Statuendo x = r cos (f^j = r sin y , fit

z = ~ (Tcosy* -f- V siny*)r/' -j- îl,

unde colligitur, si sectio fiât per planum superficiel in A normale et cum axe ipsarum x angulum (p officiens, oriri curvam planam, cujus radius curvalunT in puncto A sit

Tcosy' -h Vsin^'

4. Quoties itaque habetur T = V, radii curvaturae in cunctis planis normalibus aequalcs crunt. Si vero T et V sunt inaequales , manifestum est, quum Tcos^' 4- Vsiny' pro quovis valore anguli y cadat inlra T et V, radios eurvaturae in sectionibus principal] bus, in i et 2 consideratis , referri ad curvaturas cxtremas, puta alterum ad curvaturam maximam, alterum ad minimam , si T et V eodem signo affecta; sint 5 contra alterum ad maximam convcxitatem , alterum ad maximam concavitatem , si T et V signis oppositis gaudeant. Hae conclusiones omnia fere continent quœ ill. Euler de curva tura supcrficicrum curvarum primus docuit.

o. Mensura curvatur<B superficiei curva; in puncto A autem nanciscitiir exprcssioncm simplicissimam ^ = TV, unde liabemus :

Theorema. Mensura cwvaturœ in quo\^is superficiei puncto œqualis est Jractioni, cujus numerator unitasj rlcnoniinator autem productuni duoinm radiorum cutvaturœ extremorum in sectionibus per plan a nonnalia.

Simul patet, mensuram curvaturje fieri positivam pro superficiebus concavoconcavis vel convexo-convexis (quod discrimcn non est essentiale), negativam vero pro concavo-convexis. Si superficies constat e partibus utriusque generis, in earum confiniis mensura curvatura; evanescens esse dt»bebit. De indole superficicrum curvarum talium, in quibus mensura curvatunc ubique evanesoit, infra pluribus agetur.

^iiS —

I^'orniula gcneralis promciisuru curvatiinc in liiic art. Vil pi-oposita, oiniiiiiin sinipli<'issiiiia est , ({iiipjK' qucT ([uiii(|ue taiitum clomenta îniplirat; ad magîs coraplicatam, silicot iiovein elonu^nta îiivolveiitem. defcrîmur. si adhihere volunius moduni priinum indolnm supcTfîd(M curvœ exprimendi. Retîiiendo iiotationrs art. IV, insiip<*r statiu'iuns

d.r d> ■' ^ dz-

itu iil fini

^Id W ^ |3„ ddW ___ ildV^ ^„

dv dz ' dx dz ^ ' d.r dr

f/V ^ PV/r -t- R'V/> -f- g'V/a.

^/Q -^ IV'ffx -t- Q'tly ^ P" r/r.

Jam quuiu habeatur / = — -, inveiiimiis prr dincrentialioiM-ni

KRr// = — RrfP + P^/R = (PQ"— RP')rf.r -^ (PP"- RR")^/) -l-(PR' — RQ")r/5,

sivt;, eliminata r/z adjiunento îequatîonis Vflx -l-Qtfy + R</2 = o,

ll>,/, = ( RRP' + 2 PRQ" — PPR')</2

-t- (PRP"h-QRQ"— PQR' — RRR")//r.

Pix>rsus simili modo obtiuemus

RVm = (PRP" 4- QRQ" — PQR' — RRR")^.r -I- (— RRQ' ■+- 2 QRP" - QQRVj

Hiiu' itaque colligimus

R' T = — RRP' -f- 2 PRQ" — PPR'.

R ' L = PRP" -f- QRQ" — PQR' — RRR ",

R» \ = — RRQ' -h 2 QRP" — QQR'.

Subsiitueiido hos valorcs in formula art. VII. obtiuemus pro mensura cui^a-

Porro drdurimus , ex dx = arlp -^ «'^7? ^) = l^^Ç -+- AV/47.

Cfip = h'dx — a' (h .

Ctlq = — bfix -h a (/y.

Hinc ol>tiiu*mus difTiTentialia compléta jpsanun t . u.

CV/// = ( B ^ - C ^ ) (AW.r — a'rl) ) -i- ( C^^ — B '^ 1 (ir/.i - ady ). Jam si in his formulls substituîmus

'^ = c'fi' -f- Av" — c^" — b'y'.