QtJATaièMK question. Réciproquement , un point et

56b PROBLÈMES' SUR LA DROITS

une droite étant donnés dans Vespuce* mener par le point un plan perpendiculaire à la. droite, M trouver la longueur de la distance duppmt à* la droite. \ /« •

x =: az -f- Sûient

j , - L... *. (i) les équations de la

droite donnée , et a/ , y' ,z les coordonnées du point. L'équation du plan cherché' sera (n° 43 1) de la forme

A(r — xf) + B(y— y') + C(z — 2,') = ° (*)

Or, par hypcrfjifeie^ îâ^ffrôidfet le plan sont perpendiculaires entre eux ^ on a donc (n° 433) entre les coeificiens A, B, Cet a, fr/les relation**' -*- v~ h •-

. A=oC, B = AC; d'où , substituant dans- Inéquation' (a) et divisant par C,

aix—x^ + bXy-r-jtji'jr*— »'=»©.-.. (3) C'est l'équation du plan cherché.

Maintenant, pour ohtenir la distance dii point (*? * y > *') au point %fa )e ^lan'rtfft centra la droite, il suffit de chercher les valeurs de x — x* , y — y' , z -*- z' propres à satisfaire en même temps aux. équations (i) et (3}9 et de porter ensuite ces valeurs dans- l'expcessioft gé»éra^ de -la distance entre deux points donnes.'

Afin d'effectuer cette élimination , nous mettrons les équations (î) sous la forme

x — x = a (z — z) + « — x' + az' ,

y — y' =* (* — »') +-C— / + te'... (4)

(Cette transformation est analogue à celle du h° 1^7.)

Cela posé, si Pon substitue pour x — x', ^ —y , leurs valeurs dans l'équation (3) , il vient

(0*+**+ 1)(z—z')+a(.*—x' + az')+b(C—y+bz,')=zo;

sfr i*b fi*aw. 56 i

d'oi *-* = o*+fr+i •*+*«+! '

en posant, pour simplifier ,

Portons cette valeur de £ — s' dans les équations (4) ; on obtient pour Taleurs correspondantes de x — x\ y —j* ,

Faiisant la somme des carrés de x — af9 jr—y9 z— *', et observant, i°. que les premières parties élevées au carré

donnent pour somme, , ,» , > 2°. que la somme des

— aW doubles produits se réduit, d'après la relation (5), à . . t. . — ,

on trouve enfin pour l'expression la plus simple de la distanoe du point à la droite donnée,

436. Conséquence* Si l'on joint le point (jxf fjr' , s') au point ou la droite est rencontrée par le plan qui lui est perpendiculaire, point dont nous désignerons , pour le moment , les coordonnées par 3f,y>zHy\\ est évident que cette droite de jonction est perpendiculaire sur la droite donnée. Or, les équations de cette droite sont (n° 4 17) de la forme

et les rapports -; y> —« ~r ne sonl autre chose que le9

$6& HJLN* FARALLÈLE8.

rapports des valeurs de x — x' , y — ,/,*—• / trouvées dan* le n° précédent. Donc, en effectuant cette substitution, l'on obtiendrait les équations de la perpendiculaire abaissée d'un point, sur une droite dans l 'espace; question dont nous avions déjà indiqué une première solution (n° 4?4)*

Nous n'achèverons pas ce calcul, qui n'offre aucune difficulté et qui conduit d'ailleurs à des résultats peu étégana»

43 "J. Cinquième question. Par un point donné dans P espace mener un plan parallèle à un autre,

' Avant de résoudre, ce problème, nous QonuBtinoerons par établir les conditions analytiques qui exprimant que deul plans sont parallèles.

f Ax + By + C* + D = o,l . SQient \A!x+Vy+Cz+iy=o,\ +***»**

de deux plans donnés dans Pespaoe.

Si ces plans sont parallèles, leurs traces sur le plan des x% et sur celui des y 2 doivent être aussi parallèles. Or, (n° fo8) les équations de ces traces sont

Àx + G* + D s= o, By +C% + D = o, pour le ier plan, A'x + C*+ D' = o , B'y + Cz + D'= o, pour le second.

Et pour qu'elles soient respectivement parallèles, il faut (n° 4K8) que Fon ait

A A' d'où l'on déduit encore "o == "5? •

Désignons actuellement par x', y, d les coordonnées du point donné.

L'équation du premier plan étant Ax -f- By -J- Cs -f-D = o, celle du second, qui est assujetti à passer par le point. ...» (x/, y', /) sera de la forme

INTERSECTION COMMUNE DE DgUX PLANS. 56$

frais , par hypothèse , les deux plans doivent être parallèles j on a donc

— — — — — ? d où a' — - a B' — 5 C

Portant ces valeurs de A', B' dans l'équation précédente , et divisant par C> on obtient pour l'équation demandée ,

A(x — aO + BCy — /)+C(* — *')=o,

équation dont les trois premiers coeffîciens sont les mêmes que ceux de l'équation du plan donné -, il n'y a que le z de l'origine (n* 427) qui soit différent.

Si le point par lequel on veut faire passer le plan parallèle, est Porigme même des coordonnées , on a alors

et l'équation ci -dessus se réduit h

Ax + By + Cz = o . . . . ( t'oyez n° 427«)

43& SixiifeE question. Trouver les équations de Fintersec* lion commune de deux plans.

. cAr + 8^ + 62 + 0 = 0, (i)î &W"X lA'x+ B>+ ff* + D'= o, (2)$ le8é9u*tioM

des deux plans donnés.

Nous observerons d'abord qu'une droite dans l'espace est tout aussi bien déterminée par les équations de deux plans quelconques qui la renferment, que par celles de ses projections, lesquelles équations ne sont d'ailleurs elles-mêmes (n° 4i4) i^ue les équations de deux plans perpendiculaires, l'un au plan des x% , et l'autre au plan des y*.

Mais on peut a voit besoin , pour certains problèmes, de connaître les équations des projections.

Or, si l'on élimine y entre les équations (i) et (2), l'équation résultante en xz , appartiendra à. un plan perpendiculaire au plan des xz, et passant par la droite; donc elle sera l'équation de la projection de la droite sur le plan des xz.