X -\- or ^ y -\- or

Duplex area hujus trianguli exprlmetur jxîr formulam

dx . ôy — dy , dx.

et quidem in forma positiva vel negativa, prout situs lateris a puncto primo ad tertium rcspec tu lateris a puncto primo ad secundum similis, vel oppositus est situi axis eoordinatarum y respeclu axis eoordinatarum x.

Perinde si coordinatar; trium punctorum, qiiie formant projectioncm elemeiiii respondentis in superficie sphîerica, a centro sphseras inchoatœ, sunt

X + ^/X, Y-HrfY, X + d\X, Y-^'JY.

IJuplcx area hujus projcctionis uxprintctur pcr

dX.dY — dY.eX.

de cujus cxpressionis sîgno eadem valent quaî supra. Quoeirca ineiisura niivatiirac în hoc loco supcrficieî rurvcne erit

(Ix . Sjr- — (iy . 8x

Quodsi jam supponimus, iiidolcm superficiel curvae datam esse seouiidum inodum tertium în art. IV consideratum , habebunliir X et Y in forma fiiiictionum quantitatum x^ y^ unde erit

/Y \ , /dY\

Substitiitis his valorîbus, expressio praecedens transit in hanc,

**-(7Zr) V":^^) \dr) \dr)

Slatuendo ut supra

(h dZf

atque msuper.

sive

dt = Tdx -h Urfv, du = Vdx -h \dj,

habemus ex formulis supra datis

\ — —tZ, T = — mZ, (i -+-«-hMa)ZZ=:i,

atque hiuc ,

dX =:—Zdt —tdZ,

d\ =—Zdu — udZ,

(H- ^/ -h nu) dZ -h Z [tdt -h udu) = o ,

SIVP

adeoquo

dl,=^ —Z^'itr/t -h itr/u),

dX = — Z' (i -h uu)dl ■+- Z'tudu,

dY = — ZUudt. Z'(i + tt)du ,

g = Z'[-(. + u«)T + /uU], 'g = Z'[««T-(i + «)U],

^-=z»rï«u-(.+«)vj,

qiiibus valoribus in cxpressîonc prcccodeiitc subslitutis, prodît

A- = Z'(TV-UU)(. + ./-f-««) = ZMTV UU) = ^;=i^^,.

Per idoiicam clectioncm iuiui et axium coordinatarum facile effici potest, ut pro puiicto determinato A valores quaiititatum f, u, U evanescant. Scilîcet dux priorcs coiiditiones jam adimplentur, si planum tangens in hoc puncto pro piano coordinatarum ,r, y adoptatur. Quarum initium si insuper in puncto A ipso collocatur, manifesio exprcssio coordinatarum z adipiscitur formam talem

ubi n crit ordinis altioris quam sccundi. Mutando dein situm axium ipsarum X, y angulo M tali , ut liabeatur

lang2M= —

•To yo

facile pcrspicilur, prodiluram esse œquationcm liujus formœ

z='-,Txx-^\\\yj-^a,

quo pacto etiam tertiaî condîtioni satisfactuni est. Quîbus ita factis, patet : \ . Si superficies curva secetur piano ipsi normali et per axem coordina-

tarulu X traiiseunte, oriri curvam plaiiam, cujus radius curvaturac iii puiicto A fiât = —, siguo positive vcl ncgativo indîcante concavitaicm vel coiivcxitateni versus plagam cam, versus quam coordîuatœ z suiit positiva;.

2. Simili modo •— erit in puiicto A radius curvatunc curva* planœ , qua; orilur per seetiouem superficiel curva; cum piano per axes ipsarum y^ z transeunte.