BE — 2CD

• i •. D ^ B , CD — BE ce qui donnerait * =s — -g et * = — p y H =^ —

pour les équations des deux asymptotes.

Ainsi, F une d'elles est parallèle à Vaxe des y. Les raisonnemens du n° 369 sont d'ailleurs applicables à ces deux circonstances*

37a. Le second cas est celui où V équation est privée des deux carrés.

Dans ce cas, on a recours à une autre méthode pour déterminer les asymptotes.

Soit l'équation Bxy -f- Ify + E* + F csr o ; si on la résout d'abord par rapport a y> on trouve

— E* +'F y ~ Bx + D ;

ou effectuant la division de E* H- F par S« «f- D,

__ E DE — BF y ~ B + B(B* + D)'

Posons y, =s — ~.

Je dis que cette dernière équation, dont le lieu géométrique est une droite parallèle à l'axe des *, représente une asymptote à la courbe.

En effet, prenons la différence entre l'ordonnée y de la courbe et l'ordonnée yx de cette droite; il vient

— — DE — BF 9 y\ — B(8* + D)'

DBS ASYM*TOYES. 4^

Or, il est évident que plus x augmente (à partir Je x = — • -=r ,

qui donne Bx + D = o), plus cette différence diminue. Elle peut même devenir aussi petite que l'on veut , et se réduit à o lorsqu'on suppose *= oo, c'est-à-dire que l'ordonnée de la courbe et l'ordonnée de la droite deviennent alors

E égales. Donc la droite y x = — « est telle que la courbe s'en

rapproche sans cesse et autant que l'on veut , sans pouvoir cependant jamais l'atteindre autre part qu'à l'infini. Donc elle est asymptote.

En résolvant l'équation par rapport à * , on obtient

"-1 JPH-F) D DE-BF ,

By+E- B^BCB^ + E)'

et si Ton pose *,=•—•—,

on prouvera , comme précédemment, que cette dernière équation, dont le lieu est une parallèle à l'axe des y, représente une

DE — — BF seconde asymptote ; car la différence x — xt étant =-7= — ■-— ,

B(By-|-E)'

E diminue à mesure que y augmente, à partir de ^=— -,

et peut même devenir moindre que toute grandeur donnée.

Ainsi ^y, = — = , *, = — — sont les équations de deux asymptotes de la courbe représentée par l'équation

Bxy + Dy + E* + F = o.

Ces droites étant d'abord fixées de position , il faut , pour tracer la courbe, donner à x des valeurs particulières et construire les valeurs correspondantes de y, tirées de l'équation de la courbe. II suffit même d'un seul point , puisque (n° 3*7), connaissant un point de la courbe et les asymptotes , elle peut être facilement construite*

Soit, pour exemple , l'équation *y — ay + * — t = o . [Nous supposerons la courbe rapportée à des axes qoelcon-

4&> CONVmUCTIOH

Fig.y&qués AX, AT (Jig. 2o5); autrement, l'hyperbole serait équilatère ].

Cette équation donne y

et résolue par rapport à *, jt= ^ . =s a — — i — .

Donc y = — • i , x = a , sont les équations des deux asymptotes qui, sur la figure, sont représentées par les droites HH'r LL'.

Soit fait dans l'équation proposée y fc= o \ il en résulte . . . . x = i ; c'est-à-dire que la courbe rencontre l'axe des x au point D pour lequel on a AD = i. On a de même , pour * = o ,

y = • Ainsi la courbe passe par le point G, tel qu'on a

AG = — -, et peut être tracée d'après la méthode du n* 327.

373. Autre moyen de déterminer 4es asymptotes dans le» cas particuliers qui précèdent.

Il est remarquable que l'équatiou