On déduit de la propriété précédente le moyen le plus
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commode et le plus simple, en général, pour mener une tan" génie à l'ellipse ou à l'hyperbole j 1°. par un point pris sur la courbe, a°. par un point pris hors de la courbe.
Considérons d'abord un point M (Jlg. 170) donné sur l'ellipse. Tirez les deux rayons vecteurs FM et F'M ; pwlcngez FM d'une quantité M G égale à MF ; Joignez F et G; puis abaisses du point M sur FG une perpendiculaire ; vous aurez la tangente, car, a cause du triangle isoscële MFG , cette droite divise l'angle FMG en deux parties égales.
On peut démontrer synthètiquement que la ligne MR. qui divise l'angle FMG en deux parties égales, n'a que le point M de commun avec la courbe, et est par conséquent tangente.
En effet, soit Nun tout autre point de cette ligne, et joignons-le aux points F', F et G. Le triangle FNG donne F'N-f-EG>FG; mais d'après la construction, NG = KF, puisque tous les points de MR. sont également distans des points F et G. Déplus, MG = MF; d'où F'G=FM + MF = aÀ.
Donc l'inégalité précédente devient FR -f-NF > *A- ce qui prouve (n9 274) que le point N est hors de la courbe.
Soit actuellement proposé de mener une tangente par un point N donné hors de la courbe.
Pour cela, il suffirait évidemment de connaître la position du point G ; car , ce point étant déterminé, il en serait de même de FG, et par suite, du point de contact M.
Or, ce point G jouit de la propriété d'être a une distance du point F égale à 2A , et à une distance du point N égale à la distance NF qui est connue. D'après cette observation, il faut, pour l'obtenir, décrire des pointa F'., N comme centres ^ et avec des rayons respectivement égaux à aA, NF., deux arcs de cercle qui se coupent au point G , tirer F'G qui rencontre la courbe en M; la droite NM est la tangente demandée.
Comme les deux arcs de cercle se coupent en un second point G', si l'on tire F'G', et qu'on joigne le point N au point M' où F'G' rencontre la courbe, on obtiendra la seconde tangente qui peut toujours être menée du point N, en tant que ce point est situé bors de la courbe.
