HT—M

no, tang9 = =fc V M^m"

cos ç

il y en a un qui est toujours réel; mais il n'y en a jamais qu'un seul.

D'ailleurs, puisqu'à chaque hypothèse , cosô=o, ou sin^ = o, ou cos ç = o , il correspond deux valeurs pour la tangente de l'antre angle , il s'ensuit qu'on peut toujours, par chaque point d'une des surfaces du second degré qui ont un g&t&b, faire passer deux plans qui coupent cette surface suivant une circonférence de cercle,

[ La. propriété de la section anti-parallèle à la baae, d«M le cône oblique (n° 271) n'est qu'un cas particulier de celle-ci.]

DANS LES SITKFACES DIT SIOONB DB<Hi£. ' 6*3

Si l'on se rappelle l'acception donnée n° 453 aux quantités p et •, on reconnaît sans peine que lés hypothèses cos 6 = o, cos Q =2 o, sin p = o , correspondent à des plans respect ivement perpendiculaires aux plans des troi* sections principales»

Ainsi , cos 8 = 0 indique que le plan sécant est perpendiculaire au plan des xy\ coe?:=o, qu'il est perpendiculaire au plan des x*\ et sin f =0, qu'il est perpendiculaire au plan

des jr*.

Admettons maintenant que la surface soit de révolution, tfest-Wir* que l'on ait M = M' ( n* 481 , 486 ) j les troi» systèmes se réduisent à

cos 6=o9 tang ç = 00, ou cos 9 = o,

sin f se o, tang 8 ss ± f/— - *>

cos ç> = o, tang 9 = 00, ou cos 8 = o.

Le second système est évidemment imaginaire. Quant aux deux autres, ils rentrent l'un dans l'autre, et signifient qu'il n'y a qu'un plan perpendiculaire à l'axe des x qui puisse produire une circonférence de cercle.

498. Les conséquences précédentes souffrent quelques modifications pour les deux paraboloïdes*

Les cœfipiens A, B, C de l'équation transformée en xy ont (n* 4<j6) pour valeurs,

A = M sin* 8 + M' cos* 8 cos'p, B = — 2M' cos 8 sin ç cos 9, C = M' sin*<p;

ce qui fait voir d'abord que l'hynothèse sinp =*o est inadmissible, si l'on veut que l'intersection soit une circonférence Je cercle, puisque cette supposition entraînerait C = o, et que, dans le cas du cercle, ce coefficient doit exister.

Ainsi les deux conditions B = o , A 2= C , deviennent ici

cos8cosp = o, et M sina 6 = M' sin9 9 ,

équations qui peuvent être satisfaites ,

624 D*3 SECTIONS CIRCULAIRES , etc.

soit en auppotu*' <**: lât^; tfoi sia <p =2 dfc t/rp ,

soit en supposant coâ <p = oj d'où sin fl a= ± * /«■•.

Ces deux systèmes sont nécessairement imaginaires, dans le oas du paraboloide hyperbolique, puisque M et M' sont de signes contraires (résultat qui s'accorde avec ce qui a été dit n° 4<j6)- Pour le paraboloïda elliptique, le premier système seul est admissible, et H* aeopnd inadmissible, si l'on aH<H'; k contraire a lieu, lorsque M est > M'.

Soit enfin M = M' j il en résulte

cos 8 = o, et sin 4 = ±: 1 , ou cos f = o, ou bien, çosf s^.o^d'où sin 8 = rt: i, ou om 0 39 •;

d'où PonToit que cés^eni systèmes rentrent Pun dans Pautre; et ils signifient que le plan sécant est perpendiculaire à Paie .des x.

499. Remarque. Comme les conditions B = o, À = C, ne déterminent que les angles 8 , $v et non les coordonnées a^bfC, il s'ensuit que, pour chaque surface du second degré (le paraboloide hyperbolique excepté) , il existe deux systèmes de plans en nombre infini j qui donnent des circonférences de cercle ; et les plans de chaque système sont parallèles entre eux. Toutefois, si la surface est de révolution, les deux systèmes se réduisent à un seul.

On peut disposer^ par exemple, des «ouatantes indéterminées a, bf c, de msaitaé que, l'origine- des coordonnées »it au centre même de la section; ce qui [exige que, dans l'équation transformée du n° 4g5, les termes D , £ soient nuls. Or , si Pon pose

iMcsin* — 2 M' 6 cos 6 cosf 4* aM'acosBsinf = 0, zNL'b sin q> -f- aM*a cos ç = o,

on obtient deux équations linéaires en a, b, c\ ce qui prou\c

PLANS TANOKN4 AUX NFJtFACVS DU SgOOVD D£OB& 6*5

que, pour chaque système de plans sécans, Ira centre* de tous lesxercles sont situé* sur une nviam kgV* dsmte* En d'aatrea termes | toute surface du second degré, à l'exception du paraboloïde hyperbolique, peut être engendrée de deux manière* parle mouvement d'un cercle toujours parallèle à lui-même et variable de rayon*. taj.

'Des Plans tangens aux surface* dû second degré*

5oo. De même que nous ayons défini (u° T'g3) la tangente en un point quelconque d'une courbe, l'élément de cette courbe, prolongé indéfiniment, nous considéreront aussi le plan tangent en un point déterminé d'une surface, comme l'élément de cette surface prolongé indéfiniment

Il résulte de cette définition que, comme l'élément de la surface en un point quelconque, se compose de tous les élémens des courbes qu'on obtient en coupant la surface par une suite de plans qui passent par ce point , et que ces élémens ne sont autre chose que les tangentes aux courbes, en ce point; il en résulte, dis- je, que le plan tangent est encore le lieu de toute* le* tangentes aux différentes courbes qu'on peut imaginer sur la surface par le point donné j et que sa position est déterminée , dès que l'on connaît celles de deux des tangentes.

Cest cette dernière considération qui Ta nous servir à trouver l'équation du plan tangent*

Soit d'abord lfo»+My+MV + P = o... (i)

l'équation générale des surfaces qui ont un centre ; et appelons x , yf 9 z' les coordonnées du point par lequel ou veut mener un plan tangent à la surface; on a déjà la relation

M*'»+My*+MV'+Psso... co

Maintenant , si , par ce point , on imagine successivement deux plans parallèles au plan des xz et au plan àesyz> on aura pour les équations des intersections de la surface par ces deux plans,

x = x\ Mi* H- M y + MV* + P — o ;

fa6 tu** Txxo&ts

et pour les équation* des taafente» k ont Mettant, ma point

*%/ 1 *' {vqyèmV 39a),

^ -s /, Msa' + H'xx' + M'/* -f P = o... (3)

x s *', Mai' + M'jry + M'i" + P = o... (4)

Or, le plan tangent doit, en vertu de ce qui a é\é dit cidessus, passer par ces deux tangentes *, ainsi la question est ramenée à trouver Péquation d'un plan passant par deux droites dont on a les équations»

D'abord , comme le plan doit passer par le point J f y , s% son équation est de la forme ^

11 suffit maintenant d'exprimer que ce pis», qui renferme déjà un point commun aux deux droites, est parallèle à chacune d'elles. On a, pour cela (n° 43 1) f les deux conditions

Àa + Bi + C =5 0, kd + Bb' + C as o ;

mais les équations (3) et (4) peuvent admettre sons la forme

M*' <MVf+P) . ,