DES TANGENTES

devienne rationnel ) , se réduit a

c'est la valeur obtenue n° a8a.

Nous laissons aux oommençans le goin d'exécuter tous ces calculs, qui n'offrent aucune difficulté , et qui d'ailleurs sont analogues a ceux que nous avons exécutés pour le cercle (n° 200).

289. Au lieu d'effectuer l'élimination , on peut (n° p8i) construire séparément les lieux géométriques exprimés par les équations (i) et (2)-, x", y" étant considérées comme des variables. .

Or , Péq nation (2) est évidemment celle de'l'ellipse déjà construite.

Quant à l'équation (1), comme elle est du premier degré, elle appartient à une ligne droite dont la position peut être facilement déterminée par ses points d'intersection avec les

axes. On obtient pou* y'*** , . . .a**» —7,

- B* et pour je s= o, . . .y fes -7. • '

Après avoir construit sur OX,OY {Jtg. 163) les, distances

OI = — -, , OH = — , , on joint les points I et H par une droite

dont les points d'intersection M , m avec la courbe* ne sont autre chose que les points de contact. Tirant ensuite NM et Nm. f on obtient les deux, tangentes detofandées.

Conséquence. Le résultat, /p: ^ ( étant indépendant de

l'ordonnée y du point $ , prouve que /si l'on considérait un tout autre point H' sur IX' parallèle à OY, et que pur ce point on menât deux tangentes K'M' , NW, la ligne joignant les points de contact passerait par le même point I.

354 MUMUEIIE

La même chose a lieu par rapport a des points pris sur une

B* parallèle à Taxe des x, puisque l'expression y c= — , est indé—

pendante de l'abscisse x' du point N.

Cette propriété, analogue à celle qui a été démontrée (n° ao3) pour le cercle , sera Térifiée par la suite , pour une droite située d'une manière quelconque dans le plan de la courbe.

Les résultats précède!» sont également vrais pour l'hyper* hole, et la démonstration en serait absolument la même.

290. Pour ne rien laisser a désirer sur le problème des tangentes ; nous examinerons ce que deviennent les expressions

a— à'/' a~JFyf

lorsque l'on considère le pointde contact (x*, y") dans toutes les positions possibles sur la courbç.

Ellipse. Afin de pouvoir facilement déterminer les variations qu'éprouve la valeur de a, nous mettrons à la place de y" sa

valeur ±: — y Aa — x"% \ ce qui changera l'expression ci—

dessus en a = ■ ■ ^ — ' ■ ■ ■ , ou bien , supprimant

les facteurs communs, et divisant haut et bas par x", en

Cela posé, si l'on fait d'abord x*= o, auquel cas le point

r îg.i65* de contact se trouve en C ou D (fîg, i65), la quantité —% de-

vient infinie; d'où l'on déduit a = o. Donc, aux points C et D la tangente est parallèle au grand axe. A mesure que x" augmente, soit positivement, soit négatt-

du tàhgeutes. 365

ventent, — ^, et par conséquent A 1/ -^— ï, diminue, et la

<jC » X

valeur de a augmente de plus en plus numériquement. Lorsqu'au fin on suppose x"=it À, auquel cas le point de contact se trouve en B ou en À , le radical devient nul» et l'on a a = co; donc la tangente en ces deux points est perpendiculaire au premier axe*

Si l'on fait passer x* par tous les états de grandeur, depuis o jusqu'à À, il est visible que la valeur de a passera par tons les états de giandeur depuis o jusqu'à V infini négatif et de* puis o jusqu'à Y infini positif* Ainsi la tangente prend toutes les inclinaisons possibles par rapport au premier axe ; les angles sont aigus pour tous les points situés entre B et D , ou entre A et G ; ils sont obtus pour tous les angles situés entre C et B, ou entre D et A* •

Veut-on, par exemple, savoir en quel point la tangente à l'ellipse fait avec le grand axe un angle donné ?

— B*x* Soit t la tangente de cet angle; on pose ■ A- ,■■ = t9

ce qui donne l'équation A**y* -J- B*x" = o ,

que l'on combine avec celle-ci : Ay*+ B'x""= A'B*.

. . En substituant, dans la seconde équation, la valeur de y" tirée de la première, on trouve

B V + A'BVx*» = A<BV ; ±AV

d'où l'on déduit x" =