I -hp^-hapq = l!i

ce qui réduit l'équation aux différences secondes à la forme plus

simple

{r -h as)M — {s -h at)N = o,

nous la différentierons en regardant r, s^ t comme seules variables; et, en nommant R, S, T les coefficients respectifs des différentielles (le ces trois quantités, nous trouverons

Rz=M, S = aM — N, T= — aN,

Ainsi, en remettant pour M et N leurs valeurs, on aura, pour la caractéristique, les deux équations aux différences ordinaires

dy — adx=^ o, [a(i -h 9') -^ pq]dp— (l 4-/?^ 4- apq)dq = o.

Or ces équations sont toutes deux intégrables; cela est évident pour la première. Quant à la seconde, si Ton ajoute à chacun des coefficients de dp et dq ce qu' il faut pour que la quantité i -\-p^ -{- q^ y entre complètement, et si Ton retranché ensuite ce qu'on aura ajouté , on aura

(1 -f-yy' H- q-) {adp — dq) — {ap — q) (pdp -\- qdq) = o,

équation séparée. Donc les deux équations intégrales de la caractéristique sont

f — ax =2 ct\

a et a! étant les deux constantes arbitraires. La surface est donc telle que, si la première de ces équations a lieu, la seconde a aussi lieu nécessairement, c'est-à-dire que, si a est constant, a est aussi constant. Donc les quantités et et a sont constantes ensemble et variables ensemble; donc la première équation de la surface aux différences partielles du premier ordre est

{a) y — ax

Quant à l'autre caractéristique , si , au moyen de sa première équation

M^ + Ndx = o, on chasse M et N de l'équation de la surface

(r + as)M — {s -+- at)N = o.

— i65 — et si de celle-ci on élimine r^s^t par leurs équations

dp = rdx H- sdy^ dq = sdv -h tdy^

ou aura pour seconde équation de cette courbe :

dp -+- adq == o.

Ainsi, en remettant pour M et N leurs valeurs, et à cause de dz=pdx-hqdfj on aura, pour la seconde caractéristique, les deux équations aux différences ordinaires

dx -+- ady -+- {p ■+- aq)dz = o,

dp -h ddq = o.

Or, de ces deux équations, la seconde est évidemment intégrable; quant à la première , elle le devient par l'addition de la quantité :z{dp-hadq)j qui est nulle en vertu de la seconde; donc les deux t^quations intégrales de cette courbe sont

.r -h or + (/? H- ^q)z = |5',

p ^ aq =L |3.

Donc, en raisonnant comme pour l'autre caractéristique, les deux quantités |3 et |3' sont fonctions Time de l'autre, et la seconde équation aux différences du premier ordre de la surface est

{h) X -h a/ + (/? H- oxf)z = -^ip -f- aq).

La marche que nous venons de suivre pour parvenir de Téquation en différences secondes aux deux équations en différences premières, est une véritable intégration; nous avons taché d'en rendre le procédé clair par la géométrie.

Les deux intégrales premières (a) , {b) sont, chacune en particulier, d'une forme que l'on sait traiter; mais, parce qu'elles appartiennent toutes deux à la même sur&ce, elles se prêtent un secours mutuel

pour leur intégration, comme nous allons l'exposer d'ime manière générale.

Si Ton avait, entre les cinq quantités x^y^z^p^q^ une troisième équation qui appartînt encore à la même surface , et qui fut obtenue par une autre considération , l'intégrale finie serait le résultat de l'élimination de petdeq entre ces trois équations. Or on a

(Iz =. pdx -h- qdy^

qui résulte de la définition des quantités/? et ry. 11 ne s'agit donc que de l'intégrer pour avoir cette troisième équation. Si p et q étaient constantes, l'intégrale de

dz = pdx -f- qcly serait

z=px -h qy -h A,

dans laquelle A serait une constante arbitraire absolue; mais,/? et q étant toutes deux variables, il faut : i^ que A soit ime fonction arbitraire des deux quantités/? et q , qu'on a regardées comme constantes dans l'intégration; 2° que cette fonction soit telle, que les différentielles de l'intégrale, prises en regardant successivement p et q comme seules variables, soient satisfaites; ainsi, en représentant par TT la fonction arbitraire de/>^, </, on aura les trois équations

(r) z =px -\- qy~ 7r[p,q),

<|ui appartiennent, en général, à toutes les surfaces courbes. Pour <|u'elles appartiennent seulement aux surfaces que nous considérons, il faut que la fonction tt soit telle, que les cinq équations (a), (è), (c), (d)^ {e) puissent avoir lieu en même temps, ou qu'en éli-

minant entre elles les trois coordonnées 00^ f^ z^ les deux équations résultantes en p^ q^Tr^Tr'^Tr" soient satisfaites. De ces deux équations résultantes on tirera les valeurs de tt', it'^ en petq^ en les substituant dans

dir = ir'dp -j- 7r"dq\

on aura, entre les trois variables/?, ^, tt, une équation aux différences ordinaires, qui tiendra lieu des deux résultantes, et, par conséquent, de deux quelconques des cinq équations (a), (ft), (r), {d) , (e). Cette équation appartiendra toujours à une surface courbe, r'est-à-dire pourra toujoiu^ être rendue intégrable par un facteur, lorsque (a) et (è) appartiendront elles-mêmes à une même surlace court>e; ce qui a lieu dans le cas présent, puisque (a) et (i) sont les deux intégrales premières d'une même équation aux différencies secondes.

L'intégrale de cette équation donnera e\\ p et q la forme <le la fonction tt, que l'on substituera dans trois quelconques des équations (a), (è), (e), (rf), (e), par exemple dans les trois dernières; et r intégrale finie de l'équation aux différences partielles secondes sera le résultat de l'élimination de deux indéterminées p eXq entre ces trois équations.

Nous allons appliquer ce procédé au cas présent.

Pour abréger, nous représenterons par les lettres simples a et ,^5 les quantités qui sont sous les fonctions, ce qui donnera

H- aq

puis, éliminant x^y^ z entre les cinq équations (a), (è), (c), (rf), (e), on aura les deux résultantes

desquelles on tirera les valeurs suivantes de tt' et tt" :

(i -+- a' -h iS^)7r'^= a(37r — «4(3 — [i -^p^ -H a/?y](pa,

qui, étant substituées dans chr = tt' dp-^-Tr" dq^ et mettant pour dp et dq leurs valeurs en et, p, rfa, fl?|3, donnent, pour équations aux différences ordinaires,

Le premier membre de cette équation est une différentielle exacte; dans le second, les variables sont séparées, en sorte que, si les fonctions (p et 4 étaient déterminées et données, l'intégration de ce membre ne dépendrait que des quadratures; mais, dans le cas présent, où les fonctions ^ et 4 sont arbitraires, le second membre doit être regardé comme composé des différentielles de deux autres fonctions arbitraires, Tune de d et T autre de (5. Représentant donc ces nouvelles fonctions par d'autres caractères * et ^, dont le dernier même exprime ce que devient la fonction quand on a fait disparaître le dénominateur de l'intégrale, cette intégrale sera

7r = cl)a.v/(i + a' -r- f') + H'-^;

remettant pour a et ^ les quantités qu'elles représentent, et substituant ensuite pour tt sa valeur dans les trois équations (c) , (rf) , (e) ,

puis, éliminant a;, j, z entre les cinq équations (a), (è), (c), (rf), (c), on aura les deux résultantes

(lescjuelles on tirera les valeurs suivantes de tt' et tt'^ :

(I + r/' -h |S')7r"= cr/57r — r/4p — [i +//' H~ «/?</](?«,

qui, étant substituées dans cfor = tt'^h- Tr'V/ry , et mettant pour dp et ^/y leurs valeurs en a, |3, ^/a, r/^, donnent, pour équations aux différences ordinaires,

(iH-a-H-jS»)j7r — /SttJjS ç-arfa i|/jSrf,

fiC premier membre de cette équation est ime différentielle exacte ; dans le second, les variables sont séparées, en sorte que, si les fonctions (p et 4 étaient déterminées et données, l'intégration de ce membre ne dépendrait que des quadratures; mais, dans le cas présent, où les fonctions (p et 4 sont arbitraires, le second membre doit être regardé comme composé des différentielles de deux autres fonctions arbitraires, Tune de a et Tautre de |S. Représentant donc ces nouvelles fonctions par d'autres caractères * et ^, dont le dei'nier même exprime ce que devient la fonction quand on a fait disparaître le dénominateur de l'intégrale, cette intégrale sera

7r = ci)a.v/(~i -i- a- -f- fi') + *'|S;

remettant pour ol et |^> les quantités qu'elles représentent, et substituant ensuite pour tt sa valeur dans les trois équations (e) , (e/) , (e) ,

Donc on aura, en x\ y\z\ l'équation de la surface qui est le lieu de la suite des normales menées par les points de la même caractéristique, en éliminant entre ces quatre équations trois des cinq quantités x^ j, z,/?, q. Mais, si Ton élimine trois de ces quantités, les deux autres disparaissent, et Ton a

x' -\-ay -+- ^z' = 4p,

dans laquelle (3, qui est constante pour ime même caractéristique, est aussi constante pour la même surface des normales. Donc cette dernière surface est plane; donc la seconde caractéristique est l'autre ligne de courbure de la surface, ligne qui, comme la première, est une courbe plane, mais qui n'est pas, comme elle, dans un plan constamment parallèle à lui-même.

Connaissant l'équation des surfaces développables normales, relatives à la seconde courbure, il sera facile d'avoir celle de la surface des centres de la première courbure. En effet, cette sur&ce des centres, étant touchée par toutes les surfaces développables normales de la seconde suite, peut être regardée comme leur enveloppe; et son équation sera le résultat de l'élimination de ^ entre l'équation

x' 4- ay 4- (3z' = 4P

des surfaces développables normales, et

qui est sa différentielle, prise en regardant ^ comme seule variable. Or l'élimination dont il s'agit est praticable, quoique la fonction 4 soit arbitraire, car la seconde de ces équations exprime que |3 est une fonction arbitraire de z \ et, en substituant cette valeur dans la première, on aura un résultat composé, d'ime manière arbitraire, des deux quantités z' et x' -f- aj'. Donc, représentant par V une nouvelle fonction arbitraire, l'équation de la surface des centres de

la première courbure sera

z' = ^^(.r'-f- ay').

Donc cette surÊice eft celle d'un cylindre à base quelconque, et dont la droite génératrice est constamment perpendiculaire au plan donné.

On ne peut pas, de la même manière, éliminer a la fois .r, y, r., />, q entre les équations de la normale

.r — x' -\- [z — z)p = o, jr—X' -h (s — s') 7 = 0,

et les deux équations

r — ax = (pa, ap~q __

de la ligne de première courbure; en sorte que l'équation de la surface développable de la nonnale

' — rtx'n- et(z — ^0 v/' ~^ P^ ~^ H^ = ^^^

(|ue Ton trouve par l'élimination des x et j, n'est pas entièrement indépendante du point de la surface et du plan tangent en ce point. Mais, si x\y\ z sont les coordonnées du centre de courbure, la

quantité {z — z')y i -h/?"^ -f- //* est l'expression du rayon de courbure que nous avons représenté par R ; on aura donc

y' — ax' "f- ctR = ^a,

pourvu que les coordonnées a:' , jy' soient déterminées à être celles du centre de courbure. Or cette condition aura lieu si les coordonnées et le rayon R ne changent [)as de grandeur quand a variera , c'est-à-dire quand on passera d'une surface développable normale

à la suivante; et alors le rayon R sera celui de la seconde couAure. Il faut donc différentier cette équation en regardant a comme seule variable, ce qui donnera

R = (p'et ;

et, éliminante, on aura, entre a?', j' et R, une relation indépendante du point que Ton considèi;;e sur la surface courbe. Quoique la fonction (p soit arbitraire, l'élimination de a est praticable; et, en représentant par 4> ime nouvelle fonction arbitraire, on aura

donc le rayon de la seconde courbure est l'ordonnée, dans le sens des z, d'une autre surface cylindrique à base quelconque, et dont la droite génératrice est en même temps parallèle et au plan donné et à celui des x^ y.

Les lignes de la première courbure étant dans des plans parallèles entre eux, et la surface des centres de cette courbure étant cylindrique et perpendiculaire à ces plans, il s'ensuit que le plan de chaque ligne de la première courbure coupe la surface cylindrique des centres dans une courbe dont cette ligne de courbure est une développante. Si donc on conçoit une nouvelle surfece cylindrique parallèle à celle des centres, et dont la base serait une développante de celle de la surface des centres, son équation en x\ y\ z' sera

F étant une fonction dérivée de ¥ , et qui pourra être prise arbitrairement si, désormais, on ne considère plus la fonction y; et chaque ligne de la première courbure aura tous ses points à la même distance de cette nouvelle surface. De plus, cette distance constante pour chaque ligne de la première courbure, et variable d'une di ces lignes à une autre, est constante et variable en même temps qu

le rayon R de la seconde courbure ; elle est donc fonction de ce rayon, et son expression sera

la fonction y, dérivée de *, pouvant elle-même être prise arbitrairement si l'on cesse de considérer <t>.

Actuellement, si l'on conçoit qu'une sphère variable de rayon, roulant sur la surface cylindrique dont l'équation est

en touche successivement tous les points, et que, dans chaque position, son rayon soit égal à l'ordonnée z' de la surface cylindrique dont l'équation est

il est évident que la surface courbe parcourue par le centre sera la surface demandée. Or, x^y^z étant les coordonnées du centre, Inéquation de la surface de la sphère mobile est

{x-x'Y -^{y-y'f + [z-¥{x' -^ay')Y = \f{y' - ax'SY-

donc, en représentant cette équation par M = o, l'équation de la surface demandée sera le résultat de l'élimination des deux indéterminées x\ y entre les trois suivantes :

résultat qui présente la génération de la surface d'une manière plus Êicile que celui auquel nous avons été conduits par l'intégration directe.

D'après T article précédent, si Ton prend deux surfaces cylindriques à bases quelconques et parallèles au plan des x^y^ mais telles que la droite génératrice de la première soit perpendiculaire au plan donné, et que celle de la seconde soit parallèle au même plan; puis, si par un point pris à volonté sur le plan des x, jy, on mène une ordonnée z indéfinie; enfin, si sur cette ordonnée on prend un point dont la distance à la première surface cylindrique soit égale à Tordonnée correspondante z de la seconde, ce point sera dans la surface demandée.

Il suit de là que : Si sur un cylindre a base quelconque, et dont la droite génératrice soit perpendiculaire au plan donné, on pousse une moulure dun profil quelconque, mais constant, et qui ceigne le cylindre parallèlement a sa hase, la surface de cette moulure sera la surfcœe générale demandée.

n est de même évident que si une surface de révolution quel- <'onque, constante de figure, et dont Taxe soit toujours perpendiculaire au plan donné, se meut sans changer de distance à ce plan, et de manière que son axe engendre une surface cylindrique à base quelconque, l'enveloppe simple de l'espace parcouru par cette surface mobile sera encore la surface générale demandée. Cette dernière génération, qui ne produit qu'une enveloppe simple, conduit à une intégrale qui peut être représentée par deux équations seulement, entre lesquelles on doit éliminer une arbitraire; mais c'en est assez pour cet objet.

Nous avons vu que la ligne de la seconde courbure de la surface est dans un plan dont l'équation est

a*' -h ay' -h fnz' = 4l5,

dans laquelle |3 est une constante arbitraire qui reçoit différentes valeurs pour les différentes lignes de courbure. Or, si Ton compare ve plan au plan donné, dont l'équation est

ax — y = o,

on verra qu'il lui est toujours perpendiculaire, quelles que soient et la valeur de |3 et la forme de la fonction 4 ; car la sonune des produits des coefficients de .r, des coefficients de j et de ceux de z, dans ces deux équations, est égale à o. Donc la surface a deux propriétés inséparables, et par chacune desquelles elle pouvait être également définie: i** d'avoir toutes les lignes d'une des courbures dans des plans parallèles à un plan donné ; 2** d'avoir toutes celles de l'autre courbure dans des plans perpendiculaires au même plan. Les surfaces de révolution, qui sont un cas particulier de celle-ci, en fournissent un exemple sensible.

Pour toutes les surfaces que nous avions considérées jusqu'à présent , et dont les équations intégrales contenaient deux fonctions arbitraires , la quantité qui , dans chaque équation , se trouvait sous les deux fonctions était la même, soit qu'elle fut déterminée en j:, y-j z, soit que ce fût une indéterminée a, dont la valeur était indifférente, et qui devait disparaître par l'élimination. C'était à cette circonstance que tenait la facilité que nous avons eue de les construire et de déterminer les formes des fonctions pour que la surface individuelle passât par deux courbes données ou enveloppât deux surfaces données. Pour la surface dont nous nous occupons ici, les quantités qui sont sous les fonctions sont différentes: sous l'une, c'est or'H-aj'; sous l'autre, c'est j' — ax'. Cette circonstance Élit que la surface n'est déterminée, par la connaissance des deux courbes qu'elle renferme, que quand ce sont certaines courl)es

particulières: par exemple, la surface actuelle est déterminée si Ton connaît le profil de la moulure et la courbure que parcourt un des points de ce profil , parce que ces deux courbes sont les deux lignes de courbure d'im même point de la surface, et, dans ce cas, la construction est très-facile. Mais, si l'on donnait deux courbes arbitraires par lesquelles la surface dût passer, cette surface ne serait pas déterminée, et la détermination des fonctions dépendrait du calcul général des équations aux différences finies, qui introduirait de nouvelles arbitraires, et dont nous ne nous occupons pas encore.

Pour le cas général dans lequel le plan donné aurait une position

quelconque, les raisonnements seront absolument les mêmes; nous

nous contenterons d'en indiquer ici les résultats d'une manière

rapide. Soit

Ao; H- Et)^ H- Cz = o

l'équation donnée du plan mené par l'origine, et auquel doit être parallèle celui dans lequel se trouve la ligne de courbure; l'équation de c^ dernier plan sera

Ad: -f- Bj H- Cjs = fit,

dans laquelle <x sera constante pour chaque ligne de courbure, et, en difïërentiant, on aura

(A -f- G/7) di^{B-h Cg) dy = o.

Substituant la valeur de ^ que donne cette équation dans l'équation (E) des lignes de courbure, et faisant, pour abréger,

(B -f- Cq)pq (A + G/7) (i 4- y ^ ) = M, (A + G/7)/75r-(B + Gy)(i+/.^)=N,

— ^77 — l'équation aux différences partielles secondes de la surface sera

[{B^Cq)r—{A-^Cp)s]M-h[{B-hCq)s—{A-i-Gp)t]l^ = o.

Si Ton difFérentie cette équation en regardant r, s^ t comme seules variables, on aura

et, substituant ces valeurs dans T équation générale des caractéristiques pour le second ordre, on aura

qui, ayant deux facteurs, indique que la surface a deux caractéristiques dépendantes , et dont les équations séparées sont

( B -+- C 7 ) 6// + ( A + C)y ) rfa* = o ,

Mdy — Nf/j? = o.

Employant la première caractéristique, dont l'équation peut être mise sous cette autre forme

hdœ -h Brf^ -h Cdz = o,

on voit d'abord que cette courbe n'est autre chose que la ligne de courbure elle-même, qui doit être dans \m plan parallèle au plan

donné; chassant ensuite . ^^ de l'équation aux différences secondes, et remettant pour r, s, t leurs valeurs, on trouve, pour seconde équation de cette première caractéristique,

Mdp + Ndrj = o,

Pour obtenir l'intégrale en quantités finies, nous ferons, pour abréger,

A/; H- By — C V'i +p^ + (/'

A/? -h Bry — G = y,

et les deux intégrales premières deviendront

(a) A.r 4- Bj -f- Gz = (pa,

(h) (B -f- C(7) (a; + pz) - (A + G/?) ( j H- çz) = (A + G/?) 4,3.

Substituant, dans ces deux équations, pour x, y, z leurs valeurs prises dans (c), (rf), (c) (§XVII), on aura les deux résultantes

{qy — Bk') 7f' — {py — M') ir" = (A7 — Byo) tt + (A -h G/?) ^fs, (A -h G/>)7r'+(B + Gry)7r"=G7r — (p*,

desquelles on tirera les valeurs suivantes de tt' et -n" :

[y* — (A^" H- B* 4-G^)Â-='] tt' = [A7 — (A" H- B^- H- G^)p] tt

- (/^7— AX'») ?« H- (A -h G/^) (B + Cq) -4,3,

(7' — (A-' -hB* 4-G*) A^j9r"= [By — (A* + B= + G') 9J TT

- (r/7— BA") (p« — (A -h G/?)=' 4P,

«jiii, substituées dans âyr = yr'dp -\- 7r"dq, donneront

|y'^(A='-f-B»-hG-)A--Jrf7r — 7r.[7f/y— (A^-hB'-hG*)/;-^-]

<pa..{ykdk — Pdy) + {k^Cp)'\{-i[{B-^rOq)dp — {k-^Cp)dq\,

(•(iiiutioii aux différences ordinaires qui, divisée par

[V— (A='4-B-'-hG*)A-*f,

Si Ton voulait trouver en x\ y' ^ z l'équation de la surface qui est le lieu des normales menées par tous les points de la seconde caractéristique, il faudrait éliminer trois des cinq quantités .r, j^, z, p^ q enti'e les quatre équations

B+ (>/ =(3(A-i-C/;), ^{x^pz) — {y-^qz) =4/3,

dont les deux premières sont celles de la normale, et les deux autres celles de la caractéristique. Or il arrive que, par cette élimination, les cinq quantités disparaissent; on a donc, pour équation de la surface des normales,

(^ui, parce que |3 est constante pour la même caractéristique, est i^elle d'un plan. Donc la seconde caractéristique est elle-même la lijçne de la seconde courbure, ligne qui est plane, comme la première, mais dont le plan est constamment perpendiculaire au plan donné.

Ayant l'équation de la surface développable normale, dans la- (juelle (3 est un arbitraire qui particularise la surface individuelle, on aura facilement celle de la surface des centres de l'autre courbm^e; car cette surface des centres est l'enveloppe de la surface normale considérée comme mobile. On aura donc son équation en éliminant ^ de l'équation de la surface normale, au moyen de sa différentielle prise en rejçardant |3 conmie seule variable, c'est-à-dire

— i83 — en éliminant ,3 entre les deux équations suivantes :

OU, ce qui revient au même, entre les deux suivantes :

Or cette élimination est praticable, quoique la fonction -\. soit arbitraire, car il résulte de ces deux équations que leurs premiers membres sont fonctions arbitraires l'un de l'autre; donc, ^ représentant L:Mne nouvelle fonction arbitraire, l'équation de la surface des centres e la première courbure sera

G/B::'=y(Gr' — Az'),

ni est celle d'une surface cylindrique à base quelconque, et dont la oite génératrice est constamment perpendiculaire au plan donné. Si l'on voulait trouver de même l'équation de la surface dévelople normale correspondante à la première ligne de courbure, on pourrait pas éliminer en même temps les cinq quantités «r, j*, z, q des quatre équations suivantes , qui sont celles de la normale et les de la première ligne de courbure :

Aa?H-Bj H- Cz = (pa,

Ap + B(f — C yji+p^ + q^

^ *^udrait y joindre encore la suivante :

{z — z') y/T+T^TV = R»

qui donne l'expression du rayon de courbure, et alors on aurait

Ao:' -h By' H- Cjs' = (Pût 4- ttR,

dans laquelle a est constante pour la même surface normale, et qui, pour un point quelconque de cette surface, exprime le rapport entre les trois coordonnées x\y\ z\ et la distance R de ce point à celui de la surface courbe. Mais, si Ton difïérentie cette équation en regardant A comme seule variable, ce qui donne

(p'rt -f- R = o,

on ne considère plus sur la surlace normale que son intersection avec la surface normale consécutive, intersection qui se trouve entièrement sur la surface des centres de la seconde courbure. Donc, si Ton élimine a, ce qui donne

R = <D(A.r'-|- B/ 4-Cz'),

dans laquelle 4> indique une nouvelle fonction arbitraire, on aura l'expression du rayon de la seconde courbure en coordonnées du centre de cette courbure , et ce rayon sera constant lorsque la distaiice du centre au plan sera constante.

Raisonnant ici comme dans le premier cas, on verra que si, après avoir conçu une surface cylindrique parallèle à celle des centres de la f)remière courbure, et qui aurait pour base la développante de la base de cette dernière, on suppose qu'ime sphère variable de ravon roule sur cette surface de manière à en toucher successivement tous les points, et que le rayon de la sphère soit constant lorsque la distance du point de contact au plan donné est constante, le centre de la sphère mobile parcourra la surface demandée. Ainsi la surface du cas général ne diffère de celle du cas particulier que par sa position .

(^ette dernière génération peut facilement s'écrire en analyse. En

eflfet, l'équation de la surface cylindrique développante de celle des centres de la première courbure est

C/ — Bz' = F(C.r' — As'),

dans laquelle la fonction F, dérivée de la fonction V, peut elle-niêine être regardée comme arbitraire, si Ton cesse de considérer W. En représentant par a:, j, z les coordonnées du centre, l'équation de la sur&ce de la sphère mobile est

(X - x7 H- ix-yy -h{z-zy = [/{Ax' + b>-' -h cz')Y ,

dans laquelle le rayon est une fonction arbitraire/' de la distance du point de contact au plan donné. Donc, si l'on représente ces deux équations, la première par M = o, et la seconde par N = o, l'équation intégrale de la surface générale est le résultat de l'élimination

des cinq quantités x\ j', z', ( ^ j > ( 5"^ ) ' ^^^^ '^^ ^^^ équations suivantes :

Ces six équations peuvent toujours être réduites à trois; car i ^ les

^eux quantités ( -A U ( ^, ) ne se trouvant pas sous les fonctions

arbitraires, leur élimination actuelle peut toujours s'opérer, ce qui ^*éduit à quatre le nombre des équations; 2** si l'on égale à de nou- "v^elles indéterminées w, i^ les deux quantités qui sont sous les fonctions arbitraires, on aura six équations, entre lesquelles on pourra éliminer actuellement les trois quantités ^s j, z, qui ne se trouveront plus sous les fonctions arbitraires, et cette élimination réduira à trois

le nombre des équations, entre lesquelles il faudra éliminer les deux indéterminées w et i^; ce qui ne pourra avoir lieu que quand on aura déterminé les formes des fonctions arbitraires.