A A 4- BB H- CC = EG — FF = A
Eliminemus ex aequationibus (i), (4)) (7) quanti tates jS, y, quod fit multi-
plicando illas per b& — cV^ UC — c'B, cB — iC, et addendo : ita oritur
[A(ic' — cV) 4- a (VC — c'B) -h a'(cB — iC)]a = D{bc' — cV) ^m(yC — c'B) -h n (cB — iC) ,
quam aequationem facile transformamus in hanr
AD = aA-j-«(/iF — mG)-4-rt'(mF — /lE).
Simili modo eliminatio quantitatum a , y vel a , |3 ex iisdem sequationibus suppeditat
BD = /3A^i(/iF — mG)-4-y(mF — wE),
CD = 7 A -h c (nF — mG) -h c' (mF — /lE). Multi plicando has très aequationes per a", |3", y", et addendo, obtinemus
(lo) DD"=(««"-h|3(3"-f.77")A-4-/n"(nF — mG)4-w"(mF — /lE).
Si perinde tractamus aequationes (2), (5), (8), prodit
AD' = a'AH-a(n'F — m'G)4-a'{m'F — /l'E), BD' = /3'A-hft(w'F — m'G)H-i'(m'F — w'E), CD' = /A-4-c(n'F — m'G)-hc'(/n'F — n'E),
quibus aequationibus per a', j3', y' multiplicatis , additio suppeditat
D'D'= («'«'4- ;3'|3'-+- yV ) A-h m'[n'¥ — m'G) 4- n'{m'¥— /l'E).
Combinatio hujus aequationis cum aequatione (10) produoit
DD"— D'D'=(aa"-f-/3/3"-f-77"— a'a' — i3'/3'— //)A -f- E {n'n' — nn") 4- F {nm" — 2 m' n' 4- wn") 4- G {m' m' — mm" ) .
Jam patet esse
rfE
— = am,
dE ,
dp -
dE
dq
dG , dp
dG „ dq ^'^'
sive
dF ,dl. , ,dG „ , rfG
Porro facile confirma tur haberi
^/*''-u/^/^"-u^^/'' /y' .y' /2'/5' ^f.J—^^ dn' dm'' dm'
__ , ^^E ddF , r/<^G
' r/17' dp,df/ ' d/j'
Quodsi jam bas expressiones diversas in formula pro meusura curvaturœ iii fine articuli praecedentis eruta substituîmus , pervenimus ad formulam sequentem, e solis quantitatibns E, F, G atquc earum quoiientibus differentialîbus primi et secundi ordinis concinnatam,
dF ,dF dF dF dO\
dq dp dq dp dp /
^ ' \dq dq dp dq
f(— ——— — — — — a"^^ '—— zz. z:r \
\dp dq dq dp dq dq d~ ^- ''" '''
'idp ' dp ^dp ' dq \dq ) J
Quum indefinite babeatur
dx* -h dy^ -f- dz' = Edp* -h 1 Fdp . dç -H Gdç\
palet ^Edp* -h 2Fdp .dq -hGdq^ esse expressionem generalem elementi linearis in superficie curva. Docet itaque analysis in articulo praecedente explicata , ad inveniendam mensuram curvaturse baud opus esse formulis finitis, quae coordinatas x, j", z tanquam functiones indeterminatarum p^ q exbibeant, sedsufficere expressionem generalem pro magnitudine cujusvis elementi linearis. Progrediamur ad aliquot applicationes bujus gravissimi tbeorematls.
Supponamus superficiem nostram curvam explicari posse in aliam supei^ficiem, curvam seu planam, ita ut cuivis puncto pnoris supërficiei'per coor-
dinatas x^ y^ z determinato respondeat punctum determinatum superficie! posterions, cujus coordinatae sinl x\ y\ z\ Manifesto itaque x',/', z' quoque considerari possunt tanquam functiones indeterminatarum Pt q^ unde pro
elemento sjdx'^ 4- dy'^ -f- dz'^ prodibit expressio talis
yj E'dp' -h 2 rdp . d^f 4- G'dq\
denotantibus etiam E', F', G' functiones ipsanim p^q. Ai per ipsam notionem explicatiouis superficiel in superficîem patet , elementa in utraque superficie correspondentia nccessario œqualia esse , adeoque identice fieri
formula itaque articuli prsecedentis sponte perducit ad egr^um
Theorema. Si superficies cnrva in quamcumque aliam superficiem explicatur, mensura cu/valurœ in singulis punctis irn^ariata manet.
Manifesto quoque qucev^is pars Jinita superjiciei cwvœ post expUcationem in aliam superficiem eandem cuivaturam integram retinebit.
Casum specialem, ad quem geometrœ hactenus investigationes suas restrinxerunt, sistunt superficies in planum explicabiles. Theoria nostra sponte docet , talium superficierum mensuram curvatunc in quovis puncto fieri = o , quocirca, si earum indoles secundum modum tertium exprimitur, ubique erit
ddz ddz
dx"^ dy
z ( ddz Y __
quod critérium, dudum quidem notum , pleruraquc nostro saltem judicio haud co rigore qui desiderari posset demonstratur.
Quae in ariiculo praecedente exposuimus, cohœrent cum modo peculiari superficies considerandi , sumraopere digno , qui a geometris diligenter excolatur. Scilicet qua tenus superficies consideratur non tamquam limes solidi , sed tamquarm solidum, cujus dîmensio una pro evanescente habetur, flexile quidem, scd non extensibile, qualitates superficie! partim a forma pendent, in quam illa reducta concipitur, partim absolut» sunt, atque invariatœ manent , in quamcumque formam illa fleciatur. Ad has posteriores, quarum investigado campum geometrise novum fertilcmque aperit , referendae sunt
mensura curvalurœ atquc curvatura intégra eo sensu , quo hœ expressiones a nobis accipiuntur -, porro hue pertinet doctrina de lineis brevîssimîs , pleraque alia , de quibus in posterum agere nobis reservamus. In hoc considerationis modo superfleies plana atque superficies in planum explicabilis , e. g. cylindrica, conica, etc. tamquam essentialiter ideuticae spectantur, modusque genuinus indolem superficiei ita consideratse generaliter exprimcndi semper
innititur formulas ^^dp* -h 7.¥dp .dq -\-{jdq^^ quae nexum démenti cum duabus indeterminatis p, q sistit. Sed antequam hoc argumenlum ulterius prosequamur, principia theoriae linearum brevissimarum in superficie curva data prsmittcre oportet.
Indoles linea; curvîB in spatio generaliter ita datur, ut coordinatae x, j)', z singulis illius punctis respondentes exhîbeantur in forma functionum unius variabilis, quam per w denotabimus. Longituio talis lineae a puncto initiali arbitrario usque ad punctum, cujus coordinatce sunt x^ y^ z, exprimitur per intégrale
I"" sfWFWFW
Si supponimus, situm linese curvse variationem infinité parvam pati, ita ut coordinatae singulorum punctorum accipiant variationes dx, dy^ âz , variatio totius longitudinis invenitur
*dLr . d$x -h.djr . d$^' ■+- dz . dH
>Jdx^ -\- dy^ -^ dz^
quam expressionem in hanc formam transmutamus
âx.d-;=====.-hây.d
dxJx -f- dy.fy -H dz.âz j J ^dx'-^df'-hdz' ^' yjdx^-i-dy'-^dz
dz,d —======
^dx^-^dy^-hdz^
In casu eo, ubi linea est brevissima inter puncta sua extrema, constat, ea, quae hic sub signo integrali sunt, evanescere debere. Quatenus linea esse débet in superficie data, cujus indolos exprimitur per œquationem
Pdx -\- Qdy -h ^dz = o ^
etiam variationes âx^ ijr^ dz satisfacere debent aequationi
Pdx -h Qdj-hUdz = o^
unde per principia nota facile coUigitur differentialia
v/r/x'-f-rfr'H-^z' yjdx^-^dy^-^dz" V^rM-^^M-^-
resp. quantitatibus P, Q , R proportîonalia esse debere. Jam sii é/r elementum Une» curvse, X punctum in superficie sphsrica repraesentans directionem hujus elementi , L punctum in superficie sphaerica repraesentans directionem normalis in superficiem cnrvam \ dcniquc sint \^t,^1^ coordinatae puncti A, atque X , Y, Z coordînalaR puncti L respectu centri sphaerae. Ita erit
fix = ^dr^ dy = r,dr^ dz = ^dr-^
undc colligimus différent! alia illa fieri d^^ dn ^ d^. Et quum quantitates P, Q, R proportionalcs sint ipsis X, Y, Z, character lineae brevissimae ronsistit in œquationibus
^ __ ^ __ JÇ
Ceterum facile perspicitur ^d^* -^ dr,^ -h d^* squari arculo in superficie sphaerica , qui mensurat angulum inter directiones tangentium in initio et fine
dr elementi dr^ adeoque esse = — , si |0 denotet radium curvaturae in hoc loco
curvae brevissimae; ita fiet
pd^ = Xdr^ pdr, = Yrfr, pd!^ = Zdr,
Supponamus , in superficie curva a punctodato A proficisci innumeras curvas brevissimas, quas inter se distinguemus per angulum. quem constituit singularum elemenlum primum cum elemento primo uuius ex his lineis pro prima assumptse : sit (f ille angulus , vel gcncralius functio illius anguli , nec non r longitudo talis lineac brevissimac a puncto A usque ad punctum , cujus coordinatae sunt x,^, z. Quum itaque valoribus determinatis variabilium r, ç rcspondeant puncta dcterminata superficici , coordinatae x, j^ z considerari possunt tamquam functiones ipsarum r, (p. Notationes )», L, | , xî , Ç , X, Y, Z in eadem significatione rciinebimus , in qua in articulo praecedente acceptœ fueruiii, modo indefinite ad punctum indefinitum rujuslibet linearum brevîssimarum referantur.
Lineae brevissimie omnes , quœ sunt aequalis lougitudinis /*, terminabunlur ad aliam liiieam, cujus lougitudincm ab initio arbitrarionumeratamdenotamus per i^, Considerari potcrit itaque (^ tamquam fuuctio iiideterminatarum r, 9 , et si per X' designamus punctum in superficie sphaerica rcspondens directioni elementi du^ uec non per $', yj', Ç' coordinatas hujus puncti respectu rentri sph^rae , babebimus
Hinc et ex
fi^ df df d(f dff df
dr^ ^^ dr~~^'^ dr^ ^'
sequitur
dx dx dy dr dz eiz ,,^., , ^^,. dv ^^, dv
dr df^ dr dff dr df ^^^ ^^ ' d^ do
Membrum primum hujus œquationis , quod ctiam erit functio ipsarum /*, <p, per S denotamus *, cujus difTercntîaiio secundum r suppeditat
^S diix dx ddjr dy ddz
..-mtmim
dr dr'^ dr^ dr"^ d(^ dr^ df ' dtf
dl dx dn dy -dK dz , ,rf(çç4.„n-l-ÇÇ)
dr dff dr dff dr dtf ' d(f
Sed 5Ç 4- >3>J -h Ç(^ = I , adeoque ipsius difTerentiale = o , et per ariîculum prsecedentem babcmus , si etiam hic p dénotât radium curvatura; in linea t\
^__X dn__Y r/^Z dr p dr '* dr p
Ita obtinemus
dr p ^ ^ ^ ' rt(p p rty
quoniam manifesto X^'jacet in circulo maximo, cujus polus L. Hinc itaque concludimus, S independentem esse ab /* et proin functionem soUus f . At pro
r = o, manifesto fil i^ = o, et proin eiiam— = o, nec non S = o îndepcndenter
a f . Necessario itaque generaliter esse debebit S = o, adeoque cos XX'= o, id est, XX' = 90^. Hinc colligimus :
Theouema. Ductis in superficie cwva ab eodeni puncto initiali innuineris lineis hvev^issiniis œqualis lotigitiuiinis, linea eatiirn extremitafes jungens ad ilïas siiigulas erit uormalis.
Operae pretium cssc duximus, hoc theorema e proprietate fundamentali linearum brevissimarum dcduccrc : ccterum ejus vcritas etiam absquc calculo per sequeiis ratiociuium intellîgi potest. Sint AB, AB' duae lineœ brevissimse ejusdem loiigitudinis , angulum infinité parvum ad A includentes \ supponaniusque alterulruni angulorum elcmcnti BB' cum lineis BA , B'A differre quantitate finita ab angulo recto , unde per legem conlinuitatis altcr major, aller minor erit angulo recto. Supponamus angulum ad B esse == 90° — w , capiamusque in linea BA punctum C, ita ut sit BC = BB' . coscc co : bine quum triangulum infinité parvum BB'C tamquam planum tractare liceat, erit VJ \V = BC . cos (ù , et proin
AC -+- CB' = AC -h BC . coso) = AB — BC . (1 — cosw) = AB'— BC(i— cosw),
id est, transitus a puncto A ad B' per punctum C brevior linea brevissima. Q. E. A.
Theoremati articuli pra?cedentis associamus aliud^ quod ita enunciamus ; Si in superficie cur^a concipitur linea qualiscunçue , a cujus punctis singulis projiciscantur sub angulis i^ctis et versus eandem plagam innumerœ lineœ brevissimœ œqualis longitudinis, curva, quœeat^im extremitafes altéras jungit, nias singulas sub angulis rectis secabit. Ad demonstrationcm nihil in analysi praccedente mutandum est, nisi quod y designare débet longitudiuem curvœ dalœ inde a puncto arbitrario numeratam , aut si niavis functionem bujus longitudinis \ ita omnia ratiocinia etiamnum valebunt , ca modificatioue , quod Veritas <Tquationis S = o pro r=zo nunc jam in ipsa hypothesi implicatur. Ceteruni. hoc alterum theorema generalius est pr<Tcedente, quod adeo in illo comprehondi censeri potest , dum pro linea data adoptamus circulum infinité parvum circa centrum A descriptum. Denique monemus, hic quo^e considerationes geometricas analyseos vice fungi posse, quibus tamen quum satis obvia? sint hic non immoramur.
Revertimur ad formulam ^Edp* -h 2Fdp . dq -i- Gdq*^ quae indéfini te magnitudinem elementi linearis in superficie curva exprimit, atque ante
omnia significationem geometricam coeffîcîeniiuin E, F, G examinamus. Jam îii art. V monuimus, în superficie cur\a concipi posso duo systcmata liiiearuni: alterum, iiiquibus siugulis sola /; sit variabilîs, q constans-, altcrum, in quibus sola q variabilis , p constans. Quodlibel puuctuni superficiel consîd(?rarî potest tamquam intersectio liiiese primi systenialis cum linea secundi : tuncque elementum lineœ primœ huic puucto adjacens et varia lioni dp respoiidens erit
= yE .dp^ iiec non elementum lînere secunda» respoudens variationi dq erit
= vG.r/y; denique denotando per w angulum inter liœc elementa, facile
perspicitur fieri coso) = — i^. Area aulem elemenli parallelogrammatici in
superficie curva inter duas lineas primi systematis , quibus respondent q . q -hdq^ atque duas lineas systematis secundi, quibus respondent />, p -i-dp^
erit ^ EG — FF dp . dq.
Linea (piïPcuuque in superficie curva ad neutrum illorum systematum |K*rtincns, oritur, dum /) et q concîpiunlur esse functioncs unius variabilis novaî, vel altéra illarum fuuclio altcrius. Sit s longitudo talîs curv<T ab inilio arbitrario numerata et versus direciionem utramvis pro positiva habita. Denotcmus
per 6 angulum, quem efficit elementum r/.ç = v/Erf/>* -f- 2 F dp . dq -h Gdycum linea primi systematis per initium elemcnti ducta, et quidem ne uUa ambiguitas remaneat, liunc angulum semper ab eo ramo illius lineae , in quo valores ipsius p crescunt, inchoari , et versus eam plagam positive accipi suppouemus, versus quam valores ipsius q crescunt. His ita intellectis facile perspicitur baberi
CO8 6 , ds= /Ê . dp -h ^(j . cos w . dq = — r-
sm 6 .as = \/i.7 , sin tù , dq=^ ^= -
Investigabimus nunc, quœnam sit conditio, ut h:ec linea sit brevissima. Quum ipsius longitudo s expressa sit per intégrale
s =f \ Edp' 4- 2 Vdp . dq -f- (idq^^
conditio minimi requirit, ut variatio hujus iutegralis a mutatione infinité parva traetus linea? oriiinda fiât = o. (^alculus ad propositum nostnini in lioc casu commodius absolvitur, si p tamquam functiouem ipsius q consideiamus.
Quo pacto , si variatio pcr chararicristicam d donolatur, habemus
l - . dp^ H — • (ij? . dq -H ^^'7' ) ^/? 4- (2 Er^ -t- 2 Yfifj)fiSp
