Seconde proposition. On a trouvé (n° i63) pour l'équa

g£ohJtbiqus3. aoi

tion générale du cercle rapporté à des axes rectangulaires,

ou développant , a;a+y— apx— 2^j^+/?m+<7*— r^sso. . . (i)

Réciproquement, toute équation du second degré * de la forme x* -f- y* + kx + By-f- C = o , . • . (2) , c'est-à-dire qui ne renferme pas le rectangle xy des variables* et dans laquelle les cœfficiens des carrés sont égaux à l'unité ou égaux entre eux ( parce qu'on peut toujours diviser l'équation par ce coefficient commun ) , appartient à une circonférence de cercle.

En effet , comparons l'une à l'autre les équations (1) et (2) , et posons — 2/> = A, — açsB, p* + ^â — r* = C; on en déduit

Cela posé, soient tracés deux axes rectangulaires AX,AY

(/%"• 94) > et construisons le point O, dont les coordonnées fig. 94

soient — - — • pour l'abscisse, et — - pour l'ordonnée. Puis, du

f \* ^ 3* point O comme centre, et avec un rayon égal à y 7 — C,

décrivons une circonférence de cercle ; elle aura nécessairement pour équation,

(*— pr + (y — qY = r*; ou, si l'on remplace/), q, r par leurs valeurs ,

ou développant et réduisant 9

x» + Ax +y* + By + C = o ,

résultat identique avec l'équation (2). Donc, etc....

On peut encore démontrer la proposition , ainsi qu'il suit : Commençons par ajouter aux deux membres de l'équation (2)

203 1*6 WlfrX

la quantité "f + -7 > afin de compléter les carrés x* + Ax,

et jf + Byj il vient

ou bien, (x -f- ~ ) -f (y + - ) = — 7 c» • • • (3)

équation que l'on peut comparer immédiatement avec

en posant p=s — -, j= — -, ra»ty-£~CsL

d'où il sait que l'équation (3), et par conséquent, l'équation (a) dont (3) n'est qu'une transformée , exprime une circonférence «le cercle qui a pour centre le point déterminé par les coor-

données—»—, -^ , et pour rajon,l/— — 7 — «■-— Ç.

La seconde démonstration peut paraître plus simple que In. première, mais elle est moins analytique.