AB X AK = AD X AM = ÂL

(*) Nous renvoyons au n° j8s» pour la construction géométrique des cquation«(i) et (*j).

utvnmÉTATioM

en prenant BAC pour l'angle de construction , puisque Ton a

déjà ABs=a, 3lC = J.

^ partir du point B *wr BA, prenez une partie BG 4?&& à m; il en résulte AG =û-m; menez ensuite GD parallèU à BC; le point D sera le point demande.

En effet 9 on a la proportion AB : AC II AG : AD ; cPou al b :: a — m : AD; donc AD = x.

H est visible d'ailleurs que, si l'on mène DE parallèle à AB, l'on a DE = GB = /iu

Discussion du résultat. Tant qu'on aura m<aou AB, la râleur de x sera positive, et pourra être construite comme précédemment

"Si Von suppose m = a , la valeur de x se réduit à o , et le point D se «confond avec le point A; ce qui est évident, puis* que la ligne AB satisfait à .la question.

Soit maintenant m > a , la valeur de x devient négative} et peut ( le signe étant mis en évidence) prendre la forme

Pour interpréter ce résultat, il faut, en vertu des principes établis en Algèbre {voyez la 5e édition de mon Algèbre , n°* 5g et 6o) , remonter à l'équation du problème, ouia la proportion

et y changer x en — • x, ce qui donne

Or , b — x, qui exprimait la distance CD , devenant b + xf représente maintenant la .somme de deux lignes; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que le point cherché se trouve en D' sur le prolongement de CA , c'est-à-dire en sens contraire de celui où il était d'abord placé.

DES BZflV£?Af S VÂ&JLTIFB. 33

Cette modification une fois établie dans la proportiou , on en

déduit ab-\-axz=ibm* d'où x = — - *.

Quant à la construction de ce résultat, il suffit de porter, à partir du point B, la ligne donnée m de B en G', ce qui donne AG' = m — a, puis de mener G'D' parallèle à BG. Le point D'est le point demandé, c'est-à-dire que D'E' parallèle à AB, est égale à m. Gela est d'ailleurs évident.

*4- Remarque. La solution négative qu'on a obtenue dans le cas de m^at n'indique pas une rectification à faire dans renoncé de la question ( car on conçoit que , quelle que soit la grandeur de m, il est toujours possible de placer cette ligne dans l'angle ACB, parallèlement à AB, en prolongeant les deux côtés y si cela est nécessaire) , niais bien une différence de position du point D par rapport au point fixe A, suivant la grandeur de m. Ainsi lorsque, pour résoudre le problème, on suppose le point D au-dessus du point A , cette position est exacte * tant que l'on a m^a\ mais elle devient fausse des qu'on a m^ amf et le signe — obtenu dans ce cas sert à rectifier cette position, en indiquant que la distance du point donné au point inconnu, doit être portée en sens contraire de celui où elle avait été & abord portée.

Gela est si vrai, qu'on peut éviter tout résultat négatif, en -fixant convenablement un autre point de départ; par exemple , en prenant GD au lieu de AD pour inconnue.

En effet , soit CD = x', les autres notations restant les mêmes ; on a la proportion

b l a II x' l m: d'où x' = — ,

résultat1 qui est essentiellement positif, quelles que soient les grandeurs relatives de a, 6, m.

Tant que l'on aura m<^ay la valeur de x* sera plus petite que b , et après l'avoir construite, si on la porte sur G A , à partir du point G, l'extrémité D tombera au-dessus de A; mais si l'on am>a, la valeur de x1 est plus grande que 4, et le point cherché tombe en D7, au-dessous* du point A»

34 unKiiirATieM

Observons d'ailleurs que l'expression x' ~ peut m mettre sous Fane des deux formes

la i ra correspondant «a ou où l'on a m < a , et la desnitaae ■ celui ou l'on a m > a.

Mais comme, par la première manière de résoudre la question ,

b(a — m) on a trouve x e= — — — ,

il s'ensuit que le* deux inconnues x et x' sont liées entre elles

par la relation j/ = A — * ;

x étant positif dans le cas de m <^ a , et négatif lorsque l'on a

a5. Reprenons maintenant la problème don* 7, et ''rho?' d'en interpréter la solution négative.

Remarquons d'abord que la première des deux valeurs obtenues est la seule qui puisse satisfaire à la question telle qu'elle a été énoncée, puisqu'on demande de diviser a en deux parties, etc. . . , et que la valeur absolue de la seconde solution est plus grande que a.

Mais on peut modifier l'énoncé ainsi qu'il suit : j Étant donne» deux point* fixe* A et h(fig. 21) , trouver sur lu ligne AB, on sur eon prolongement, un troisième point tel que" ta distance au point A soit moyenne proportionnelle entre ea distance au point B et la distance de* deux point* A et fl.

D'après ce nouvel énoncé , comme il n'y a pas de raison pour supposer le point cherché à gauche plutôt qu'à droite du point A, on le suppose d'abord à droite, c'est-à-dire entre A

DES tJmfhTATB ttlOATIFS. 35 ,

et B. (Il ne peut être en E" , car AE* étant plus grand à la fois que AB et BE", ne saurait être moyen proportionnel entre ces deux lignes.)

Soit donc E le point cherché, et posons AEssx, AB = a; d'où BE as a —~ x\ on a la proportion

donc a^ssa* — axy et x=— -± l/am+ y-

La première valeur est positive et se construit comme il a été dit n° 7.

La seconde râleur est négative , et pour U construire, il faut,

AG jusqu'à sa rencontre en D' af«?c /a circonférence déjà décrite, ce qui donne AD* égal à — I" l/ û* + 7i Pa's rabattre

par un arc de cercle , AD' de A. en IL' à la gauche du point A ( conformément à la remarque du n° 24 ) ; et la distance AE* devra satisfaire également a la question.

En effet , puisqu'on a AE'=- + W à? + y » il en résulte

et AB X BE'= Ç- + a y/i» + 1*.

Donc AE'ssABxBE'; on bien, AB: AE':: AF:BE'.

Ainsi le nouveau problème admet deux solutions.

Si Fon demande comment il se fait que ces deux solutions

36 INTIHPHÉTATION

•oient comprises dans la même formule, quoiqu'en mettant le problème en équation, on ait d'abord supposé le point cherché, k droite du point A, et non à gauche, voici l'explication qu'on peut en donner :

Soit d'abord le point cherché entre À et B; on a la proportion

al x il x l a— -x; d'oà x*-4-ax=a*. . . (i)

Supposons-le sur le prolongement, en ET, par exemple; comme on a AE'=x, il en résulte

BE' = a + x,

et la proportion devient '

a l x II x l a +a:; d'où x*— ar = aV.. (a]f

Cela posé, si l'on résout l'équation (i) , en ne tenant compte que de la valeur qui correspond au signe 4" du radical, on obtient

.* — ; + Vû,+ 4'

de même, si l'on résout l'équation (2), en ne tenant compte que de la valeur qui correspond au signe + du radical, il vient

Or, cette valeur est précisément, au signe près, la seconde valeur que donne l'équation (1) par sa résolution complète.

Le signe — qu'on obtient pour cette seconde valeur, correspond (n° 24) à une rectification, non dans l'énoncé du problème, mais dans la position qui avait d'abord été attribuée au point cherché.

Au reste, on éviterait, comme dans le problème précédent, toute solution négative, en prenant pour inconnue la distance du point cherché à un autre point fixe A', choisi sur le prolongement de AB et à la gauche du point A, de manière

qu'on eût AA'> - + W aâ+ -r> Par exemple, AA' = a<r.

DS5 RÉSULTATS NSOATIYS. ^7

Soient en effet AA' = aa, A'E = x' (%. aa);d'où

ÀE=a/ — aa, BE = 3a — x'.

La proportion indiquée par l'énoncé, devient a: a/ — aa :: a/— «aa :3a — a:'; d'où Ton tire C** — **)* = 3am — aa/; » ou réduisant, a/* — 3oa/= — a* (3)

Remarquons y en passant, que l'équation serait encore la même, si l'on posait ÀÀ'=aa, À'E'=a/, d'où ÀE'^aa— a/, BE' = 3a — a/; car on aurait

a : aa — x' :t aa — a/ : 3a — x' \ d'où (aa — a/)'=3aft — ax'.

L'équation^) étant résolue , donne

ou bien, a:' = a + - ±: l/a* + "T-

Ces deux valeurs sont essentiellement positives; car il est évident que le radical t/ a* + y est moindre que a + -• On peut d'ailleurs les mettre sous la forme

x' a aa — ^ db y/a* + ^ ;

d'où a/ — aa = — 2 ± y/û* + 7;

et comme on avait déjà trouvé ar = — -dbl/a* + -T, il

s'ensuit que les deux inconnues x' et a? sont liées entre elles par la relation ai — aa =5 * , ou x' = aa -+- x. Seulement , v est positif pour le point E, négatifpovr le point E'.

38 IKTEIU'EÉTATION

26. Les principes établis (n°* a3# ?4 ** *&) P«*rat être résumés de la manière suivante :

i°. Toutes les fois que, dans la résolution d'un problème de Géométrie par le secours de l'Algèbre, l'inconnue représente la distance d'un point fixe à un autre point, comptée sur une droite fixe, et qu'on obtient pour expression de cette inconnue, des résultats, les uns positifs et les autres négatifs, si l'on est convenu de porter les valeurs positives doue un sent quelconque à partir du point fixe , les valeurs négatives doivent être portées en sens con traite du précédent,

2°. Le moyen défaire disparaître les solutions négatives, est -de rapporter le point cherché à un autre point fixe , dont la distance au premier point fixe soit assez grande pour qu'on soit assuré que tous les points susceptibles de satisfaire à l'énoncé, se trouvent d'un même côté par rapport à ce second point ; et cela est toujours possible, en général , puisque la ligne sur laquelle se comptent ces distances peut être prolongée autant qu'on veut. .

Les résultats négatifs proviennent uniquement de ce que l'origine des distances a été d'abord choisie dans une position intermédiaire entre les points cherchés ; et le signe-— indique la différence de position de ces points par rapport au premier point fixé.

3°. Si, dans la résolution d'une question (d'un problème, ou d'un théorème ), on veut faire entrer en considération des distances entre un premier point fixe et d'autres points situés avec celui— ci sur la même ligne, mais dans des sens différons * et qu'o/i regarde comme positives, les dis tance s comptées dans un sens j on doit regarder comme négatives celles qui sont comptées en sens contraire du précèdent.

Nous ne donnons point ici de démonstration générale de ces principes; mais dans la suite, nous les verrons se confirmer de plus en plus, et nous en sentirons mieux l'usage et l'importance»

27. Remarque. Nous ajouterons à ces considérations une remarque fort utile sur la multiplicité des valeurs auxquelles est conduit par la résolution complète des équations.

DES BisULVATS MioATIFS. 9$

11 arrive quelquefois que les équations d'un problème doni, par rapport aux signe», un 1res grand nombre de rendtats dont un seul est susceptible de satisfaire k renoncé; les autres sont inutiles k considérer, ou bien , ce sont des solutions d'autres problèmes qui ont avec la question proposée une relation plus ou moins intime. La difficulté consiste alors a discerner parmi ees différentes expressions celles qui répondent k la question elle-même, et celles qui 7 sont étrangères ou qui n'y répondent qu'indirectement.

Reprenons pour exemple la question qui a été traitée n° 4, et qui avait pour but de construire un triangle rectangle eon~ naissant l'hypoténuse et la perpendiculaire abaissée du sommet de t angle droit (fig. a).

On a trouvé pour les équations du problème , { , *•

d'eu, en les ajoutant et les soustrayait l'une de l'autre ,

{b + c)ft == a9 + aaA, (6 — c)* =± a* — aaA.

Or, si l'on résout complètement ces deux dernières équations par rapport bb + cetb— • c, on trouve

b + c = ±L\/a%+ aaA = dfc a', b — c s= ±v/a*— aoi sas ds a#; oe qui donne

b = ±: - a! dt - a et c = ± - a zn - a r. a a a a

Ces formules présentent, par la combinaison des signes, quatre systèmes de valeurs, savoir:

b = La'+l-a' et osa i «' — ifl',.... (1) a a a. a

fr = - a' — *- - a* et c == - a' -+- - a# , . . . . (a) a a a a

£ = — - a' + - a' et c = a — i a* . • . • . (3)

i«= — irf— la* et c = — Itf'+io' (4)

ivjW-

Fig

Les deux derniers systèmes sont évidemment inadmissibles, puisque les valeurs de b et c sont négatives , et que , d'après l'énoncé, on n'en demande que les valeurs absolues*

Quant aux systèmes (i) et (2) , ils rentrent l'un dans l'autre, et correspondent aux deux triangles BAC, BA'C Le second système est donc inutile à considérer , puisqu'on est toujours le maître de désigner par b le plus grand des deux côtés cherchés. C'est ce que nous avons fait (n* 4) en n'établissant que le premier système.

On trouvera à la fin de ce chapitre de nouveaux exemples de ce genre.

Nous recommandons toutefois aux commençans de mettre beaucoup de prudence et de discernement dans ces suppressions de valeurs ; autrement , ils courraient le risque d'omettre de véritables solutions.

Nous allons maintenant nous occuper d'une manière particulière de la discussion, des problèmes , parce que c'est une des parties les plus délicates ( n° 8 ) , et celle qui demande le plus de soin.

28- QuATBrÈME fboblsms. On demande de diviser un tra~ a3. pèze donné ABDC {fig. a3 ) en deux parties ABGL , LGDC , gui soient entre elles dans un rapport donné m l n , par une ligne LG parallèle aux deux bases.

Élevons en un point quelconque £ de AB une perpendiculaire EF, et prenons la distance' £1 pour inconnue.

Posons d'ailleurs EI = a:, CD = a, AB = *, EF=ft;

(les trois dernières lignes sont les seules données absolument nécessaires ).

Comme , par hypothèse , on doit avoir la proportion '

ABLG : LGCD

il en résulte ABCD : ABLG *.: m+ » : mt

d'où

ABLG =

XABCD.... (1).

VBS FBOBUUIES. 4*

Or, ABCD = i±iXfc, ABLG = ï£±^X*.

Ainsi , tout se réduit à déterminer LG en fonction de x et 'des lignes données. •

Pour cela , menons AH parallèle à BD et AM perpendiculaire à CD y les deux triangles semblables ACH , ALK donnent

ch : lk :: am : an :: A : x; <W 1T caxx ja—b)x

donc JLiA. =s , = , ,

et par conséquent ,

Substituant cette râleur dans l'expression de ABLG, on obtient

ABLS-(a--*)*+-3gx«.

Doue, enfin , l'équation (1) du problème devient,

(a—b)x + obh^ m w a + b w L

■ — r Xx= ■ — X X«,

aa m*f>fi i

ou bien , toute réduction faite ,

m . aM mA* a + i , .

a^+— -na?= — - — X t;... (a)

d'où l'on déduit

En réduisant cette expression , on obtient enfin

bh ^ h Ja%m + b%n

L'inspection seule de ces valeurs prouve qu'elles sont toujours réelles.

Quant aux signes dont elles sont affectées, il peut se pré-

a > b ou a < A.

Dans le premier eu, qui est celui de h figure actuelle , fl est évident, d'après la forme (3) de ees valeurs, que la première est nositi^ et que Usecoude est a^gi^ le radical est plus grand que 7-

Dans le second , comme*— ? seebangeen t— > et que

le radical devient plus petit que r (car la quantité nous le

signe est alors la différence de deux quantités), Q s'ensuit que les deux valeurs sont à la fois ptmiàvts; c'est ce qui résulte d'ailleurs de l'équation (a), qui prend, dans ce cas, la forme

rnh% b+a

ibh b — a

Examinons ces deux cas siicceasivement, et proposons -nous de construire le problème.

Soit, m premier Ueu, a> b.

Reprenons la forme (3) des valeurs de jt , et tachons d'abord d'évaluer en lignes les expressions

bk (a + b)h mh

qui entrent dans la composition de ces valeurs. Fie. *j- Prolongeons les côtes CA , DB (fig. af ) jusqu'à leur rencontre en O; puis, du point O, abaissons la perpendiculaire OF.

Les deux triangles semblables OCD, OAB donnent la proportion

a : * ;: OF : OE; d'où a — b : b :: A : OE;

1 ^v bh . bh . . ah

donc OE = L, OF = r + * = £•

• — b n — b c — fr

DES FHOBLfcME». N 4^

Si , sur FO prolongé , Ton prend OF* =* OF , il en résultera

f a 4. b)h EF/=OE+OFy = OE + OF = v-^rj-.

Quant à l'expression — r— , il suffit évidemment de di-

▼iser EF au point K dans le rapport m l n\ car , de la proportion EK : RF :: m : », on tire

EK:EF::m:m + n; d'où EK= -~^.

Les expressions ci-dessus étant construites, il est facile b?en déduire les deux -valeurs de x.

Sur KF, comme diamètre, décrives une demi-circonférence, et prolongez EA jusqu'en H. Vous obtenez ainsi

— • mh (a -+- b)h

m -f- n a~*o Tiret OH; il en résulte

Enfin du point O, comme centre, et avec le rayon OH , décrives un arc de cercle qui rencontre EF' aux points I et V \ les distances El, El' représentent les deux valeurs de x.

En effet , on a

/ fh% ' mh ~{â+b)h bh

ei= 01— oe= v/t — *%H — rx"ri — ir v

et— as-or— » v/^T^-x^.

2V. B. La seconde solution El' correspond évidemment à un trapèze AB'Cl/ égal et opposé au trapèze ABCD.

La construction précédente montre le parti que l'on peut / tirer de la figure d'un problème, pour la détermination de* Y inconnue*

Examinons quelques cas particuliers :

i#. &i/Dxo; auquel cas les deux figures ABLG, LGGD doivent être équivalentes.

L'expression de x devient

bh ^ / b'k* . h Ja+T)h c — 0 V (a — 0)a a a — 0

et il n'y a d'autre différence , dans la construction , qu'en ce que

EK devant être égal à -, il suffit de diviser EF ou h en deux

parties égales.

1*. Soit b = o , auquel cas le trapèze devient un triangle OCD F* A (fig. 25).

L'expression de x se réduit à ar=± \l — — X b ; et pour

la construire, divise* OF, au point K, dans le rapport m!n; décrivez sur OF une demi-circonférence et élevez la perpendiculaire KH. Enfin , rabattez par un arc de cercle la corde OH, deOenl et de O en I' j tous aurez 01 et OI' pour réponses à la question.

Car cette construction donne OI = OH = OK. X OF y

d'où

Xh,

Soit,, en second lieu > a < b.

pi- 35 Le trapèze ABCD (ySg". a6) se trouve alors dans une position renversée; et les valeurs de ce prennent la forme

— bfl -*- / °>h* m* " (* + à)h

b — a "" " V (6 — a)* m «+• ji 4 — a

Prolongeons, encore AC, BD jusqu'à leur rencontre en O, et menons la perpendiculaire indéfinie EOE'. Les deux triangles OAB, OCD donnent

OE:OF::&:a; d'où OE:h::b:b—ay