DE LA TANGENTE ET DU RAYON VECTEUH

Ainsi, dans toute parabole, la tangente fait un angle de 5o° à V extrémité de l'ordonnée qui passe par le foyer.

336. Menons le rayon vecteur FM (Jpg. 184 ) , et calculons Fîg. i8f Pangle FMR , comme nous Pavons fait pour l'ellipse.

En désignant par a et at les tangentes des angles MRX, MFX, on a évidemment

tangFMR ou tangv =

i -+- aaf*

Or, Fequation du rayon vecteur passant par le point F, pour lequel on a y -=zo et x=s~, est de la fbroie

et comme il passe en outre par le point G*-**, j*), il en résulte

^ = a'(V— £\ «Pou a'=-^L.

On a d'ailleurs a = ^ ; donc l'expression de tang Y devient

ou bien, à cause de y^sa/juc", ou ay<,ft=s4pjc#t

tan* V — JEfÙtE L — £^ïl±£l--L

LYoii Pou voit que Pangle FMR est égal à Pangle MRF.

Ainsi , la tangente divise en deux parties égales V angle FM H formé par le rayon vecteur FM et une parallèle à l'axe des x, menée par le point M.

C'est ce qu'on peut encore reconnaître de la manière sui-' vante :

4o8 0E LA TANOSKTS

On a trouvé ( n° 333 )

AR = AP; d'où F»=?+AP.

D'un autre côté , soit LL' la directrice \ le rayon vecteur FM est égal à la' perpendiculaire MG, ou - + AP ; donc le triangle FM R est isoscele , et donne angle FMR = angle MRF.

337. Cette propriété fournit le moyen de mener une tangente par un point de la courbe, ou par un point pris hors de la courbe.

Fig. 184. i°. Pour mener une tangente par le point M (Jig. 184 ) , tire* la ligne MH parallèle à AX; joigne* le point Y au point G, où cette parallèle rencontre la directrice; puis abaisse» MR perpendiculaire sur FG; tous aurez la tangente demandée ; car 7 le triangle FMG étant isoscele, la ligne MR divise la base FG et l'angle au sommet en deux parties égales.

On peut reconnaître , à posteriori, que la ligne qui divise l'angle FMG en deux parties égales n'a que le point M de commun avec la courbe.

En effet, soit N un tout autre point , et tirons les lignes FN et GN, puis abaissons ;la perpendiculaire NR sur LL'.

On a, d'après la construction, NF = NG ; mais l'oblique NG est plus grande que la perpendiculaire NR; donc NF est plus grand que NK , et , par conséquent ( n° 3a8 ) , le point N est situé hors de la courbe.

Il est à remarquer que cette construction dépend uniquement de la définition de la parabole.

20. Pour mener la tangente par un point N donné bors de la courbe , décrivez de ce point comme centre j avec un rayon égal à la distance NF., une circonférence de cercle qui coupe la directrice au point G; menez Gf parallèle à AXy et le point d'intersection M est le point de contact.

Car, par construction , vous avez

NG=NF, et MG^tMFj

XT DU HATOW VBCTSUR. 4°9

donc la ligne NM est perpendiculaire sur le milieu de la corde FG , et divise l'angle FMG en deux parties égales.

La même circonférence rencontre la directrice en un second point G', tel qoe , si par ce point on mène une ligne parallèle à AX, le point oh cette parallèle rencontre la courbe est le point de contact de la seconde tangente qu'on -peut mener par le point N«