Hyperbole. L'expression a=-^-j devient, lorsqu'on

R • y remplace^* par sa valeur ± j v/jc** — A*,

— --sa— car.

Si l'on fait d'abord x" = :±: À , qui est la plus petite

valeur que puisse recevoir x"9 on obtient a = 00 ;

Fig. *6& donc y aux points B et À (fig. 166) , la tangente est perpendiculaire au premier axe.

À mesure que x* augmente, le terme -5^ diminue j par conséquent , le dénominateur approche de plus en pins d'être égal

/ à A5 et pour a?" =00, l'on obtient a = ±:-r;

ce qui démontre ( n° 264) que les tangentes à l'infini font avec le premier axe les mêmes angles que les asymptotes.

D'un autre cdté , si Von considère l'abscisse, x = — s , du

point où la tangente rencontre le premier axe ( n° 284 ) , ou?

voit que, dans l'hypothèse de x& = 00, cette abscisse devient

nulle; donc les tangentes à l'infini passent par le centre.

D*ou l'on peut conclure que les tangentes à l'infini ne sont

autre chose que les asymptotes elles-mêmes.

Remarque. Tant que xa est positif, l'expression ^7 ****

positive ; elle se réduit à A pour x*= A, et à o pour x*== 00 ; ainsi , pour tous les points de la première branche de l'hyperbole, les tangentes rencontrent le premier axe entre'le som -^ met B et le centre. Pour tous les points de la seconde branche * la rencontre a lieu entre les points O et A.

Observons d'ailleurs que, d'après la forme de l'expre|sion

DSS TANOBHT1S 357

cette quantité est généralement plus grande

que -j-y puisque le dénominateur À l/ i— • -5; est moindre

que A; excepté lorsqu'on suppose x" ss 00 , ce qui réduit

rexpression à j-.

Il résulte de là que la tangente à l'hyperbole ne .peut jamais former avec le premier axe un angle aigu moindre que

l'angle LOX dont la tangente est —, et un angU oh tua plus

grand que HOX dont la tangente est — y.

Ainsi , dans l'hyperbole équilatère dont les asymptotes sont rectangulaires , ou font avec le premier axe chacune un angle de 5o°, les tangentes ne peuvent faire arec cet axe un angle aigu moindre que 5o°, et un angle obtus plus grand que ï5o°.

Il serait facile de déterminer , comme pour l'ellipse , la position au point on la tangente a l'hyperbole doit faire un angle donné avec le premier axe. "

De la Tangente considérée par rapport aux diamètres et aux rayons vecteurs.

292. Soient MR. (fig. 168) une tangente en un point quel- Fig. x68. conque M de l'ellipse , MM' le diamètre qui passe jpar le point de contact.

On a trouvé ( n* 282 ) pour le coefficient de x dans l'équation non simplifiée de la tangente ,

D'un autre côté, puisque te diamètre MM'; dont l'équation est de la forme, y = ax , passe par le point M , qui a

358 DE LA TANGINTE JTAR RAPPORT AUX DIAMETRES.

pour coordonnées x", ym, on a la relation

S = a'x'-7 d'où û'=^.

Or^si Ton multiplie ces deux expressions de a et de a9 Tune

B* par .l'antre , il en résulte fia' m *r- — .

Mais en désignant par a* la tangente de l'angle que forme

avec l'axe des x le diamètre mm conjugué du diamètre MM',

B* on a également (n° 262) la relation û'a*a= — — .

Les deux égalités précédentes , comparées entre elles, donnent nécessairement a=a*mf ce qui veut dire que la tangente, en un point quelconque de V ellipse* est parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe par le pamt'de contact.

Conséquence. Si par les extrémités M, M', m, m' des deux diamètres conjugués, on mène quatre tangentes, ces droites forment un parallélogramme circonscrit à l'ellipse , puisque les tangentes menées aux extrémités, du, diamètre MM' sont parallèles au diamètre mm'f et réciproquement.

Dans l'hyperbole, la propriété précédente a également lieu ; mais comme on a vu (n° a 63) que , pour tout système de diamètres conjugués, l'un est transverse et l'autre non transverse, il s'ensuit qu'on ne peut mener que les deux tangentes TT", Fig.169 -tïlfig. 169).

293. Cette propriété fournît un moyen' asses simple êoimener une tangente à l'ellipse ou à l'hyperbole, i°. par un point donné sur la courbe; 20. -parallèlement à une droite «donnée de position sur le plan de la courbe.

Dans le premier cas , détermine*, par l'un des moyens indiqués nos 261 et 280, le diamètre conjugué de celui qui passe par le point de contact; puis, par ce point, menez une parallèle au diamètre ainsi déterminé ; tous obtenez la tangente demandée.

Dans le second, tracez un diamètre parallèle à la droite

DE LA TANGENTE ET DES RAYONS VECTEURS. &5g

donnée j puis déterminez son diamètre conjugué; et par les deux extrémités de celui-ci, mené* deux parallèles au premier, ou à la droite donnée; vous ave» ainsi les tangentes demandées.

Pour qne la seconde construction paisse s'appliquer à l'hyperbole, il faut évidemment que la droite donnée fasse avec l'axe des x un angle aigu plus grand que celui dont la tan-

gente est —, ou un angle obtus moindre que celai dort la tangente est — - —. Cest d'ailleurs une conséquence de ce qui

a été dit 9 n* 291 , sur l'inclinaison de la tangente dans Fbyperbole.

294* Considérons actuellement les deux rayons vecteurs menés des foyers F, F' {fig, 170) d'une ellipse, au point de Fig. 170. contact de la tangente MB., et proposons-nous de calculer les angles FMB. , F'MR que forment ces rayons vecteurs avec la tangente.

Soient FMR = V, ï*MR=:V,

tangMRX = a, tangMFXssa', tangMF'Xssû'j

on a évidemment > d'après la figure,

ton6 V = -T-T—ff t*ng y' =

i+aa" ° i+aa"

Or, an a déjà trouvé (a° a6a) as^ — ™-» .

De plus» comme le rayon vecteur FM passe par le point dont les coordonnées sont ysao, xtœc ou l/JL*— -B*, son équation est de la forme passa' (#•— c); et puisqu'il paisse en même tempe par le point xm, y" 7 ou a la relation

y' = a'{xm— c); d'où d =-£—-.

On obtiendrait de même pour la valeur de a9 correspondante

S6o 91 LA TANOIHTE

âu rayon F"M qui passe par le point (yc±ù, xzs — c), et

par le même poUt (xmf y") t a*=? {.* ,

Cela posé, si l'on substitue d'abord pour a et a' leurs taleurs dans l'expression de tang V, on trouve

** B»x*7 AV/- A'cy — BV/ '

1 iW-c)

ou bien, k cause de Ay^-r-B^ssA*»*, A1— B"=c%

ta V BVj'- A»B» B»(c^ — A*) B« g " c\cy — A Vy* ~ c/(cx* — A*) — cy" '

Comme, pour passer de tang Y à tang V , il suffit de remplacer cl par a", et que la valeur de a" ne diffère de celle de a' qu'en ce que c est changé en — -c, 11 s'ensuit que, tout calcul

B* fait, on doit trouver tang Vss — — -^.

De là résulte nécessairement qae Us angles F'MR, FMR sont supplémens l'un de l'autre; ou bien, si l'on prolonge F"M, que les angles GMR , FMR sont égaux.

Donc la tangente à F ellipse divise en deux parties égales l'angle formé par l'un des rayons vecteurs FM , et le prolonge-' ment MG de Vautre rayon vecteur.

Soit prolongée la tangente MR au-dessus du point M ; comme on a GMR = F'MR' , il en résulte FMR = F'MR'. Ainsi , l'on peut encore dire que la tangente RR' forme avec les rayons vecteurs * de l'un et de Vautre côté du point de contact., de» angles égaux.

Enfin, si l'on mène la normale MIL, de l'égalité des angles FMR, F'MR', on déduit nécessairement celle des angles FMK, RMF/ ; donc la normale divise en deux parties égales V angle formé par les deux rayons vecteurs.

Ces diverses propriétés sont tellement liées entre elles que,

ET DBS JtAYOtfft TSCTHTB*. 36 1

Pune quelconque étant démoutt ée> les autre» fan déduisent immédiatement* .

Passons à l'hyperbole. On a, en conservant les mêmes notations que ci dessus (J2g. 1 70) ,

tang FMR on tangV = tang(MFX — MRX)== — — ,, tangFMR ou taiigV' == tang(MRX--MFX)tt=

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