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DES SURFACES QUI ENVELOPPENT UN NOMBRE INFINI D'AUTRES SURFACES; DES CARACTÉRISTIQUES ET ARÊTES DE REBROUSSEMENT.

Supposons que l'on considère une surface courbe entièrement connue, et dans la génération de laquelle entre un certain paramètre que nous représenterons par a, en sorte que l'équation finie de

cette surface soit composée de ^j Xj z, a, et de tant d'autres constantes que Ton voudra, indépendantes de et. L'équation connue de cette surface pourra être représentée par F[a:, j, z, ût] = o, ou, pour abréger, par F = o.

Si Ton donne au paramètre a une valeur déterminée, l'équation F = o sera celle d'une surface individuelle unique, dont la forme et la position dans l'espace dépendront de la valeur particulière donnée à a. Si donc on suppose que le paramètre a ait successivement toutes les valeurs possibles depuis a = — qo jusqu'à ce = » , toutes les équations, telles que F = o, cpie l'on obtiendra de cette manière, seront chacime en particulier celle d'une surface courbe individuelle ; et la suite infinie de toutes ces surfaces courbes sera enveloppée par une autre surface courbe unique, qui est de la nature de celles que nous nous proposons de considérer, et auxquelles nous donnerons le nom générique dî! enveloppes .

Si, de plus, l'équation générale F= o des surfaces enveloppées contient un second paramètre p, mais qui dépende du premier suivant une loi connue ; si , par exemple , ces deux paramètres sont les coordonnées d'une courbe plane donnée, dont l'équation connue en a', r soit représentée par j= <px^ on aura ^ = cpct; et, d'après la forme de la fonction <p, l'enveloppe aura une forme particulière et une position déterminée dans l'espace. Si donc on suppose que la fonction <p prenne successivement toutes les formes possibles, pour chacune de ces formes particulières, on aura une enveloppe individuelle différente; et pour toutes les formes en général, on aura une suite d'enveloppes. Toutes ces enveloppes auront un caractère général, ime propriété commune, une même génération, indépendante de la nature de la courbe dont l'équation est y = <px. Ce- caractère, cette propriété, cette génération, peuvent être exprimés ou par une équation aux différences partielles , ou par une équation intégrale, dans laquelle entrera la fonction 0, qui alors sera

arbitraire; et ce sont ces deux espèces d'équations que nous nous proposons de trouver. Nous allons éclaircir ce qui précède, en raisonnant sur un exemple simple.

Tout étant rapporté à trois plans rectangulaires, dont celui qui contient les a? et j soit horizontal, concevons que sur ce dernier plan on ait tracé une courbe quelconque dont l'équation soit j- = (pa:, et que sur cette courbe on prenne un point correspondant à a: = * , et pour lequel on aura par conséquent j = (p* ; cela posé , si ce point est le centre d'une sphère dont le rayon soit =: a, l'équation de la sur&ce de la sphère sera

{x — aY -+- ( j — <pcty H- c^ = a^.

Cette équation est, dans ce cas, celle que nous représentons par F = o. Actuellement, si, la forme de la fonction ç restant la même, c'est-à-dire si, la courbe horizontale restant fixe, l'on donne successivement à a toutes les valeurs possibles , on aura une suite de sphères de même rayon, et dont les centres seront distribués sur tous les points de la courbe horizontale. Toutes ces sphères seront enveloppées par ime surface unique, qui sera celle d'un canal circulaire, curviligne, et dont l'axe sera la courbe horizontale : c'est cette surÊice à laquelle nous donnons le nom Ôl enveloppe. Enfin, si l'on donne successivement à la fonction (p toutes les formes possibles, c'est-à-dire si l'on fait successivement la même opération pour toutes les courbes que l'on peut tracer sur le plan horizontal, à chacune de ces courbes correspondra une enveloppe particulière. Toutes ces enveloppes auront la même génération et une propriété commune indépendante de la courbe qui sert d'axe à chacune d'elles en particulier. Cette propriété est que, si on les coupe par un plan quelconque normal à la courbe horizontale qui sert d'axe, on a pour section la circonférence d'un cercle dont le rayon est = a, et dont le centre est dans la courbe. 1/ expression analytique de cette pro-

priété qui appartient à toutes ces enveloppes, et qui n'appartient qu'à elles, est l'équation générale des surfaces soumises à cette génération. Rentrons actuellement dans le cas général.

Si dans l'équation générale des surfaces enveloppées F= o, après avoir donné à a une certaine valeur, on lui donne une nouvelle valeur infiniment peu différente de la première, on aura l'équation d'une nouvelle enveloppée, cjui, par sa forme et sa position, différera infiniment peu de la première, et qui la coupera dans une certaine courbe. Cette courbe sera la ligne de contact commune des deux enveloppées consécutives avec leur enveloppe, et ses points seront ceux de la première enveloppée pour lesquels les coordonnées .1', j, z ne changent pas, quand a varie et devient a -+- cIa. Si donc on différentie l'équation F = o, en regardant a comme seule variable, l'équation qu'on obtiendra appartiendra à la courbe de contact ; et parce que cette courbe se trouve aussi sur la première enveloppée, il s'ensuit que ces deux équations seront

( «> ii") = »

dans lesquelles la quantité a détermine la position de la courbe de contact dans l'espace. Ainsi, suivant que dans les deux équations (A) et (B) on donnera successivement à a différentes valeurs, on aura les équations de coiu'bes de contact différentes qui se trouveront toutes sur l'enveloppe, et dont l'enveloppe elle-même sera, pour ainsi dire, composée. Si donc entre les deux équations (A) et (B) on élimine et, on aura en .r, j-, z une équation que nous représenterons par /'(.r, j, s) = o, ou, pour abréger, par/ = o, et qui sera celle de l'enveloppe elle-même.

Tia ligne de contact, dont les équations sont (A) et (B), a aussi

tme propriété indépendante de la courbe qui particularise F enveloppe, et dont on peut avoir l'expression analytique ; en vertu de cette propriété, elle imprime un caractère général à toutes les enveloppes soumises à la même génération ; sa considération est trèsimportante dans l'intégration des équations aux différences partielles, et nous la nommerons la caractéristique de F enveloppe. Nous verrons par la suite qu'une même enveloppe peut avoir plusieurs caractéristiques différentes. Dans le cas particulier sur lequel nous avons déjà raisonné, la ligne de contact est toujours la circonférence d'un cercle dont le rayon est constant, et dont le plan est toujours vertical et normal à la courbe horizontale, quelle que soit d'ailleurs cette courbe ; et il est évident que c'est cette propriété qui imprime à toutes les enveloppes de ce genre leur caractère commun et distinctif. Poursuivons ces considérations.

Si dans les deux équations (A) et (B) , après avoir donné au paramètre A une première valeur, ce qui détermine la position de la caractéristique dans l'espace, on conçoit que ce paramètre soit augmenté d'une quantité infiniment petite rfa, les deux nouvelles équations seront celles d'une nouvelle caractéristique qui, par sa forme et sa position, différera infiniment peu de la précédente, et qui, en général, la coupera quelque part, puisque ces deux caractéristiques consécutives sont sur la même enveloppe. Les points en nombre fini , dans lesquels les deux caractéristiques consécutives se coupent, sont ceux de la première pour lesquels les coordonnées x^y^ z nt changent pas, lorsque, dans les équations (A) et (B), a varie et devient d -+- dûL. Donc, si l'on différentie ces deux équations, en regardant fit comme seule variable, les deux nouvelles équations qu'on obtiendra appartiendront aux points d'intersection des deux caractéristiques; et parce que ces points se trouvent aussi sm* la première «•aractéristique, que d'ailleurs en différentiant (A) on reproduit (B), il s'ensuit que pour chacun de ces points d'intersection on a les trois

équations

dans lesquelles la quantité et détermine celle de toutes les caractéristiques sur laquelle on considère le point où elle est coupée par celle qui la suit immédiatement.

• Ainsi, suivant que dans les trois équations (A), (B), (C), on donnera au paramètre et différentes valeurs, on aura en oo, y, z trois équations, desquelles, par l'élimination, on tirera les valeurs des coordonnées x^y, z^du point dans lequel la caractéristique correspondante est rencontrée par la suivante. On aura donc sur l'enveloppe autant de points de cette espèce, que Ton pourra donner de valeurs différentes à a. La suite de ces points formera sur F enveloppe une courbe très-remarquable, et dont on aura en x, y, z les deux équations, en éliminant et entre les trois équations (A), (B) et (C) . Cette courbe est touchée par toutes les caractéristiques de la même manière que l'enveloppe est touchée par toutes les enveloppées, et elle est pour l'enveloppe une véritable arête de rebroussement ; car toutes les parties des caractéristiques qui sont d'un même coté par rapport à leurs points de contact avec la courbe que nous considérons, forment ime prerfiière nappe de l'enveloppe, et toutes les parties de ces caractéristiques qui sont de l'autre côté des mêmes points de contact forment une seconde nappe. Ces deux nappes s^ touchent dans la coilrbe dont il $' agit, et qui est pour elles uîie limite commune; de manière que si un point se mouvait sur une de ces deux nappes suivant une certaine loi, il arrivei:ait jusqu'à cette Jiniite, qii'il ne poutrait outre-passer, et, pour continuer son mo\i-

vement suivant la même loi, il serait oblige de se réfléchir et de passer sur r autre nappe. Nous aurons occasion, par la suite, de nous familiariser avec cette espèce d'arête de rebroussement. Nous nous contenterons ici de faire observer que les surfaces coniques sont des enveloppes; que, comme telles, elles ont leur arête de rebroussement; que, pour elles, cette arête se réduit toujours à un point unique, et que ce point, qui est le sonmiet, est très-remarquable sur ces surfaces.

Toutes les arêtes de rebroussement des enveloppes soiunises à la même génération ont aussi un caractère conunun , ime propriété générale, qui est indépendante de la courbe qui particularise l'enveloppe, et dont on peut avoir l'expression analytique. La considération de ces arêtes est d'une grande importance dans le calcul intégral des équations aux différences partielles, et , pour cette raison, nous ne manquerons pas de les étudier dans tous les cas particuliers que nous traiterons.

Enfin, chacun des points de l'arête de rebroussement d'ime enveloppe est l'intersection de deux caractéristiques consécutives ; mais si, sur cette arête, il se trouve un point dans lequel les trois caractéristiques consécutives se coupent , ou , ce qui revient au même, s'il existe une certaine valeur de a, pour laquelle les deux caractéristiques consécutives coïncident et ne forment qu'une même courbe, le point correspondant de l'arête de rebroussement sera tel, que ses trois coordonnées x^ y^ z ne varieront pas lorsque a viendra encore à varier. Si donc on différentie les trois équations (A), (B), (C), en regardant a comme seule variable, les trois équations que Ton aura appartiendront au même point de rebroussement; et parce que la différentiation de (A) produit (B), et que celle de (B) produit (C), il s'ensuit que si des quatre équations

on élimine les trois coordonnées .r, j-, z^ on aura une équation qui ne renfermera plus que a, et qui donnera la valeur de a pour qu'un point de l'arête de rebroussement soit commun à trois caractéristiques consécutives. Ce point est lui-même pour l'arête un point d'inflexion ou un point de rebroussement.

Passons actuellement à la recherche des équations de quelques enveloppes.

§ vn.

DES SURFACES DES CANAUX DONT L'AXE EST UNE COURBE QUELCONQUE PLANE ET HORIZONTALE, ET DONT LES SECTIONS PERPENDICULAIRES A CET AXE SONT DES CERCLES DE RAYON CONSTANT.

Une courbe quelconque étant tracée sur le plan horizontal, si l'on imagine qu'une sphère d'un rayon constant se meuve de manière que son centre suive la courbe, elle parcourra un espace qui sera enveloppé par une certaine surface courbe. Gela posé, trouver ^ 1° V équation générale de toutes les surfaces courbes soumises à cette génération, quelle que soit d'ailleurs la courbe plane qui leur sert d'axe; 2° les équations de la caractéristique de ces surfaces; 3° celle de leur arête de rebroussement.

donc, égalant les valeurs de ces deux cosinus, et accentuant z dans la seconde expression, puisque les points de contact sont pris à la même hauteur, on aura, pour équation générale des surfaces que nous considérons.

Autrement. Il est évident que toutes les normales de l'enveloppe coupent la courbe qui lui sert d'axe, et que les parties de ces normales comprises entre la surface et le plan horizontal sont égales entre elles et au rayon des sphères enveloppées. Or, en nommant 'i'\ y\ z' les coordonnées d'un point d'une surface courbe, nous avons vu que les équations de la normale qui passe par ce point sont

De plus, la grandeur de la partie de cette normale comprise entre le point de la surface et un autre point dont les coordonnées sont

.r, r, z, est

S' [^ - ^^'Y -^ {y - yr -^ {z - z' )\

Substituant donc pour x — x' et y — r' les valeiu^ que fournissent les deux équations précédentes, on aura pour expression de cette grandeur

dz'\ 2 (dz

.fif

Si donc on veut avoir la grandeur de la partie de la normale comprise entre la surface et le plan horizontal, il faudra faire z=o dans

cette expression, qui deviendra

-^'vWf

donc, en égalant cette expression au rayon a des sphères enveloppées, et élevant au carré, on trouvera, comme ci-dessus, pour équation générale

2?. La caractéristique de la surface, c'est-à-dire la courbe de contact de cette surface avec chacune des enveloppées , est évidemment, dans ce cas, la ligne de plus grande pente de la surface, ou, ce qui revient au même, elle est, de toutes les courbes qui sont sur la surface et qui passent par un même point, celle dont la tangente en ce point fait le plus grand angle avec le plan horizontal. La tangente de cette courbe est donc perpendiculaire à l'horizontale menée dans le plan tangent, et enfin la projection horizontale de cette tangente est perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent. Or, j?', j', z' étant les coordomiées du point de la caractéristique, qui est aussi le point de contact du plan tangent, F équation de la projection horizontale de la tangente est

celle de la trace horizontale du plan tangent se trouve en faisant z = o dans T équation de ce plan, et est

De plus, ces deux droites seront rectangulaires si, en ajoutant les produits des coefficients de a? à celui des coefficients de j, la somme

est égale à zéro ; donc l'équation de la projection horizontale de la ligne de plus grande pente est

Donc enfin les deux équations de la caractéristique de la surface sont

En général, T équation {b) peut toujours être déduite immédiatement de r équation (a). Pour ne pas trop charger cet exemple, nous le ferons voir dans l'exemple suivant.

3°. L'arête de rebroiissement de la surface touche en chacun de ses points une de ses caractéristiques; ces deux courbes ont donc en ce point mie tangente commune : donc la tangente de l'arête de rebroussement pour un point de contact pris à une certaine hauteur, fait avec le plan horizontal le même angle que la tangente de la caractéristique pour un point de contact pris à la même hauteur. Or, x\y\z' étant les coordonnées du point de contact pris sur l'arête de rebroussement, la tangente de l'arête fait, avec le plan horizontal , un angle dont le cosinus est évidemment

cos — - •

De plus, dans un cercle vertical et dont le rayon est a, pour un point de contact pris à la même hauteur z\ la tangente fait avec le plan horizontal un angle dont le cosinus est

cos = — ;

donc, égalant ces deux cosinus, on aura pour équation de F arête de rebroussement

{c) z'' {dœ'' + dy 4- dz'') = a' {dx'' + dy'').

Autrement. Les deux équations {a) et (b) appartenant à toutes les caractéristiques, quelle que puisse être la courbe qui sert d'axe à la surface, et quel que soit le point par lequel passe la caractéristique

sur chaque surface individuelle, les deux quantités (^ ) ^* (5^ )

que renferment ces deux équations doivent dépendre implicitement, et d'une première quantité a qui, siu* chaque enveloppe, assigne le lieu de la caractéristique, et d'une seconde quantité p=^flt, dont la forme particularisé l'enveloppe elle-même. Si donc entre les trois équations (a) , {b) et la suivante

dz' = {%) d.' + (f) dy',

on élimine les deux quantités ( -^, j et ( -A | , on fera disparaître

tout ce qui dépend de la quantité a , par conséquent tout ce qui , dans la même enveloppe, particularise chacune des caractéristiques, et l'équation aux différences ordinaires

(c) z'^ {dœ'^ 4- rf/' + dz"') = a' {dœ'^ + dy"'),

que l'on obtiendra, appartiendra à l'arête de rebroussement que toutes ces caractéristiques touchent ; mais aussi par cette élimination on fait disparaître tout ce qui dépend de l'autre quantité |3 = (pa, et par conséquent tout ce qui particularise l'enveloppe elle-même : donc l'équation (c) est généralement celle des arêtes de rebroussement de toutes les surfaces soumises à la même génération.

On voit donc que la caractéristique est exprimée par deux équa-

tions (a) , (è) , dont l'une est aux différences partielles, et dont l'autre est aux différences mêlées, partielles et totales; et qu'au contraire r arête de rebroussement est exprimée par une équation unique aux différences ordinaires, tandis qu'en quantités finies elle doit être exprimée, comme toute courbe à double courbure, par deux équations équivalentes à celles de deux de ses projections.

Les arêtes de rebroussement que nous venons de considérer sont susceptibles d'une autre génération qui conduit à une construction simple. En effet, si après avoir décrit sur un plan vertical quel- <:onque la circonférence d'un cercle d'un rayon a, et dont le centre soit dans l'horizontale, on plie ce plan sur la surface d'un cylindre vertical à base quelconque, la courbe à double courbure que la circonférence de cercle formera par son application sera, en général, l'arête de rebroussement de la surface dont il s'agit. Car il est facile de voir, i°que pour toutes les courbes soumises à cette génération, on aura

\ldjc^ -h dy^ -h dz^ : ^dx*^ -+- dy^ : a :: z,

ce qui est la propriété exprimée par l'équation (c) ; 2° que ces courbes sont les seules qui jouissent de cette propriété. Donc l'équation (c) suffît seule pour les définir.

SECONDE MANIÈRE. EN QUANTITÉS FINIES

L'équation de la courbe horizontale qui doit servir d'axe à la sur&ce, et sur laquelle se trouvent les centres de toutes les sphères enveloppées, étant représentée par j = (p.r, dans laquelle <p exprime une fonction quelconque arbitraire , et a étant la valeur de ,t' qui correspond à la position du centre quelconque de ces sphères, l'équation de la surface de cette sphère sera

(x — a)' -h ( j — (paY -+- z^ = a^.

Si l'on différentie cette équation trois fois de suite, en regardant et comme seule variable, et si l'on fait {i(pa = <p'*, d(p'<t = (p"itdà. et fi(p a = ^"'etdtt, on aura les quatre équations

(A) ^x — ay -^ [j - <pctY -\- z' = a\

(B) X — tt-h {jr — (ptt) (p'ct = o,

(C) (x — (p«) <i>"a — I - {(p'aY = o,

Ce sont ces quatre équations que, dans le paragraphe précédent, nous avons représentées par

Donc si, sans prononcer sur la valeur de la quantité a, on élimine cette quantité entre les deux équations (A) et (B) , le résultat de Télimination sera en or, j, z, l'équation finie de T enveloppe. Tant que la fonction ^ restera sous sa forme générale et indéterminée, l'élimination dont il s'agit ne pourra s'exécuter, et ces deux équations ne pourront être réduites à une seule. Ce ne sera qu'après avoir déterminé la forme de la fonction, de manière qu'elle appartienne à la surface individuelle que l'on considérera dans chaque cas particulier, que l'on pourra effectuer cette élimination. Ainsi, a étant regardée comme une quantité dont la valeur est indifférente, et qui doit disparaître par l'élimination, et la forme de la fonction (p étant arbitraire, le système des deux équations (A) et (B) exprime donc toutes les surfaces courbes soumises à la même génération ; ce système est donc équivalent à l'équation unique aux différences partielles (a), dont nous verrons par la suite qu'il est l'intégrale complète.

Si dans les mêmes équations (A) et (B) on regarde a non plus

comme une indéterminée qui doive disparsdtre par l'élimination, mais comme une constante arbitraire qui doive subsister, en sorte que les deux équations (A) et ( B ) ne soient plus réductibles à une seule , elles appartiendront à la caractéristique de la surface. La forme de la fonction ç particularisera la surface individuelle, et la constante a particularisera sur cette surface la caractéristique individuelle. Ces deux équations sont donc équivalentes aux deux équations {a) et {b). Nous verrons par la suite qu'elles en sont l'intégrale, complétée par une constante arbitraire a, à cause des différences ordinaires, et par une fonction arbitraire (p, à cause des différences partielles.

Si dans les trois équations (A), (B), (C) on élimine a, regardée comme une indéterminée dont la valeur est indifférente (élimination qui ne peut se faire que dans chaque cas particulier, après avoir déterminé la forme de la fonction (p, et celles des fonctions (p', (p'' qui en dérivent par la différentiation), on aura en x^ j'y z deux équations qui seront celles de l'arête de rebroussement. Ainsi la forme de la fonction <p étant arbitraire, le système de ces trois équations est équivalent à l'équation unique aux différences ordinaires (c). Nous verrons qu'il en est l'intégrale complète.

Enfin, si des quatre équations (A), (B), (G), (D), on tire les valeurs des quatre quantités x, j*, z et et, on aura les trois coordonnées du point d'inflexion ou de rebroussement de Tarête de rebroussement, et la position du centre de la sphère enveloppée sur la surface de laquelle se trouve ce même point.

Nous venons de voir que l'enveloppe est exprimée par une équation unique aux différences partielles, et que son arête de rebroussement l'est par une équation unique aux différences ordinaires ; mais qu'en quantités finies l'enveloppe est exprimée par le système de deux équations, et que T arête de rebroussement l'est par un système de trois équations, entre lesquelles il faut éliminer une indé-

terminée a. Loi^qu'un objet est exprimé par uiie équation unique, cette équation est nécessaire, et ne peut être suppléée par aucune autre équation unique du même genre ; mais, lorsqu'il est exprimé par le système de plusieurs équations, aucime des équations de ce système n'est nécessaire, et il existe toujours une infinité d'autres systèmes d'équatipns absolument équivalents. Par exemple, une courbe à double courbure est déterminée dans l'espace par deux équations en «r, j^, js, et ces équations, qui sont celles des deux sm-faces courbes dont la courbe est l'intersection, ne sont nécessaires, ni l'une ni l'autre, pour exprimer cette courbe; car il existe toujours un nombre infini d'autres surfaces courbes qui , prises deux à deux, se coupent dans la même courbe à double courbure, et dont les équations, quoique très-différentes des deux premières, expriment cette courbe avec la même exactitude. Le système des quatre équations (A), (B), (G), (D) n'est donc pas nécessaire pour exprimer toutes les affections de l'enveloppe que nous considérons, et il existe un nombre infini de systèmes d'équations qui remplissent exactement le même objet. Nous nous contenterons d'en rapporter un seul exemple.

Tout étant comme précédemment, si Ton conçoit qu'un cylindre indéfini, à base circulaire, et dont le rayon soit a, se meuve de manière que son axe soit toujours dans le plan horizontal, et tangent à la courbe, dont l'équation est j^ = ^.r, il parcourra un espace qui sera circonscrit et enveloppé par la surface du même canal que nous considérons ; cette surface peut donc être aussi regardée comme l'enveloppe d'une suite infinie de cylindres horizontaux ; et en opérant sur l'équation générale des surfaces de ces cylindres de la même manière que nous l'avons fait sur celle des sphères, nous obtiendrons quatre nouvelles équations dont le système remplira le même objet que celui des quatre équations (A) , (B) , (G) , (D) .

n est facile d'avoir l'équation générale de ces surfaces cylindri-

— Coques par la méthode que nous avons exposée en traitant de leur génération ; mais il peut être bon de faire voir comment on peut y aiTiver par des considérations analogues à celles dont nous nous occupons.

Si Ton représente par a la valeur de x qui correspond au point de contact de l'axe du cylindre avec la courbe horizontale, on aura pour ce point y=(prt, et l'équation de l'axe du cylindre, c'est-à-dire dé la tangente à la courbe, sera

Si Ton supposée ensuite qu'une sphère d'un rayon a se meuve de manière que son centre parcoure cette droite, l'enveloppe de l'espace qu'elle parcourra sera la surface cylindrique demandée. Soit b la valeur de x qui correspond à un point quelconque pris sur cette droite, on aura pour ce point y = ça-h {b — ct)(p'tt, et l'équation de la surface de la sphère dont le centre serait en ce point, et dont le rayon serait a, sera

{x — b)' -h [x — 0(1 — {b — (t) cp'ct]'' -^- z^ = «''.

Donc, différentiant cette équation, en regardant b comme seule variable, ce qui donne

b -h [x — (pet — (b — a) (p' a.\(p' A = o;

et éliminant 6, T équation résultante

\[x — ci)(p'ci — {x — (pct)Y= ia' — z^) \\ ^ [(p'ci)']

sera celle de la surface d'un cylindre à base circulaire, dont Taxe touche la courbe horizontale, ci étant la valeur de x qui correspond au point de contact.

Cette équation étant celle d'une nouvelle enveloppée, il s'ensuit

que si on la différentie trois fois de suite, en regardant a comme seule variable, on aura quatre équations nouvelles

(A'> [{a:-a) <p'ci- (j-<pct)Y ={a'--J)[i+{<{>'ay], (B') (ar — <t)*(p'* — {x — «) (/ — (pet) = {a* — z')<p'et,

(ly) (a; — a)'(p'"a — 3{x — ti)fct = {a' — z')(p''ct, .

qui remplaceront les quatre équations (A), (B), (C), (D). Ainsi, si Ton élimine a des deux équations (A'), (B'), on aura Téquation de l'enveloppe; si Ton élimine a des trois équations (A'), (B'), (C), on aura les deux équations de l'arête de rebroussement ; enfin, les quatre équations (A'), (B'), (C), (D') donneront les valeurs de X, j^, z et rt, qui correspondent au point d'inflexion ou de rebroussement de l'arête.

Ces deux systèmes d'équations peuvenfêtre employés indifféremment ; nous nous servirons du premier , parce qu'il est plus simple.

Étant données les deux équations d'une courbe à double courbure quelconque, trouver celle d'une surface courbe qui passe par cette courbe y et qui soit celle d'un canal dont la section soit un cercle donné de rayon, et dont l'axe soit une courbe comprise dans le plan horizontal.

Ijà, question consiste évidemment à déterminer dans les deux équations (A), (B), ou dans les deux équivalentes (A'), (B'), quelle doit être la forme de la fonction ^, pour que la surface à laquelle appartient l'équation résultante de l'élimination de a passe par la courbe donnée.

Or, cette surfece, qui est une enveloppe, passera par la courbe

donnée si toutes les surfaces enveloppées touchent cette même courbe, c'est-à-dire si chacune des tangentes de la courbe donnée se ti'ouve sur le plan tangent à l'enveloppe à laquelle appartient le point de contact. Soient donc F(^, j, 2;) = o et f{x^y^ z) = o les deux équations^ de la courbe donnée ; si l'on représente par .r, j, s les coordomiées du point de contact, et par x\y\z' celles du point général de la tangente, les deux équations de cette tangente seront

Il / \ dx

dans lesquelles les quantités dx^dy^dz sont des différentielles ordinaires; puis si l'on differentie les deux équations

F(^,j, ^•) = o, et /(x,j, s) = o,

et si Ton en retire les valeurs de — et de -j^, qui seront exi x^ y^z^

et que nous représenterons respectivement par p et q, les deux équations de la tangente seront

De même, x^y^ z étant les coordonnées du point de coiitact du plan tangent, et x\y\ z étant celles du point général de ce plan, r équation du plan tangent sera, comme on sait,

dans laquelle ( ^ j ^^\J] ^^'^^ ^^^ différences partielles; puis, si Ton differentie l'équation (A) de Tenveloppée, et si Ton en tire les

valeurs de l^\ et de ( ^ j qui seront en a:, j, z, a et ^«^ et que

nous représenterons respectivement par P et Q ; l'équation du plan tangent sera

Ce plan devant passer par la tangente, il faut que son équation et celles de la tangente aient lieu en même temps, c'est-à-dire que, si Ton élimine les trois quantités x — x\y — j', z — z', ce qui est toujours possible, l'équation résultante

Pp + Qry=i,

qui est en ^, j, jz, a et ^a, soit satisfaite. Donc, si l'on en élimine r,^, j3, au moyen des trois équations F(a', j, z)=Oj fipc^y^ z)=o et (A) , qui ont lieu en même temps pour le point de contact , on aura en At et ^^ une équation que nous représenterons par

et qui donnera la relation que doivent avoir entre elles les deux coordonnées *, ^a du centre de la sphère enveloppée, pour que la surÊice de cette sphère touche la courbe donnée. Mais il faut que cette condition ait lieu pour toutes les valeurs de a : il faut donc que la même relation subsiste , quand même a varierait et deviendrait tL-\'da\ donc il faut que la différentielle de l'équation M=o ait encore lieu, c'est-à-dire que l'on ait encore

doL

Donc, si entre les quatre équations (A) , (B) , M = o et ^ = o,

on élimine les trois quantités At, (p^ et ^'a, l'équation résultante sera en a?, y^ z celle de l'enveloppe individuelle demandée, qui passe par la courbe donnée.

Cette méthode de déterminer la forme de la fonction pour que la surface passe par une courbe donnée, n'est point particulière à la surface dont nous nous occupons ; elle est générale, et elle convient à toutes les enveloppes lorsqu'il n'y a qu'une seule fonction à déterminer. Il en est de même pour celle de la question suivante.

Étant donnée V équation d'une surface courbe, trouver celle de la surface d'un canal à section circulaire, et dont Vaxe curviligne soit dans le plan horizontal, de manière que le canal ceigne la surface donnée, cest-ciHlire l'embrasse en la touchant suivant une courbe.

Il est évident que la question consiste à déterminer dans les équations (A), (B) quelle doit être la forme de la fonction ç pour que l'enveloppe ceigne la surface donnée, et que cette condition sera remplie si chacune des sphères enveloppées touche la surface donnée, c'est-à-dire si, pour les points communs à l'enveloppée et à la surface donnée, ces deux surfaces ont le même plan tangent. Soit donc F {Xy j, z) =z= o l'équation de la surface donnée : si l'on représente par eT, j, z les coordonnées du point de contact, et par x\y\z' celles du point général du plan tangent, si de plus on

tirées de l'équation F {x, j, z) = o, l'équation du plan tangent à la surface donnée sera

exprime respectivement par p et q les valeurs de ( ^ ) et de ( ^ ^

Si l'on exprime de même par P et Q les valeurs de {•£-) ^^ ( j- ) tirées de l'équation (A), l'équation du plan tangent à la sphère

— 5i — enveloppée sera

Pour que ces deux plans se confondent en un seul, il faut que Ton ait les deux équations

qui sont toutes deux en x^y^ z^ a et tpa. Si de ces deux équations, et des deux autres F (a:, j, 2)= o et (A), on élimine les coordonnées .r, j, z du point de contact qui est commun aux deux plans, on aura en ^t et (pa une équation que nous représenterons par M = o, et qui sera celle de la courbe horizontale qui sert d'axe à Tenveloppe lorsqu'elle ceint la surface donnée.

Donc, si entre les équations (A), (B), M = o et — := o, on élimine les trois quantités a, ^a, ^'a, on aura en oc^y^ z celle de Tenveloppe individuelle demandée.