E DE — BF

•r— B + B (fi*+D) '

qui donne la première asymptote, peut également faire cou* naître la seconde : il suffit pour cela d'égaler a o le dénominateur de la seconde partie de y. Car en posant B#4-D=sof

on trouve ar=— — .

Cette valeur de x portée dans l'équation de la courbe f

donner = po ; ce qui prouve que la droite * =c — - rencontre

la courbe à l'infini. C'est en effet Tune des propriétés dont jouissent les asymptotes. Mais cela ne suffit pas pour les caractériser*, il faut encore , pour qu'une ligne soit reconnue aeymptotêj que la courbe puisse s'en approcher sans cesse et autant que l'on veut.

Alla de faire ressortir ce second caractère, nous désignerons y

DBS ASYMPTOTES. fâ]

pour plus de simplicité ,

E , D DE — BF — B V**y> — g par x et ^ — par m\

l'équation de la courbe prend alors la forme

Cela posé, je dis que la droite x—x est telle que la courbe s'en rapproche sans cesse et autant que l'on veut.

Car si l'on pose x •=* xf z*z & y fr étant une quantité très petite, l'équation (i) devient

Comme y et m sont des quantités finies et déterminées, on voit que plus /* sera petit, plus «y sera grand, plus par conséquent les ordonnées des points de rencontre de la courbe avec les droites (x = x9 ±: J) qui avoisinent la droite x = j/> seront grandes.

Celle-ci 'qui, comme nous l'avons déjà vu, rencontre la courbe à l'infini, est doue telle en même temps, que toutes les droites qui lui sont parallèles rencontrent la courbe en des points d'autant plus éloignés de l'axe des x que ces droites sont plus voisines de la droite x = x'> Done la courbe se rapproche sans cesse de cette droite j et autant que Von veut, sans pouvoir cependant la rencontrer.

Ce moyen est applicable même au cas ou l'équation du second degré est de la forme

Aya + Bxy + Dy + Ex + F s o,) ,y, „ %

ou 11*,.+ (2 + 1& + E*-+.F = 0.}(^"n° 37"->

Considérons en effet la première et résolvons-la par rapport

à xj il vient

{^+Dy+F)

x— Bjf + E *

0*1, si l'on effectue la division en partie,