NOTIONS SUR LA VA1ABOLS

La circonférence, décrite du point F comme centre avec le rayon FM, a pour équation

mais on a l'équation de condition FM = PG, on

Éliminant z entre ces deux équations , on trouve pour l'équation de la courbe,

*■+(— sM-+sy-

ou réduisant, y* := ipx (3)

Telle est l'équation de la parabole rapportée à ses axes principaux. AX est dit le premier axe principal, et AT le second.

On déduit de cette équation , y = ± ynpx ; et comme pour o?=o, on a ^ = ±o, il s'ensuit, i*. que la courbe est tangente en A à l'axe des y\ a0, qu'elle s'étend indéfiniment à la droite de cet axe, tant au-dessus qu'au- dessous de cet axeC

a43. On nomme paramètre le coefficient de a:, 2/?, c'est-àdire le double de la distance du foyer à la directrice»

Ce paramètre est encore égal à la double ordonnée qui passe par le foyer; car, d'après la définition de la courbe, la perpendiculaire^FN doit être égale à NH ou FG.

D'ailleurs si , dans l'équation y*s=zzpx, on fait x=s - = AF,

on trouve y* = />•, d'où y s= ±: p.

a44* Quoique la définition de la parabole n'offre aucune analogie avec celles de l'ellipse et de l'hyperbole, on peut néanmoins établir un rapprochement entre ces courbes, au

LIAISON HS8 TAOÎS COURBE*. 285

moyen d'une transformation de coordonnées exécutée par rapport aux deux dernières.

Reprenons l'équation Aêy* -f* B*x* = A'B*, .... (i)

et proposons-nous de rapporter l'ellipse au sommet A (Jig. i34) Fig. i3j{; comme origine, en conservant la même direction pour les axes. Pour cela, il faut (n° 218) faire usage des formules x=zx+ay y=y -\-b'y et comme a, b expriment ici les coordonnées du point À , ce qui donne

il s'ensuit que les formules se réduisent à

c'est-à-dire qu'il suffit de remplacer, dans l'équation ci-dessus, x par x — À , en laissant y tel qu'il est.

Il Tient, par cette substitution, Ay -f-B*x* — aAB*x=o;

B* d'où l'on déduit y* = — (a Ax — x*) . . . . (2)

C'est l'équation de l'ellipse rapportée à son sommet de gauche} prie pour origine.

Cela posé, cette équation peut être mise sous la forme

y=2 — x — tî*? oubien, jr*=2px — tj+x* .. . . (3)

fen faisant — = p\

Or, si l'on suppose que les deux quantités A et B croissent indéfiniment , de manière cependant que la quantité

B* p ou— reste constante ( cela est permis d'après l'équation

— = p , 'dans laquelle , après avoir pris pour p une valeur

fixe et déterminée, on peut donner à A différentes valeurs,

*86 LIAXSOK

et calculer ensuite une valeur correspondante pour B), il est clair que, dans cette hypothèse, plus A augmente, plus le

terme £- diminue ; et lorsqu'on suppose A =? oo , il en ré*

suite y r=o. Donc l'équation (3) se réduit à y*s&2pxt

qui n'est autre chose que l'équation d'une parabole.

. D'où l'on peut conclure que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini, ou dont le oentre est situé à l'infini.

245. Le même rapprochement peut être fait entre la parabole et l'hyperbole ; mais il faut alors rapporter cette dernière Fig.137. courbe à son sommet B (Jzg. ity), ce qui revient à porter, dans l'équation Ay — Bftx* = — A'B% à la place de x, x + A.

Elle devient A\y* — B **■ — 2 AB\r = o ;

d'où y*— — (aAx -f- x*), ou y =sapx + £ x*. . > . (4) ( en posant , comme pour l'ellipse , -j-'=p\

Actuellement , faisons augmenter A et B de manière que p reste constant ; il vient pour A = 00, ^=0, et l'équation (4) se réduit à y% = *px.

Dans ce cas, la seconde branche ,. le oentre, le second sommet disparaissent, ou sont situés à Pinfini.

a46. Il résulte de ce qui vient d'être dit, que les trois courbes peuvent être, en général, représentées par l'équation

y* = %px + qx*.

Lorsque la courbe est une parabole, on a q = o, et l'équation se réduit à y* = apx.