Comme nous aurons souvent besoin de ramener une

équation telle que M^+Nx'ssP, à la forme Aayft +B*x»=A Ba, nous indiquerons un procédé simple et facile pour y parvenir.

2^4 NOTIONS SUE l'eLUPM.

Soient multipliés les deux membres de la première équation

par un facteur indéterminé A ; il vient MAy* -|- NAx* = PA.

Mais , par hypothèse , on doit avoir PA == MA X NA = MN . A";

d'où l'on déduit A =rr=i. Donc il suffit de multiplier les deux

MN r

membres de la proposée par le quotient du second membre divisé par le produit des coefficiens de y* et de x\ H vient, en effet, par cette multiplication ,

ÏÏ^ + K^~ MN;

ce qui donne A- = |, * = £> C=A*-B'= SJj®.

Prenons pour exemple l'équation 5j^ -f- 3x* = 6.

On trouve , en multipliant par ~ - ou y ,

. , 6 . ii ^ + 5^ = 7*

donc A = l/*> B = gV'30* c = F V&

Soit encore l'équation 3y* -f- 4a?* = 5.

Multipliant par 3 ; ou — , on obtient

4^+3^ = 72Î ou, changeant y en a?f et réciproquement,

donc A=s^|/i5, B = -t/5, c=sij/i5.

taotioNS sur l'hyperbole. *jS

De l'Hyperbole.

a34* ®n démandé F équation d'une courbé telle, que $i fou joint chacun dé tes pointe M {fig* i3y) à deux pointe fixée Fîg.i37« F, F, la différence dee distances, FM — FM. soit égale à une ligne donnée 2 A.

Gette courbe est ce qu'on appelle une hyperbole; les points F, F' en sont les foyers* et l'on nomme rayons vecteurs, les lignes FM, F"M.

Commençons par indiquer un moyen de construire oette oourbe.

Prenez à partir du point O, milieu de FF'., deux distances OX , OB égales à A ; les deux points A et B appartiennent à la courbe. En effet, il résulte de cette construction ,

BF = AF, d'où AF— AF=AF — BF=aA, et BF — BF = BF — AF = aA.

jV. B* Les points A, B sont nécessairement situés entre F et F'j car autrement , ce serait la sommedes distances de chacun de ces points aux points F et F', et non leur différence, qui serait égale à 2A. Ceci prouve que 2A doit être donné moindre que FF

Pour obtenir d'autres points de la courbe, marquez sur la ligne OF et à droite du point F, un peint quelconque L; puis, des points F'., F comme centrée * avec les rayons AL, BL, décrivez successivement deux circonférences qui se coupent en M, m; tous obtiendrez ainsi deux points de la courbe; car en joignant le point M, par exemple, aux points F, F, tous ayez

F VL -~ MF s= AL — BL = 2A.

Réciproquement, des points F, F comme centres et avec les mêmes rayons, décrive* deux circonférences; tous aurez deux nouyeaux points M', m' qui seront, avec les points M, m) symétriquement placés par rapport à la perpendiculaire OC.

2^6 NOTIONS SUR l'hYPEBBOLE.

Cette construction exige que le point L soit situé à la droite du point F; car s'il était en L' , comme on aurait BL' < BF, il s'ensuivrait AL' + BL' ou AB + 2BL' < AB + 2BF, ou <^ FF'. Ainsi , les deux circonférences seraient telles, que la distance des centres FF serait plus grande que la somme des rayons ; donc elles seraient tout-à-fait extérieures l'une à l'autre et ne se couperaient pas.

Mais le point L. peut être pris vers la droite du point F, à une distance aussi grande qu'on teut. D'où Fon voit que la courbe se compose de deux branches égales et opposées j mBM, tri KM! j qui s'étendent indéfiniment à droite du point h et à gauche du point A., tant au-dessus qu'au-dessous de la ligne AB.

Il existe bien un procédé pour tracer F hyperbole d'un mouvement continu; mais nous le passerons sous silence, parce que la pratique en est peu commode, et que d'ailleurs on ne peut tracer la. courbe que par parties.

Nous allons maintenant nous occuper de la recherche de son équation. *

235. L'hyperbole étant, ainsi que l'ellipse , symétrique par rapport à AB et OC, nous prendra» ces, deux lignes pour les axes des coordonnées*

Soient donc

OP = a?, MPî=v, OF=:OF' = c, FM = *, FM=*\ On a d'abord , comme "pour ^ellipse, les <deux équations y +' (* ,«)» = «■,.... (0

auxquelles on doit ajouter, d'après l'énoncé, l'équation de

condition *'—»»« = 2A.... (3)

Four éliminer s et s', ajoutons et retranchons (1) 61.(2); il vient

fax = *'•— **;.-• (5)

notions aua l'hypebbolk. 277

maïs celle-ci donne (z' — s) (*' + *) ou a A (*' + *) =» 4***

d'où l'on déduit / + *=x5

or, on a déjà »' — « = aA j

donc *'=--+ A et a = — — A.

Portant ces valeurs dans l'équation (4) * on obtient

ou, chassant le dénominateur et transposant,

Ay -f- (A» — c»)x» = Aâ(A« — c').

Mais, comme il a été reconnu précédemment que la distance FF', ou 2c, doit toujours être plus grande que aA, i! s'ensuit que A* — c9 est essentiellement négatif* Donc en posaut

on trouve enfin pour Féquation de l'hyperbole, Xy — BV = — AÉB\ . • (6)

Cette équation ne diffère de celle de l'ellipse qu'en ce que B* est remplacé par — B*. Aussi lès deux courbes, quoique étant de forme très différente, puisque l'une est limitée en tout sens et l'autre est illimitée, jouissent-elles de propriétés analogues.

Soit faitjr = o dans l'équation; il en résulte a? = ± A; ce qui prouve que la courbe passe par les points A et B, circons* tance que nous avons déjà reconnue-

Soit encore x = o, on trouve y* r= — Bft, d'où

^=±B V^ — i ; ce qui fait voir que la courbe ne rencontra pas l'axe des y.

Cependant on peut convenir de marquer sur cet axe deux points C et D dont la distance au point O soit exprimée par

ou f/ c» — A».

?-7& NOTIONS SUR L'iIYPERBOLS.

Pour fixer la position de ces points., il suffit de décrire du point B comme centre et d'un rayon égal à c ou OF, un arc de cercle qui coupe OY aux deux points demandés; car on a

OC = X/OF*— OB = l/c*— A*.

Gomme en faisant a? = + A, ou * = — ? À , dans l'équation

résolue par rapport à y9 . . . y = dç -r y ** — A*, on

trouve y = ±: o , et qu'en donnant à « des valeurs positives ou négatives , numériquement plus pâtîtes que A, on obtient des valeurs imaginaires pour y, on peut conclure* i°. que la courbe est tangente en A et B aux deux parallèles li'Sf > RS à l'axe iesy\ 2°. qu'elle s'étend indéfiniment a la gauche du point A et à la droite du point B.

On voit enfin que la courbe est composée de deux branches égales et opposée*, dont chacune est divisée en deux parties égaler par la ligne AB; en sorte que si l'on pliait la figure , soit suivant la ligne CD, soit suivant la ligne AB , les quatre parties, de la courbe se couvriraient parfaitement deux à deux.

Presque toutes ces circonstances avaient été reconnues par la Géométrie.

236. Les quantités 2A , 2B sont, comme dans l'ellipse, appelées les axes principaux de l'hyperbole, ou l'un, le premier axe * et l'autre le second axe. Mais comme il peut y avoir une relation de grandeur quelconque entre A et B , les dénominations de > grand axe et de petit axe seraient impropres.

On désigne encore le premier axe sous le nom A* axe transverse et le second sous celui d'axe non transverse ^ parce que l'un rencontre et l'autre ne rencontre pas la courbe.

On peut avoir A = B , auquel cas l'équation se réduit à

Dans ce cas, on dit que l'hyperbole est équilatèrej comme ayant ses deux axes égaux. L'hyperbole êquilatère est à l'hyperbole quelconque ce que le cercle est à l'ellipse.

NOTIONS SUR l'bTPXBBOU. ?79

Enfin, les pointe A et B «ont dits les deux somme* de b courbe.

237. Démontrons comme dans l'ellipse, que le point O est le centre de la courbe, c'est-à-dire que toutes Us droites passant par le point O et terminées à la courbe , sont divisées en deux parties égales par ce point.

Soit m'M une ligne quelconque menée par le point O ; si l'on combine entre elles les deux équations

Ay — B*x*= — À*B\

on trouve, en mettant pour y sa valeur ax dans la première,

dhAB (AV-.Bys-A'B1; d'où l'on déduit * = -~^===i

±ABg et par conséquent, y — TTfy^ A%a*

11 résulte de là que OP = OF et MP = m'Y \ ainsi , les deux triangles OPM, OVm' sont égaux, et l'on a OM=Om'.

a38. Ea jetant les yeux sur ces valeurs de x et dej*, on voit qu'elles ne sont réelles, c'est-à-dire qu'une droite menée par le centre ne rencontre la courbe , qu'autant que l'on a

B* B»— A'o^o, ou «*<£;•

^B , $oît B* — AV = o, 4?o& l'on-, tire a = ±: -r\ les valeurs de x et de y deviennent infinies; ce qui prouve que les deux droites correspondantes, qui sont placées Tune au-dessus, l'autre au-dessous de l'axe des x, ne rencontrent l'hyperbole qu'à une distance infinie.

Construisons ces deux droites, Jr = +^^».y=3— -j^t

qui méritent une attention particulière.

Pour cela, soit achevé sur les deux lignes AB =?; aÀ,

286 VOTIONS SUR l'hTPERBOM.

CD=aB, le rectangle R'itSS'; on a évidemment BR=BS=B; d'où tangBOR = |J=5., tang BOS = — ?.

Donc les droites OR , OS menées par le point O et par les points R, S, sont les deux droites demandées.

Nous Terrons parla suite quel rôle elles jouent dans la théorie de l'hyperbole. Pour le moment, nous les regardons simplement comme les limites de séparation des droites qui, passant par le centre,, rencontrent la courbe ^ oVavec celles qui ne la rencontrent pas.

En effet , soit un diamètre m'M , pour lequel on a

B angle MOX < angle ROX, d'où a < — -, les yaleurs de x et de

y obtenues précédemment sont réelles; mais pour un diamètre tel que &'K, comme l'angle K.OX est plus grand que l'angle

ROX, il en résulte a >-r- , et les valeurs de x, y sont ima-

ginaires.

Lorsqu'on suppose l'hyperbole équilatère (n° 236) , c'est-&-

dire, B = À, zh~ devient égal à dz i ; donc les angles ROX,

SOX sont chacun de 5o°, et les deux droites OR, OS sont perpendiculaires entre elles.

239. Supposons maintenant qu'on ait obtenu pour l'équation d'un lieu géométrique,

My*— Nx*= — P;

et multiplions (n° 233) les deux membres de cette équation

par jL; il Tient ^«-|x* = - |1,

Cette nouvelle équation comparée à celle de l'hyperbole,

A.y— B»x»= — AfcB*, donne

NOTIONS SUE 1,'nYPSftBOLE. *&l

A*=|, et BP-g; d'où À-* y/^ , B=± ^

donc la proposée représente une hyperbole dont le premier axe est 2 t/-^, et & second, 2 t/jjj'

La relation B' = c» — V , donne c = ± l/A'+B* ;

. « /PÇM-HN) d'où, mettant pour A et B leursTaleurs, c = ±: y — jjjjj •

Pour fixer la position des foyers, connaissant les sxe89prenex

deux droites rectangulaires * OB=OA = A — y jg»

OC = OD = B= \/~ (fig. ï38); paw *&*** au point B ^S- «38.

z//w? perpendiculaire BD é!gn& à B^ <r* to OD. La circonférence décrite du point O comme centre avec le rayon OD , coupera ÀB en deux points F, F' , qui seront les points demandés j car on a

t)F = of/ = V'ôïm- 55= V A* + B» .

Il est remarquable que cette construction donne en même temps la direction OD de Tune des limites delà courbe (n* 238); quant à la seconde, elle s'obtient en prolongeant DB d'une quantité BD—BD , et tirant OD1.

240. Si l'équation était de la forme My*— -Nx* = P, on changerait y en x} et x eny ; ce qui donnerait Ny'— Mx*= — P; et l'équation n'en serait pas moins celle d'une hyperbole ayant

pour premier axe, 21/ «z 9 et pour second axe, 2W ^.

Ayant la transformation, la courbe a la position indiquée par la figure 139; mais après, elle reprend la position de la figure 137.

a8a NOYIOH8 SV* LA PARABOLB.

Multiplions les deux membres de l'équation proposée, par

^î il Tient

ou B'Z-AVrsAW, en posant ^ = BV^ = A*.

Telle est la forme de l'équation de l'hyperbole rapporté* à

son second axe > ou à son axe non transverse* comme axe des x*

A — — — On en déduit y = ±i-= |/x*-f-Ba; ce «Jui prouve que,

quelle que soit la valeur de x, y est toujours réel.

Pour x=o, l'on a ^=d:À; et cette valeur est le minimum de toutes celles que peut recevoir y.

De la Parabole.

2^1. Trouver l'équation d'une courbe telle j que la distance Fig. 140. de chacun de ses points M (Jig. 140) à un point fixe F (appelé foyer) j soit égale à la distance de ce même point M à une droite fixe LL' , appelée directrice.

Voici d'abord le moyen de construire par points cette courbe, connue sous le nom de parabole.

Après avoir abaissé du point F une perpendiculaire sur 1AJ a prenez le milieu A de la distance FG/ et le point A appartient à la courbe , puisque les deux distances AF et AG sont égales*

Ce point est dît le sommet de la parabole.

Pour obtenir d'autres points, élevez en un point quelconque P pris vers la droite de Aj une perpendiculaire à GF ; puis du point F comme centre \, avec le rayon GP., décrivez un arc de cercle qui coupe la perpendiculaire en deux points M , m j vous aurez ainsi deux points de la courbe; car il résulte de cette

construction , . FM ou Fro = GP = MQ.

D'où l'on voit que la parabole se compose de deux parties AMM' , Ammf symétriques par rapport à GF.

MOTIONS aUH LA PABABOLE. *83

Elle peut être aussi décrite d'un mouvement continu.

Prenez une èquerre dont' F un des côtés de V angle droit QR (fig. i4») soit assujetti à glisser suivant la direction LL.Fig.ifc* Fixez aux points F et V les deux extrémités d'un filj dont la longueur soit égale au second côté QV de Véquerre. Faites ensuite mouvoir cette équerre le long de UJ , en ayant soin de tenir le fil tendu au moyen d'un style ou crayon qui s'appuie constamment sur QV . La trace de ce style sera nécessairement une parabole.

En effet, pour une position quelconque QRV de Péquerre, oo a FM + MV=MQ + MV; d'où FM = MQ.

Lorsque Péquerre est arrivée dans une position Q'R'V' telle que Q'V passe par le point F, le fil se replie sur lui-même de ] F en A, et le point A est le sommet de la courbe; car l'on a

FA + AV/ = AQf + AV,; d'où FA = AQ'.

Pour tracer la partie inférieure de la courbe , il suffit de renverser la position de Péquerre.

N. B. Cette 'méthode ne donne qu'une portion de la courbe; portion d'autant plus grande, que le côté QV de Péquerre a plus de longueur , et qui se termine au point V* , pour lequel on a

FV#=V*Q'=VQ.

Cest probablement ce moyen de description qui a fait donner à LL' le nom de directrice.

afo. Recherchons actuellement l'équation de la parabole.

Nous prendrons pour axe des x la ligne GF (fig. \/\6) comme Fig. 140. divisant la courbe en deux parties égales , et pour origine le point A qui appartient à la courbe.

Soient x, y les coordonnées AP, MP du point M, s la distance FM, etp la distance FG; d'où '

AF = AG = £ et GP = £ + x.