Si l'angle B est droit , (41) donne

B sin c

sin b = — . . . (43) ;

sui C

ce qui ne détruit pas l’indétermination.

Si c'est l'angle C qui est droit , l’on a :

. , sin B sin c

sin b = . . . (44) ;

et dans ce cas l'ambiguité cesse par le n*. 342,

(Voyez n®. 341 ).

376. Connaissant encore 5, C, et c, pour trouver immédiatement a, on prendra les analogues de (12) , appliquées à la recherche de C par a,c,ctB, «avoir:

tang e cos B , cot B sin (a — c )

long f cQt C == — ;

A stn P

Mm 2

276 tr*igonométrie

et «ans toucher à la première, on considérera sin (a — 9 ) comme l’inconnue de la seconde, ce qui donnera :

tang c cos B . col C sin 9

long 9 = — — ^ • • • •ï"* (a — f — * * ' ’

et le triangle , en général , sera indéterminé.

377. Si le côté c = 100*, on tire de ou de la quatrième formule

long B cot C

eos a = ’

et il n’y a point d'ambiguité.

378. Si l'angle B est droit , (45) donne sin a = mais on obtient par la quatrième formule ( Y) :

tang c cot C ^

SOI a

valeur indéterminée.

Si c’est l'angle C qui est dioit , on tire de (45) ou de la quatrième foi> mule (Y):

tang c cos B ^

tang a = — . . . (48) ;

et le triangle est déterminé.

( Voyez n*. 341 ).

Quelques remarques sur ce qui précède.

379 . Nous venons de voir que les triangles sphériques se résolvent par des fomules plus simples , quand ils ont un côté égal au quadrant , ou un angle droit. Or il y a encore un cas ou deux que l'on peut ramener à ceux-là.

Connaissant deux côtés d’un triangle, s’ils sont égaux les angles opposés sont aussi égaux, et réciproquement connaissant deux angles, s’ils sont égaux les côtés opposés sont de même égaux ( n"”. 333 , 339 ). Le triangle est alors isocèle , et si de son sommet on abaisse sur la base un arc perpendiculaire , le triangle sera divisé par cet arc en deux triangles rectangles qui aiuront l’hypoténuse égale, un côté commun, outre encore un angle égal opposé à ce côté commun. Or ces données sont plus que suffisantes pour

sPHiniQUE. 277

déterminer l’égalité de ces triangles comme on peut le voir par les n“. 362 et 372. Donc la perpendiculaire divise la base du triangle isocèle et l’angle du sommet , chacun en deux parties égales. Et par eonséquent les triangles isocèles peuvent se résoudre comme les triangles rectangles,

380. Supposons encore un triangle sphérique dont on connaisse deux côtés , et que leur somme soit de 200“ ; si on prolonge le plus grand de ces côtés, de même que le troisième, jusqu’à leur rencontre mutuelle, ils formeront im fuseau, (n*. 3i4), qui contiendra d’abord le premier triangle, proposé , et ensuite un second triaiigle formé par le second côté du premier triangle et les prolongemens de ses deux autres côtés. Or il est évident 1*. que ce second triangle est isocèle, 2“. que si scs élcmcns sont connus , ils donneront ceux du premier triangle , par les rapports qu'ils ont avec ceux-là. On voit donc qu’on peut ramener à la résolution des triangles isocèles, et par conséquent à celle des triangles rectangles, la résolution des triangles dont deux côtés valent ensemble 200*. Il en serait de même de ceux qui ont deux angles valant ensemble 200*; car il est facile de prouver que si deux angles sont supplémens l’un de l’autre , les côtés opposés ont la même propriété.

S\ A B = 200, A = 200 — B, et par conséquent

sin A = sin ( 200 — B) ^ sin B, Cela posé , la première formule (5) et la seconde formule (6) ont sous le radical le même dénominateur. D’ailleurs le second facteur de leurs numérateurs est aussi le même ; comparons donc leurs autres factems.

cosl(A+B— C) = cosl(.200 — C)=zcos(m — \ C);

— cos i(,A+B+C) = — cos {(200 + C)=: — cos (m -h lOf

or tOO — I C et 100 + l C sont supplémens l’un de l’autre ; donc les facteurs en question sont égaux. Il résulte de là que cos { a = sin {b^ ou que { a + { b = lüO, ou enfin que a + b = 200.

381. Nous voyons de plus en plus que toutes les propriétés des triangles sphériques peuvent se conclure des formules qui seiTent à les résoudre. Mais cette matière est fort étendue, et nous avons vu tout ce qui essentiel. Reprenons cependant encore la première formule , et supposons que l'angle A soit droit , nous aurons

cos a ^ cos b cos c,

278 TRIOONOMéTRIE.

De là il résulte que si i et c sont tous deux < 100, ou tou* deux > 100, leur* cosinus ajant le même signe , celui de a sera en + , et l’on aura dans ces deux cas a < 100. Mais si des deux côtés A et c l’un est aigu et l’autre obtus le cosinus de a sera en — et « sera obtus. Enfin si un des côtés A et c vaut 100 , ou si chacun d’eux a cette valeur , on aura cos a ~ O, et a = 100.

Ainsi donc , quand un triangle sphérique a un angle droit , si les côtés de cet angle sont moindres ou plus grands que 100, l’hypoténuse est plus petite que 100; si l’un est plus petit et l'autre plus grand que 100, l’hypo* ténuse est plus grande que 100; et si un seul ou tous les deux valent 100, l'hypoténuse vaut aussi 100.

On peut voir par (2^) quels résultats on obtiendrait en supposant a = 100*.

382. Observons enfin, pour terminer , que les triangles rectilignes ne sont qu’un cas particulier des triangles sphériques , et que les propriétés de cenxlà résultent des propriétés de ceux-ci ; c est ce que nous allons développer ; toutes les remarques qui tendent à généraliser les idées offrant toujours un grand intérêt.

Quand le rayon d'un cercle est 1 le demi-quadrant égale 0.79 (n*. 97 j; ainsi en disant que la tangente de 50* égale le rayon ou 1 , c’est comme si l’on disait que la tangente de 0.79 égale 1 ; et de môme pour toutes les lignes trigonométriques répondant à des arc* quelconques. Nous pouvons «lonc supposer que dans tous nos calculs, les lettres a, b, c, au lieu de représenter les grandeurs relatives des côtés, exprimées en degrés, désignaient les grandeurs absolues de ces côtés, le rayon de la sphère étant pris pour unité.

D'ailleurs quand les triangles sphériques, tracés sur des sphères dilférentes, sont équiangics entr’eux, les arcs qui leur servent de côtés sont proportionnels aux rayons des sphères ( grandeurs absolues).

Soient donc a, A , c , les côtes d'un triangle sphérique tracé sur la sphère dont le rayon est 1 , et «, fl, y, ceux d’un triangle semblable trace. sur une sphère dont le rayon est r , on aura :