ds 2dF , . dO
ds ' J ^ \ 2ds ds
coiistatque , quaî hic sunt sub sigiio intcgrali , indcpendeiitcr a dp evanescere dcbero. I^'it i laque
dE . , ?.r/F , j r/G , , , jUdp-^Fdq
dp ' dp ' ' dp ' ds
— 1 ds , d . sJVjCo^O = — ^ — ^ ads , dO , /Ê. sin 9
[Edp-{-Ydq)dE
= (~'°-E-^)-(f''/'+?-'*î)-WËG=W.^.rf9.
Hiuc itaquc nanciscimur cequationem conditioiialcm pro linea brcvissima sequentem
, F dE j . F rfE , ,dE
v^'^G-^^''^ = U-;^^''/'^^r^-^-^îif-'^
(IF j , dG j
quam etiam ita scribere licet
F ,^ .dE, dF , ,dG
Ceteriim adjumento roquationis
û E dp
rot 0 = -- . -f- 4-
v/eG — FF ^9 v^EG — FF
ex illa «rquatione angulus ô elirainarî, atque sic «xquatio differentio-differentialis inter/? et q evolvi potest, qu.T tamen magis complicata, et ad applicationes minus utîlis evaderet . quam prîecedens.
Formulas générales, quas pro mcnsura curvaturœ et pro variatioue directionis lineœ brevissimae in art. XI, XVIII, cruîmus, multo simpliciores fiunt, si quantitates p , ff itA sunt electa;, ut lîneae primi systematîs lineas secundi systematis ubique orthogonaliter sccent , id est, ut geiieraliter habeatur o) = 90*'. sive F := o. Tune sciliret fît, pro mensura curvaturoî ,
4 EEGG K=E'-j-'----hE[-—) -hG--7-----4-G-r-
dq d(f \dp j dp dp \dfj '
p,. (ddY. ddG\ -^^^[■dir'^'di^)' «
et pro variatione anguli 6,
dq ' dp '
Inter varios casus, inquibus ha?c conditio orthogonalitatis >alet. primariuui locum tcnet is, ubi lineœ omnes altcrutrius systematis, e. g. primi, sunt lineœ brevissimœ. Hic itaque pro valore constante ipsius q^ angulus 6 fit = o ,
undc œquatio pro variatione anguli 0 modo tradita docet, fieri del)ere --- = o.
sive coefllcientcm E a ^ independentem, idest, E esse débet vel eonstans \v\ functio solius p. Simplicissimum erit, pro /> adoptare longitudinem ipsam cujusque lineœ primi systematis , et quidem , quoties omnes line.T primi systematis in uno puncto concurrunt , ab lior puncto numeratam , vel , si communis intcrsectio non adest, a qualibet linea secundi systematis. Quibus iia intelleetis patet , p et^ jam eadem denotare, quîc in art. XV, XVI per r vi o expresseramus, atque fieri E = i . Ita dua> formuhe pra^cedentes jam transeuiit in lias
S'G . rie = — ^/^ ■ fi(/.
dp '
vel statuendo /G = m,
, 1 ddm ,- dm ,
k= ; — 1 flO r- • fifJ.
m dp^ dp '
Generaliter loquendo, m erit functio ipsarum />. f/. at(|ur nnlq rxpiessio eli*-
mentî cujusvis lineœ secundi systematis. In casu specîalî autem, ubî omnes
lineîE p ab eodem puncto proficiscuntur, manifesto pro p = o esse débet in = o ;
porro si în hoc casu pro q adoptamus angulum ipsum , quem elcmentum pn-
mum cujusvis lineae primi systematis facit cum elemento alicujus ex îpsîs ad
arbitrium elcctœ , quum pro valore iufinite parvo ipsius p , elementum lineae
secundi systematis (quaî considcrari potes t tamquam circulus radio p de-
scriptus), sit = pd/jf^ eritpro valore infinité parvo ipsius p^m=zpy adeoque,
I dm
pro p = o^ simul m = o et — = i .
Immoremur adhuc iidcm supposîtioni, puta p designare indéfini te longitudinem line<'e brevîssim.T à puncto determînato A ad punctum quodlibet superficiei ductum, alque q angulum, quem prîmum elementum liujus lineaî efficît cum elemento primo alicujus lineœ brevissimîE ex A proficiscentis datœ. Sit B punctum determinatimi in hac linea pro qua ^ = o, atque C aliud punctum determinatum superficiel , pro quo valorem ipsius q simplîciter per A desiguabimus. Supponamus puncta B , C per lineam brevissimam juncta , cujus partes , inde a puncto B numeratas, indefinite ut in art. XVIII per s denotabimus, iiec non perinde ut illic, per ô angulum, quem quodvis elementum ds facit <rum elemento dp : denique sint 6**, 6' valores anguli 6 in punctis B, C. Habemus itaque in superficie curva triangulum lineis brevissimis inclusum, ejusque anguli ad B et C, per lias îpsas litteras si mplici ter design andi œquales (Tunt ille complemento anguli (5° ad i8o°, hic ipsi angulo 9'. Sed quum analysin nostram inspicienti facile pateat, omnes angulos non per gradus sed per numéros expresses concîpi, ita ui angulus 5y^ ly^ 4^^\ cui respondet arcus radio a'qualis, pro unilate habeatur, statuere oportet, denotando per 2 7: peripheriam circuli
Inquiramus nunc in curvaturam integram hujus trianguli, quîB fit =kd'7^
dénotante da elementum superficialc trianguli , quare quum hoc elementum
exprimatur per m dp . dq^ cniere oportet inH^gralc ffkmdp , dq supra totam
trianguli superficicm. Incipianius ab integratione secundum />, quîe propter
, I dcim ,. , / flm\
H := -j-^ suppeditat aq. (const. 7")' P''^ curvatura intégra are.T
jacentis inter lineas prirai systematis qui bus respondent valores indetermi-
naux secundae y, q -^dq : quum haec curvalura pro /> = o cvanesccre dcbcat ,
quanti tas constans per intégra tionem introducta aF^qualis esse débet valori
dm .j • • TT 1 • f / dm\ , . dm
ipsius -7- pro p = o , id est , unitati. Habemus itaque dqyi — ;7-" 1 ' ^^^ P^o —
accipere oportct valorem respondeutem fini illius areo; in linea CB. In hac
dm
linea vero fit per articulum praecedenlem — , dq =^ — r/9, unde expressio
nostra mutatur in dq -h dO. Accedente jam integratione altéra a y = o usque ad y = A extendenda , obtinemus curvaturam integram trianguli = A -h ô'— e«= A -h B -h C — TT.
Gurvatura intégra a^qualis est are«T ejus partis superficiei sphncricœ, quîe respondet triangulo, signo positive vcl ncgalivo aflecta», prout superficies eurva, in qua triangulum jacet, est concavo-concava vel concavo-convexa : pro uuitate areae accipiendum est quadratum, cujus latus est unitas (radius sphaîra?) , ([uo pacto superficies tota sphîera; fit = 4?^. Est îtaque pars superficiei splia»ricaî triangulo respondens ad sphîera? superficiem integram ut zh (A -f- B -f- (^ — tt ) ad 4 ^' Hoc theorema, quod, ni fallimur, ad elegantissima in llieorîa superfirierumcurvarum référendum esse videtur, etiam sequenti modo enunciari potest :
Exccssiis sumniœ angulorum trianguli a lineis hrevissimis in superficie cwva concavo^oncav^a formati ultra 180**, vel defectus swnmœ angulonim trianguli a lineis brevissimis in superficie cwva conca\fo~con\^exa fotmati a 180**, mensuratur per arearn partis superficiei sphœricœy quœ illi triangulo per directiones normaliwn respondet, si superficies intégra 720 gradibus œquiparatur.
Generalius in quovîs polygono n laterum , quœ singula formantur per lineas brevissimas, cxcessus summ.i; angulorum supra 2/1 — 4 rectos , vel defectus a un — 4 rectis (pro indole curvalurœ superficiei), a>quatur area; polygoni rt»spondentis in superficie sphœrica , dum tota superficies sphaîrae 720 gradibus œquiparatur, uti per discerptionem polygoni in triangula e theorema te précédente spontc demanat.
Restituamus charactcribus p^ q^ E, F, G, o) significationes générales, quibus supra accepiî fuerant , supponamusque indolem superficiei curva» pra*tcrea alio simili modo per duas alias variabiles p'^ q' determinari , ubi elementum lincare indéfini tum exprimatur per
yfWd^' -t- 2 F'rf//. dq' -h GV<7'«.
Ita cuivis puncto superficiel per valores determinatos varîabilium/^ q definito
respondebunt valorcs deierminalî variabilium ;;', ^', quocîrca h» erunt functioncs îpsarum p^ q^ e quarum differenliationc prodire supponemus
dp' = adp -h ^d(f ^ dq' =i y dp H- ddq,
Jam proponimus uobis iiivestigare significationcm geometrîcam honim coefficientium a, j3, y, cî.
Quatuor itaquc iiunc systemala lincarum in superficie curva concipi possunl , pro quibus rcsp. q^ p^ q' ^ p' s\i\i constantes. Si pcr punctum delermînatum, cui respondent variabilium valores /;, q^ p\ q\ quatuor lineas ad singula illa systemala pertinentes ductas supponimus, harum elementa, variationibus positivis dp^ dq^ dp\ dq\ respondentes erunt
)fV..dp^ ^G,dq^ sJFj'.dq\ s/^'.dq*.
Angulos, quos horum elemenlorum direetiones faciunt cum directione fixa arbitraria^ denotabimus per M, K , M', IN", numerando eo sensu, quo jacei secunda respectu prima» , iia ut sin (N — M) fiât quantitas positiva : eodem sensu jacere supponemus (quod licet) quartam respectu tertia;, ita ut etiam sin (jN' — M') sit quantitas positiva. His ita inlellcctis, si consideramus punctum aliud, a prioiî infinité parum distans, cui rc*spondeant valores variabilium p -^ dpy q-\-ffqj p' -^ dp'^q' -^dq\ levi attentione adhibita cognosccmus , fieri generaliier, id est, independenter a valoribus variationum dp^ dq^ dp\ dq\
\l Ê . dp . sin M -h v^ • ^iq ' sin N = \pp/ . dp' . sin M' -f- y/G' . dq' . sin R',
({uuni utraque expressio nihil aliud sit , nisi distantia puiicti novi a liuea , a qua anguli direclionum incipiuut. Sed habemus, per notationem jam supra introductam JN — M = co , cl per analogiam slaluemus JN' — M'= o)', nec non insuper P^' — î\r==:ij;. lia a»qualio modo inventa cxhibcri polesl in Airma sequcntc :
V/T: . dp . sin (M' — 0) -h cj^) -h V'TÏ . dq . sin (M' -+- ^)
-- v^F/ . dp' . sin M' -^ v^' . dq' . sin (M' -h r./) ,
1 ita
V^E . dp . sin (jN' — oj — o)'-f- ^) -h v^G . dq . sin (N' — 0)'-(- tp) = vT' • ^fp' . sin (>' — ^')') -^sTV' . dq' . sin >'.
Et quum aequado manifesto iiidcpendeiis esse debeat a dircctione initialî, hane ad libitum accipcre lîcet. Statucndo itaque in forma sccunda N' = o, vel in prima M' = o , obtinemus a^quationes scquentcs :
V^E' . sinw' . dp' = \fÊ. sîn (fù-\- w' — ^) , dp -t- V^ • sin(w' — ^) . d//, ^G' . sin 0)' . dq' = y^ E . sin (^ — w) . dp -\- /G . sin ^ . d<] \
quae œquationcs quum idcnticœ esse dcbcant cum his
dp' = ocdp -{- (i dq^ dq' = ydp -\- ddq^
suppedilabunt détermina tionem coefficientium a^ ^^y^ à. Erit scilicet
__ /Ê] sîn(wH-w'— '}) o __ . /5] sin ( w — -^ ) ^\Y.' ^^i^' ' ^~"VË"'* sinw' '
/Ë] sin(r[; — ta) ^ 4 /^ s[nj;
'^■"Vg'" sinw' ' VG'*sinw*
Adjungi debent a^quationes
