première remarque. Les quantités A, B, C étant quel

conques , peuvent être telles , que Ton ait — 7 C = o ,

ou < o .

Dans le premier cas» le rayon; r est nula et la courbe se réduit à un point qui est le centre lui-même.

Dans le deuxième, le rayon r est . imaginaire^ ce qui veut dire qu'il n'y a pas de courbe ; et l'on dit alors que le cercle est imaginaire.

Seconde remarque. La proposition précédente suppose- que les axes*8oient rectangulaires; car on a vu (n° 164) que l'équation d'un cercle rapporté à des axes obliques, renferme nécessairement le rectangle %vy 00s /S, terme qui ne peut disparaître qu'autant que l'on a 9 «s ioo°.

oioMiTBiQUSS. 203

L'équation (2), dans le cas où les axes sont obliques, est celle d'une courbe qui, comme nous le verrons plus tard, pré^ sente quelque analogie avec le cercle.

1 79. Cas particuliers. Soit à construire l'équation

2j»* + 2y* — 3r + 4y — 1 =05 elle peut d'abord être mise sous la forme

ou , ajoutant les carrés de la moitié du coefficient — - et de la

moitié du coefficient 2, c'est-À-dire -75 + 1 » ou Tg*

Cela posé , construisons d'abord le point O (Jig. <)5) qui a 7 F»g- 95-

pour abscisse, et — - 1 pour ordonnée.

Ensuite du point O comme centre, et avec un rayon égal à

7 V^33 (ou 1,4. • à o, 1 /?m) décrivons une circonférence ;

cette courbe sera le lieu géométrique demandé.

Soit , en second Jieu , l'équation jc* + jf* — 3y rf- aap == o , qui peut se mettre sous la forme

(* + !>• + (y- D'~» +ia!tT

Après avoir fixé la position du point qui a — 1 pour ah** 3 ^

cisse et - pour ordonnée , si de ce point O (fig. g6 ) comme Fig. 96.

centre, avec un rayon égal à ~ \/i3 ou 1,8, on décrit une

circonférence, ce sera la courbe représentée par l'équation.

Il faut observer, toutefois, que, dans cet exemple-, comme l'équation est satisfaite simultanément par a? = o, y w o, la

2o4 U8AOE DES LIEUX GEOMETRIQUES.

courbe passe nécessairement par l'origine; d'où il suit que le rayon se trouve tout construit , et est représenté par OA. En effet, l'on a

OA= */aB*+ BO\ ou bien, OA = i/| + i =r.

On reconnaîtrait pareillement , i°. que l'équation

x* +y* — 3jc -f- 1 = o

représente uu cercle dont le centre a pour coordonnées - et o*

et qui a pour rayon — %/" 5 ;

2°. Que l'équation 4**+ 4^*""" i*x — 8y-f-i3 = o repré-

sente un point ayant pour coordonnées - et i. En effet , on

peut la transformer en (x — J -) + (y — i)*«=o; et cette

équation, dont le premier membre est la somme de deux carrés essentiellement positifs , ne peut étire satisfaite qu'en po-

sant

ce qui donne x=~ et jfsrri;

3°. Que l'équation x* -f- y% + £r— ay -f- 7 ss o ne représente rien ; car on peut lui donner la forme

équation dont le premier membre , étant la somme de deux carrés positifi j ne peut être égala une quantité négative.

180. Ces notions générales sur les lieux géométriques étant bien entendues, voyons le parti qu'on peut en tirer dans la résolution des problèmes de Géométrie déterminés ou indéterminés.

Considérons d'abord le cas où la question est indé terminée, el supposons que cette question revienne à fixer la position d'un certain point sur le plan d'une figure.

IMAGE HB8 UKUX O&pofcrUQjnu. 2o5

En rapportant le point cherché et les antre» parties de la figure à deux axes , et désignant les coordonnées de ce point par x et y, on obtiendra par la traduction algébrique de l'énoncé, une certaine relation, F(r,^)=o, entre ces coordonnées et les quantités connues , qui sera dite F équation du problème; et si, conformément aux principes établis précédemment, on construit le lieu géométrique de cette équation , la série des points faisant partie de ce lieu géométrique satisfera à l'énoncé de la question; et les coordonnées de ces points représenteront géométriquement tous tes systèmes de valeurs de x et de y, propres à vérifier l'équation F {x,y) = o.

181. Non-seulement les lieux géométriques servent à résoudre les questions indéterminées; mais on peut encore en faire usage dans les problèmes déterminés à deux inconnues.

Admettons en effet que l'énoncé d'une question ait conduit aux deux équations F(x9y)=ot F/(ar,jr)=o; x et y représentant les coordonnées d'un certain point. On pourrait d'abord éliminer x et y entre ces équations, pois construire tous les systèmes de valeurs que l'on obtiendrait ; chacun des points ainsi déterminés satisferait à l'énoncé.

Mais , sans effectuer, l'élimination qui , le plus souvent, conduit à des résultats compliqués, et n'est pas elle-même toujours facile , on peut fixer la position de ces mêmes points.

En effet , l'équation F (a? , y) s o ; considérée seule , représente ' une certaine ligne, lieu dé tous les points dont les coordonnées vériBent cette équation. Supposons-la construite, et soit LBH (fi g- 97) ce l*ea géométrique.

De même, l'équation F' ( x , ^) = o est celle d'une seconde ligne dont tous les points sont tels , que leurs coordonnées vérifient cette équation; supposons cette ligne construite par rapport aux mêmes axes que la précédente, et représentée par KCI.

Cela posé, il est évident que les points M; M'. . . où ces lignes se rencontrent, sont ceux qui satisfont à l'énoncé, puisque leurs coordonnées forment des systèmes de valeurs de a; et de y, qui vérifient en même temps les deux équations. Ainsi les points Ai,

206 TTSAOt IW L12UX Gfoftt&rRIQtTtS.

M' . . . 80ht autant de solutions de la question dont ces équations sont la traduction algébrique, si toutefois on a eu pour objet de fixer , sur un plan , la position d'un point d'après certaines conditions.

Lorsque les inconnues x ety n'expriment pas primitivement des distances à des axes fixes, mais des lignes quelconques, les coordonnées des points, M, M'. . . . en représentent alors les râleurs géométriques.

En substituant ainsi les intersections de deux lieux géométriques à l'élimination entre leurs équations, on parvient souvent à des constructions simples et élégantes du problème. La suite de ce chapitre nous en fournira "plusieurs exemples.

182. Pour le moment, nous nous contenterons de faire l'application de ces principes au problème n° 21, résolu dans le premier chapitre, par deux méthodes différentes.

Reprenons les deux équations qui ont été obtenues par la première méthode, savoir:

(b x)» + (c — y)' = rV... (1) * iz(xa +y*) = m* (a — 26+2*) ; . . . (2) v

et observons d'abord que ces équations seraient celles qu'on Fig. 30* trouverait en rapportant le point inconnu D {Jig. 20) à deux axes rectangulaires dont l'un serait AB , et l'autre une perpendiculaire élevée au point A.

Gela posé, an lieu d'éliminer x et y entre ces équations qui, comme on l'a vu n° 21, conduisent à des résultats très compliqués , tâchons de construire les lieux géométriques qu'elles représentent.

La première est évidemment celle du cercle donné; car r étant le rayon, b et c sont les coordonnées du centre.

Quant à la seconde,, qui peut se transformer ainsi ,

x* -f y* — 2 — x = mr — 20 . — , *

USAGE DBS HXUX OBjdMBTBIQUES. 20 7

ou bien encore, I x — — ) 4- jr= — + ma— - a& . — ,