DE LA SURFACE DONT UN DES RAYONS DE COURBURE EST CONSTANT

Nous avons vu qu'une surface courbe avait, pour chacun de ses j)oints, deux rayons de courbure. Ces deux rayons, pour le même point, ont entre eux une relation différente, suivant la génération de la surface. Nous nous proposons de trouver les équations, tant aux différences partielles qu'en quantités finies, de la surface pour laquelle un de ses rayons est constant et égal à a, et ensuite de décrire la génération de cette surface .

[^'expression des rayons de courbure étant donnée par l'équation du second degré

^^(rt^s')+K\Ji+p'+q'y '^^ \' | + (,+^*^ + ,^-^)^=o,

si le rayon d'une des courbures doit être constant et égal à a, on aura l'équation aux différences partielles secondes de la surface en faisant R = ^ dans l'équation précédente, ce qui donne

substituant pour R , S, T les quantités qu'elles représentent, on aura

//r «' — apqdp--a(i+p^)d£

ce qui donne, en intégrant,

Nous avons de même

dr = V'dp H- r^c^y,

ou, en substituant pour r' et r" leurs valeurs,

^P — apdp — aqdq ^

dont l'intégrale est

Donc, mettant pour r, r', r" leurs valeurs dans les formules des

§§xmetxiv,

ap aq % a

Vi4-/?'+9' Vi+;?-+9' sji+p^+q^

cl' OÙ, éliminant a, les équations aux différences partielles du premier ordre seront deux quelconques des trois suivantes :

ap / a \

r-h ^ -^^ =4(z- ^ "" \ Vi + p' + 9' \ Vi+/»' + 9V

VH-/'.' + ^ \ Vi,+ p' + 7V

dont tuie est la suite nécessaire des deux autres.

Si, au lieu d'éliminer a, (mi élimine p et 9, on aura pour équation de l'enveloppée

{x — ^aY + (jr — 4*)^ + (z — ay = a^

Doilc la surface demandée est l'enveloppe de l'espace parcouru par une sphère dont le rayon constant est égal à a, et dont le centre se meut le long d'une courbe à double courbure arbitraire dans ses deux projections, les équations de cette courbe étant représentées par

Donc enfm l'équation de la surface en quantités finies est le résultat de l'élimination de et entre l'équation de la sphère mobile et la suivante:

{x — (pa) (p'd H- ( J — 4*) 4'* "^ ^ — a = O, qui est sa différentielle prise en regardant et comme seule variable.

lia dernière équation, qui est une de celles de la caractéristique de la surface, appartient aussi à un plan normal à la courbe à double courbure arbitraire, et qui passe par le centre de la sphère; ainsi la caractéristique est l'intersection de ce plan par la surface même de la sphère, â( ayant la même valeur pour l'un et pour l'autre. Donc la surËice demandée peut aussi être regardée comme engendrée par le mouvement de la circonférence d'un cercle constant de rayon, et qui se jneut de manière que son plan soit constamment normal à la courbé arbitraire que parcourt le centre.

Enfin, si Ton conçoit qu'un cercle d'un rayon égal à a, étant tracé sur un plan, ce plan se meuve en s' enveloppant sur une surface

— igo —

développable arbitraire, ou, «e qui rç vient au même, en roulant autour de deux surfaces courbes arbitraires, la circonférence du cercle engendrera encore la surface demandée, car nous ayons vu que, dans Tim et l'autre cas, le plan mobile est toujours normal aux courbes parcourues par chacuji^ de ses points.

Il suit de ce qui précède que, si Ton avait une équation aux différences partielles du premier ordre composée, d'une manière quelconque, des trois quantités

ap aq a

de manière qu'en représentant ces quantités respectivement par L,

M, N, on eût

l'intégrale de cette équation serait le résultat de l'élimination d'une des deux fonctions arbitraires (p ou 4 ? et de l'indéterminée et entre les trois équations

{x — (p(ty -h (j — -^eiy -h (z — olY = o,

{x — (pa)(p'a-h(j — 4*) 4'*"+' ^ — * = O^

F(^a, '^Uj a) = o,

qui, parce que l'élimination actuelle d'une des deux fonctions est toujours praticable, peuvent toujours être réduites à deux autres, entre lesquelles il faudra éliminer a.

Si l'on n'eût pas reconnu que l'équation aux différences secondes était contenue dans celle que nous avons traitée §§ XIII et XIV, oi aurait pu l'intégrer par la recherche de sa caractéristique. En effet

Êice, l'autre a aussi lieu pour lès mêmes ^points. Donc elles équivalent aux équations des deux projections de la caractéristique. Tirant de ces deux équations et de dz =pdx -t- qdy les valeurs de dx^ dfj dzj on trouvera

qui équivaudront aux équations des trois projections de la caractéristique. Or ces équations sont toutes intégrables, et elles ont pour intégrales

yji + p* + q* y/i + p» + ç* yji + p*+^*

dans lesquelles les arbitraires y, p, a sont toutes trois constantes pour la même caractéristique, et changent toutes trois de valeur pour des caractéristiques différentes ; donc deux quelconques d'entre elles sont fonctions de la troisième, et l'on aura

y = (pit, ^ = 4*»

ce qui donne le même résultat que par l'autre méthode.

Ce dernier procédé nous fournit le moyen de reconnaître que la caractéristique est une des lignes de courbure de la sur&ce. En effet, si, après avoir mis les équations qui donnent les valeurs de

R', S', T' sous la forme suivante:

R'- a't =a(i+ry^)y/i ^ p~-^\

S' -h ^a^s = — 2apq ^i -\- p' -+- ^% T'— aV =rt(i-h/?^)y/i -\-p' + </%

on multiplie la première par dy [rdx -h sdy)^ la deuxième par tdy^ — rdx'^ et la troisième par — dx [sdx H- tdy)^ et en représentant par H = o l'équation générale (E) des lignes de courbure, on trouve

(aR'rfr — SV^) dp — {2Tdx — S'djr) dq = 'laH y i+^^fT^.

Or nous avons vu que, pour la caractéristique, on a

2R'rfr — S'dx = o, aTdx — SVj = o;

donc on aura aussi

Ainsi , la caractéristique de la surface est la ligne de courbure pour laquelle le rayon de courbure est constant. Il est facile, d'après cela , de reconnaître que les lignes de l'autre courbure sont celles qui sont parcourues par les points de la circonférence du cercle ' générateur, et qui ont toutes les mêmes plans normaux que celle cjui est parcourue par le centre.

Dans cette surface, les lignes des deux courbures sont donc distinctes et ont des équations séparées, puisque l'une d'elles est toujours un cercle d'un rayon constant et égal à a. Il en est de même pour les surfaces des centres des deux courbures, et il est évident que Tune de ces surfaces se réduit à la courbe même parcourue par le centre. Pour la surface cylindrique à base circulaire, qui est im cas particulier de celle dont nous venons de nous occuper, une des deux surfaces des centres de courbure se réduit à une ligne droite,

qui est Taxe du cylindre.

TjCS deux fonctions arbitraires que renferment les équations intégrales

(J ) {x — (pa)' -I- ( j — 4*)*" + (- — a)^= or y

(K) (x — (pa)(p'aH-(v — 4^)4'*"+" ^ — * "= ^

«•tant (*oniposées de la même quantité a, il est facile, par la méthode générale que nous avons ex]iosée en traitant des surfaces développaliles, de détei^miner les formes de ces fonctions de manière que la surfilée passe [)ar deux courbes à double courbure données arbitrair(»ment. Mais, dans ce cas particulier, cette méthode présente un(î rée,ij)rocité singulière que nous devons faire remarquer.

Kn effet, lorsque la sphère enveloppée se meut de manière que sa surface touche toujours les deux courbes arbitraires données, son iunitre reste toujours à la distiince égale à a de chacune d'elles ; il parcourt donc une courbe qui est l'intersection de deux autres sur- ÉK^es de même génération, et dont Time serait F enveloppe de la même sphère si le centre parcourait la première courbe donnée, et dont l'autre serait l'enveloppe de la sphère si le centre parcourait l'autre courbe. Ainsi, en supposant que les équations données des deux <u)urbes soient .t* = Fz et j = Fz pour la première, a: = f^ et y /'z j)our la seconde, la détermination des fonctions arbitraires ç et 4 pi'Mt êtr(^ prescrite par le formulaire suivant:

A la place <les formes arbitraires des fonctions (p et 4 dans les <'*quali(MiH (,!), (K), on substituera les formes connues F, ^relatives il lu piMMuièn» courbe, et l'on éliminera a, ce qui donnera une preinièrr n|uati()n résultante en ^, jr^ z.

he inriiM*, à la |)lace des fonctions ^et 4? on substituera les foncliiMiri niiniucH f, /'relatives à la seconde courbe, et l'on éliminera a, rr qui donuei*a une seconde équation résultante en x, y, z.

Des deiix résultats on tirera les valeurs de x et j eu ;3, et ces valeurs u?=: (pc, y = '>lz donneront en z les formes des deux fonctions demandées (p et *>/,.