Æ, il en résulterait :
. tang a cos C , col C sin (b — ®)
tang 9 = — ... col yi = . . • (12).
Ji sin 9
348. Si le côté a est égal au quadrant , on tire de ( 12) ou de la seconde fonnule ( E ) :
col C col b
col A = ■
Si c’est le côté b qui est égal au quadrant , on obtient , par les memes formules :
. sin C long a , , tang A = ... (14).
( Voyez n“. 341).
349. Si l'angle donné C est droit, on ne tiouve pai- (12) que col A — %,
208 TRIGONOMÉTBIE
valeur indéterminée; mai» la seconde formule (F) donne immédiatement^ en rétablissant le rayon K :
cot a sin b
cot A =
350. Si on voulait tiouvcr, non un seul des angles A B , mais tons le» deux, il serait plus commode d'employer les analogies découvertes par Neper, et que nous allons faire connaître.
Comparons les formules (3) avec les fonnules [(20) n®. 95], nous tii'c~ rons d'abord de celles-ci , en faisant le rayon 1 :
. (. latig le A tang \ B') tnng I C
tang {{A + B) tang | C=^ \ a
1 — tang | A tang î B
Mais les formules (3) donnent , en multipliant les deux premières pai' la U'oisième, et faisant aussi le rayon 1 :
jj/i I ( a c — b)
tang | A tang | C =
„ „ sin 1 (b + c
tang | B tang }€ = -,
sin î (a-t-5-t-c) \ a)
d'où l'on tire , par addition :
(tang \A+ tang | B) tang | C =
stn
sin ifa+i + c)’
(a + c — 5)-4-îMii(5 + e — a>
iin i ( a + i + c ) ((13) n*. 92].
2 sin I c . cos | ( » — b ) sin Ha + b + c)
C'est la valeur du numérateur du second membre de la première équation du numéro actuel ; cherchons aussi celle de son dénominateur.
Les formules (3) donnent encore , le rayon étant 1.
sinl(a-i-b — c)
tang \ A tang ^ B
d’où l'on tire :
1 — tang J A long î 5 =
rm-tCa + 5 + c) — sw]fa-4-6 — c> fin i (a -h 5 -4- c)
. BPH ÉXIQCI.
2 wi I c roj J < a + b')
ce qui fonne le dénominateur cherché.
Substituant enfin dans la première équation , ces valeurs du numérateur et du dénominateur de son second membre , on obtient :
tang \iA-\-B) long {C = On trouve , de la même manière :
tang K A — B) tatig \C=.
cos i ( rt — h y cos i ( a 4- 6 )
sin I ( a — b) siii 5 ( a + ^ 3
Et Ton peut d’ailleurs écrire ces formules ainsi , pour qu'elles soient vraies avec un rayon quelconque :
tang \ + By =
tang i l A —By =
'osî (a — by ^ ror I ( a + 6 ) f
Ayant donc trouvé l(A+ By et {(A-— By , on aura facilement AcABy et ces deux angles seront déterminés au moyen des côtés opposés et b et de l'angle compris C.
SUATRI£ME CAS.
351. Etant donnés deux angles et le côté compris y trouver 1*. TaiUre' angle, 2*. wi autre côté.
Les formules (Z) donnent immédiatement le troisième angle ; mais 11 faut aussi les rendre applicables au calcul par logarithmes.
Si on connaît A , B et c, pour trouver C on prendra les formules (9), et on les modifiera d'après l’observation du n*. 322 , en substituant d’ailleura à 9 son cmnplémeot à un droit ; on obtiendra ainsi :
tang B cos e cos B sin (A — «)
eot • =: ... C<M C =s ' . . . f IZX
& am « ‘
270 TRIOONOMÉTaiK
352. Si le cosinus de C se trouve en plus par la formule, cet angle sera aigu, s’il se trouve en moins, l'angle sera obtus, et s’il est nul, l’angle sera droit ; ainsi il n’y aura point de doute sur sa grandeur. Et comme un triangle sphérique est déterminé par ses trois angles ( n*. 338 , il l’est donc aussi par deux angles et le côté compris.
353. Si le côté donné c est égal au quadrant, on tire de (17), ou de (Z) , avec le rayon (A; (*).
çoî C = -—
cos A cos B
354. Si un des angles donnés est droit (n*. 341 ), on peut tirer des formules (17), ou de leurs ana'ogues, celles qui conviennent à ce cas; mais on les obtient plus facilement de (Z). Si par exemple A=i00, la troisième donne :
sin B cos c
cos C = ... (19).
355. Quand on a calcule le troisième angle, on retombe, pour trouver les deux autres côtés , dans le cas des n“. 336 , 337 ; mais si on voulait , avec les données actuelles A , B, c , calculer immédiatement un des autres côtés | comme a, on prendrait les formules (12), et on les modifierait d’après les principes du n*. 322, en substituant d’ailleurs à <* son complément à un droit ; on obtiendrait ainsi :
tanq A cos c col c cos (B — • )
col 9 = ■ — ...col a= i . • ■ (20).
R cos 9
356. Si le côté donné c est égal au quadrant, on ne trouve par (20) que col a = §; maûs la première formule (iO donne immédiatement :
col a =
col A sin B R
357. Si l’angle A est droit, on tire de (20) ou de la première formule (/'):
(*) Dorénavant nous rétablirons toujours le rayon R dans toutes les formules.
SrHÉRIQCE.
■ cot c cos B ,
cot a = . . . (22).
Ji
Si c’est l’angle £ qui est droit , on obtient des mômes formules ;
shi c tang A
tang a
( Voyez n*. 341 ).
358. .Si on voulait trouver immédiatement, non-seulement un des côtés a et 5, mais tous les deux, il serait plus commode d’employer les analogies de Neper , que l’on conclurait de (16) par le procédé du n®. 322; et l'on aurait : > ,
, sin — B) \
tang ; (a J) = toj ■ .
CINODlèME CAS,
359. Etant donnés deux cdtés, et un angle opposé à Vun deux, trous ver 1*. Vautre c6té, 2®. l'angle opposé au second çdté donné, 3®. V angle compris entre les côtés donnés.
Si l’on connaît b, c, et C, pour avoir a, on prendra les formules (9),' et sans changer la première , on considérera cos (a — 9 ) comme l’inconnuo de la seconde ; on obtiendra ainsi :
tang 9 =
tang b cos C B
. COJ c COJ *
COJ (a— 9) = ; ... (25).
COJ b
360. Ayant trouvé le cosinus de a — 9, s’il répond dans les tables à d degrés, on ne saura si l’on doit prendre a — * égal à "ou égal à — -
car un cosinus appartient toujours à deux arcs égaux l’un en plus et l’autre en moins. En d’autres. termes, on aura a = c ri; valeurs qui peuvent être toutes deux en plus ; comme cela est nécessaire, parce que a ne peut pas être en moins. D’où il résulte qu’un triangle n’est pas déterminé, géné» râlement parlant, par deux côtés et un angle opposé à l’un de ces côtés.
272 TBiGONOMéTHIB
Cependant il faudrait rejeter les valcui-s qui donneraient un plus grand angle opposé à un plus petit côté , tout comme celles qui donneraient des angles ou des côtés en moins , ou plus grands que 200° ; ce qui dans bien des cas détruit l’ambiguité.
361. Si le côté donné b est égal au quadrant, on ne trouve par (25) que sin a = 1; mais la üoisicmc formule donne immédiatement;
sin a
R cos c cos c
et le triangle est indéterminé , parce que chaque sinus répond à deux angles ou à deux arcs qui sont supplémcns l’un de l’autre.
Si c’est le côté c qui vaut 100°, on tire de (25) ou de la troisième formule (f'): , '
cot a —
tang b cos C ^
ensorte que le triangle est alors déteiminé.
362. Si l’angle donné C est droit , on tire facilement , on de (25) , ou de
R cos c
cos a = r— • • • (28) ;
cos b
et dans ce cas encore le triangle est déterminé.
363. Connaissant toujours ô, c, et C, pour ü’ouver on tirera de (A) :
sin B =
sin b sin C sin c
immédiatement B ,
valeur qui sera constamment en plus ; mais on ne saura pas dans tous les cas si elle appaiüent à un angle aigu ou obtus. Cependant on pourra souvejit lever le doute comme au n°. 360.
