M*' ' (MV+P

• j Ma , , ., M*'

ce qui donne asss — g^ f * = or a = 0, 6 ==— j— -r;

donc les deux relations ci-dessus deviennent

^X-j^ + C^o; d'où A-^.C,

Bx-^ + Css°i d'oîl B = W * C*

Substituant ces Talenrs dans l'équation (5), on obtient enfin,

M«'(a— *')+My (y — /) +MV(«- *•) = o. . . (6)

jlv% atratAexs Dtr second nvoni. 627

tm développant et ayant égara a la relation (2) ,

«équation qui ne diffère de l'éqaatiop dç la* surface , qu'en ce que les carrés z*9y*fx%9$ont remplacés par les rectangles zz'yyy'yxx\

Soi. Passons actuellement aux surfaces dépourvues de centre* L'équation générale des paraholoïdes étant

{on Terra bientôt pourquoi l'on suppose le coefficient de x égal 1 aN") , on a pour le point de la surface dont le» coordonnées sont x9 y99*>,

M^+Wy+aÀVaBO... (a)

Les équations des intersections de la surface par deux plans parallèles aux plans des rs et des yzf passant par le point. . • .

y = y', M*' + aN'x + M'y» « o, 9 x= x', ftt* + M'y + aSV = o;

et celles des tangentes à ces courbes, menées par le même point 9 sont (n° 3ga)

y « y, m*/ + N*(* + *') + My» = o,

x = x% M*a' + M'yy' + aNV = o.

Maintenant 1 le plan tangent devant passer par le point affy\ s/ , son équation est de la forme

À(x~ xO + B(y — /) + C(« — s/) = o;.«. (3)

les relations qui expriment que ce plan est parallèle aux deux droites, étant toujours Aa+B6+CÎ=o, Aa/+,Bi/+C=o, on a évidemment ici

Ma' . ,. ., Ma/

626 Pi-AHâ TJtfOfeHl *** itfttMe** DV IVMHrB DBOli.

ce qaï donné pou* les dent rièlattans ;

Il vient donc, par la. substitution de. ces valeurs dans Féana» tion(3),

ou ayant égard, à la relation (a) ,

Mm' + MW + N* (x + jc') = o ;

[te terme »N*«», omF^ -J-N'jp* se trouve changé en

Hf# + SV ou N*{x + *')].

5oa. Si Ton voulait obtenir les" ' équations de la normabj c'est-à-dire dé la perpendiculaire *u plan tangent, menée par le point de contact (&' ,y' , *')> il su fierait d'appliquer lesprin-* ci pes établis (n° 433), oe qui n'offre aucune difficulté. Ainsi il est inutile de s'arrêter sur celte question. ,

5o3. On peut se proposer de mener un plan tangent d anse sur faut du second degré j par Un point pris ton de cette sur* face.

Soient 2", y*, «'les coordonnées de ce peint; af , yt,tf désignant toujours celles du point de conjtact. . Qp a entre cet coordonnées les deux relations

, Ma'» + M'/' + MV1 + P tes o,.,. (1) M*V+ M>y + MV/+ P=:o.... (2)

(noms ne considérons ici que les surfactes qui ont un centre)*

Ces trois équations renfermant trois inconnues a/, y, &' , ne suffisent pas pour les déterminer. Ainsi , par un point exté*

rieur , on peut mener une *afeU4 4^ piwi TWfiF1** à une surface du second degré.

En donnant k of u»e suite de valet*** arbitraires , on tirerait des équations les valeurs de j/, s7, correspondantes à chacune de ces valeurs, et l'on obtiendrait ainsi leé coordonnées des points de contact de tous les plans tangèns^ ou bien, si l'on éliminait successivement y et x', on parviendrait à deux nouvelles équations en xf y z et en y' 9 * , qui né seraient autre chose que les équations de la courbe passant ' par tous les points de contact-, et'.catte , courbe, ppupcrait être regardée comme la base d'une surface conique dont le centre serait au point donné, et qui enveloppe rait'fa »urfhc* du: second degré proposée.

D'ailleurs, l'équation (2) étant linéaire en x% y* , z', 9 s'ensuit que la courbe de contact est plane; et -puisque cette courbe est située sur une surface du second degré, nous pouvons encore conclure (n° 4<)5) que cette courbe est du second degré, aussi bien que 1* surface conique dont elle est la base.

5o4* Nous terminerons la théorie des surfaces du second degré par là démonstration d'une propriété fort curieuse de l'hyperboloïde à une nappe et du paraboloïde hyperbolique. Cette propriété, qui peut se déduire très simplement de la considération du plan tangent, consiste en ce que chacune de ces deux surfaces peut être engendrée de deux manières différentes par le -mouvement d'une ligne droite.

Reprenons l'équation des surfaces qui ont un centre,

Mz» + My + Wrx*+^ = o;... (t)

on a (n* 5oo) pqur Féquation du plan tangent à ces surfaces, Mz4' + M>/+M<W + P = o;.,. (2)

les coordonnées ai , y } a' étant d'ailleurs liées entre elles par la relation

630 «BJsisATION DB L'mrPEHBOLOÏDK.

Pour déterminer Je^ 'points q*i se trouvent à la fois sur h surface et sur le plan tangent, il suffit de combiner entre elles les équations (i) et (a). Or, si l'on double l'équation <:*) 9 et qu'où la retranche dé la sbtthrie des équations <i) «et (3) , il vient

m(«— «ry+ircy-yy+M'c*— x')a = o,,.. (4)

équation d'une nouvelle surface dont tous ks points avec le plan tangent appartiendront aussi à la surface proposée, puisque cette équation peut remplacer l'équation (i).

Observons d'abord que » si les'cMfliciens M > M', M9 «ont tous trois positifs, l'équation (4) »? peut être satisfaite q«e par *=z', y=yy o?=j/. Donc, dans ce cas, qui est c&~. lui de YtUipsokks le plan taqgeutri'a gsVit» poimt commun. 4H*c la êurfaç*.

Mais supposons que J'oi* ait M , M'.positifo et M* négatif ■ l'équation (4) et l'équation (a) deviennent

M(z — fcV + M'Cr— /)* — Mf(x — xy=ro,...(5) Ma»'+ M>/— M**x'+ P « o ,

que nous remettrons (n° 5oo) sous la forme

Ms'(2-2') + M'y {y — y) — MV(.t- i/) = o.„ (6)

Gala posé , afin-de reconnaître si ies aurfaces représentées par

les équations (5) et (6) peuvent avoir une droite «asamaine,

nous combinerons te* équations avec lessivantes ,

x— xf^=a(z — V), jr — y=b(z-~zrfo.... (7)

qui sont les équations d'une droite passant par le point af , y'9 1!\ et nous tâcherons de déterminer a, b d'après la condition que la droite se trouve tout entière sur les deux surfaces.

Or, si l'on substitue dans les équations (S) et (6) les valeurs de x — x*,? — y y tirées des équations (7), on trouve pour les résultats de ces substitutions,

SU***- 63i

(a — **) (Mz'+MV-MW)==o,

oh U») faisant afetnction du iacteur s— a' correspondant au point x'>y, z, que nous savon* déjà se trouver a la fois fur les deux, surfaces et sur la droite , v

M +JT6» — MV = o,.,.. (8) Mi + M 'b/— MWsb o (9)

Telles sont les relations qui expriment que 4a droite te trouve tout entière sur les deux surfaces.

On déduit de l'équation (9) ,

My.»+ity.

dyoù , substituant dans l'équation (8) et ordonnant ^ M' (MV- MV») 6*— aMMy/ . 4 « MV* — MM V ;

, , MM//*'±l/MM'M'*"(M«,'-h My-MV)

donc *= M'(nv-My) '

ou , en ayant égard à la relation M*"+M y»— MV* +P= o,

MM'// * x7 1/— MM'M'.P

— V(mv— My^ — é

La râleur de A étant calculée, on la substituera dans Fe*~ pression de a, ce qui donnera la valeur correspondante de cette seconde indéterminée.

Il reste actueUemcsatir savoir dans cpiel cas la quantité b sera susceptible d'une détermination rlelU* Or , cela ne peut avoir lieu (M, M*, M0 étant supposés ici essentiellement positii») qu'autant que P est négatif; 'condition qui (n° 435) correspond à Vhyptrboloïde è une nappe*

Done, pour ce genre de surfaces, le plan tangent en un point quelcopfue^ deux dmkié 4xmèmune§ avec ceîU wrfae*.

En d!ao£res tesmfcsi, il n'y à *pas un pointée la surface par 1 quel on ne puisse imaginer deux droites qui *e trouvent tout entières sur^ cette sifrface; ou bien encore, la surface p*u* être coueidkfr tpmpu^gtrvfqi* par une<titait* <U aeùtr manières différentes (royez n* 4ll)î . *

5o5. Cette propriété du plan tangent à Fhyperboloïde à une seule nappe, n'infirme pas laf défini tiùh que nous avons donnée du plan tangent (n° 5qo)± au contraire ., elle en est une conséquence naturelle ; car , puisque le plan tangent se compose de toutes le*,taigmMi<jmtiiâes «en un point quelconque t si Fun des élémens de la surface estime ligne droite, le plan tangent doit passer par cette droite , qui est sa propre tangente.

C'est ainsi que le pfeû taagtnt ai* tèmt toucbe la surface suivant une de ses génératrices my ce qu'on peut voir d'ailleurs d'après ce qui précède*

Eneffel?, la surface .coniqoe n'e^t qu'un cas particulier de FhyperboMde , et * obtient oui posant P = o.

Donc les valeurs 4e at b ci-dessus deviennent

Lj 'Mwy/ MMy/ y

"" M' (M V — M'/*) ~ M'Mz^ te s"

* TiV? M'xV «'*

Or , il est aisé de reconnaître que ces râleurs sont précisément les tangentes des angles que forment avec Paxe des z, les projections de la génératrice du cône

Mtf + My— M"x» = o.

Il esta

est cette d

car on en déduit

remarouer que Péquation (5) du numéro précédent, *un cèéeidôrffl* centre a pour coordonnées x', /, /;

résultat qui (n° £65) caractérise une surface conique.

6o6. Pafton* aux pwr«beloule«<iOti à<ponr four équation,

et pour celle eu plan tngeut M prtnf #Vy, ** (n*Soi ) ,

M**'+ M>/+ H" (x + a/) == o, • . . (a) x', y, *' étant liés par la relatif*!* .

Wr^+lWy^ + aNV^.,,. (3)

Ajoutons les équations (i)(et(3) ,«t retraneltè*s<de leur somme le double de la seconde^ il vient •

M^-s^+^c^-yy^o,... (4)

résultat qui peut remplacer Féqu&ttoh (r) , eu" tant que l'on cherche les points communs à lA'sutfitàè proposée et au plan tangent* Or comme, dans l'hypothèse ofl'M1; M' sont de même signe , F équation (4) ne peut être satisfaite que par s = *', y=y, il s'ensuit que le parnbololde elliptique ne peut avoir qu'un point commun av%c son plan tangent.

• Mais supposons M' négatif, et Mettons; le signe en évidence; l'équation (4) devient , . " l ♦ "

MCs-sO'-M'^-^^.o;/.'-. (5)

/M on en déduit y —y = ±: (* — «') i/¥jp $

d'où l'on voit que l'équation (5) représente un système de deux plans perpendiculaires au plan des yz% et dont les intersections avec le plan tangent sont, en général /deux lignes droites. Nous sommes donc en droit de conclure immédiatement que le paraboloïde hyperbolique et le pian tangent en un point quelconque de cette surface, ont deux droites commune* passant par ce point.

Mais pour $xer la position de ces droites, comme nous Pavons fait plus haut, nous combinerons l'équation (5) et celle du plan tangent, qu'on peut ( n* 5oi ) présenter sous

634 VEnà*AXÊm mm *muuk>u>u>c

la f onpe

avec les équations

cr-afqai<«r*Of 5— /«3*(*-0.-. (7)

Il résulte de la substitution db ces valeurs de x>—d,y— y dans les équation* (5) et (6), et en faisant abstraction du facteur «-*•*'»

M — MTft^o, Mz' + my— TTa = o.

On tire de la première ^

d'où, substituas* da/tt la «Monde,

«"=* fl4

HKHtll

ces valeur* de a et do £ sont toujours réelles» dans le «as «ta paraboloïde hyperbolique. Donc il nJy a pas de point de ceMe surface par lequel on ne puisse* imaginer deux droites situées tout entières sur la surface.

La substitution 4e la râleur de b dans la seconde dos équations (7) donne

résultat identique avec celui qu'avait donné l'équation (5).

Gomme b est indépendant de x'> y\ «', il s ensuit que , dans les deux systèmes de génération du paraboloïde hyperbolique par une ligne droite, les projections de toutes les droites d'un même système sur le nia» des yz «ont parallèles entre elles.

Donc ces droites sont elfes -mènes «Urnes dans dm plans

parallèles entre eux} et c'est là ce qui peut servir à distinguer rbyperbolQsde à -nw, seul? nappe du paraboloïde hyperbolique , quoiqu'ils aient an mode commun de génération*

Dans celui-ci, toutes Us dfXdte* génératrices d'un mente système sont parallèles à un même plan; tandis que, dans 1 autre, les génératrices. ont u*e dû^ctiûaijtfekopqjua Aini l'espace. , •';;'■•

La surface conoïde que nous avons obtenue {n* 4^) ** supposant qu'une droite glissât le long de djBnx antres , et de manière à rester constamment parallèle k un plan , a'«4 autre chose que le paraboloïde byperbrôftte** .

jRK irors sur iltùHattvk mi coman nv secon» deor£