F , F' . , /EG — FF . , , /E'G' — F'F

uiide quatuor sequationcs ila quoquc exhiber i possuut :

« V^E'G'— F'F' = v^ËG^ . sin (w + w'— <f ) , P s/Ë'G'— F'F' = v^G(? . sin (o)' — if ) , •/ v^E'G' — F'F' = \I^VJ . sin ( <!- — w) ,

à v/E'G' — FF' = v^GF . sin (|<.

Quum per substitutioncs ffp' =:xdp-\-^Htj, dq' =-ydp + idq trinomium YJdp'*-^i¥'df)'.dq'+G'd<j'* transi re debeat in Y.dp*-\- ^Ydp.d/i-^Gdq\ facile obtinemus

KG — FF=(E'G' — F'F')(a(î — ^y)';

et quum vice versa trinomium posterius rursus transire debeat in prius per substitutionem

(ad—^y)dp = ddp'—^dq', (ai — ^y)dq = — ydp' -i- «dq',

iiiveniraus:

E (îô — 2 Fy d -I- G -/-/ = ,;,Q>p,p, • E', E/3/3 - 2 F«/3 + G«« = ^^^1?^, . G'.

A disquisitione geuerali ai liculi praecedentis dcscendimus ad applicationem latissime patentem , ubi , dum p et q etiamnum significatione generalissima accipiuntur, pro^', q' ^ adoptamus quaiititates in art. XY per r, f denotatas, quibus characteribus etiam bic ulcmur, scilicet ut pro quovis puncto superficiel r sit distaiitia minima a puncto détermina to, atque f angulus in hoc puncto înter elementum primum ipsius r atque directionem fixam. Ita habemus E'=i ,

F'= o, Oi)' = 90° \ statuemus insuper /G' = w, ita ut elementum lineare quod-

cunquc fiât = sjdr^ -hmmd(f*. Hinc quatuor a^uationes in articule praecedente pro a , |3 , 7 , cî , eioilae , suppeditant :

(i) ^Ë:.cos(a) — ^)= -^,

(2) ^G.cos^p=^,

(3) v^E . sin (^ — (i))=m' ^,

(4) v^G . sin ^p = m • —• Ultima et penultima vero bas

,5) BC-KF=F,g)'-,F.|.i + 0(±)',

Ex his H'quatiouibus petenda est determinatio quanti tatum /', ^, ^ et (si opus videatur) /;/ , per p vx q : scilicet integratio sequationis (5) dabit r, qua inventa, integratio a^quationis (6) dabit y, atque alterutra aequationum (i), (2) ipsam ^ : denique ffi habebitur per alterulram scquationuni (3), (4).

lutegratio gcncralis apquationum (5), (6) necessario duas funrtioncs arbitrnrias inlroduccre débet, qufe quid sibi vclînt facile intolligemus, si ptM'pendîinus , îllas œquationes ad rasum cum (juem hic coiisideramiis non limitari , sed perînde valere, si r et (f accipîantur in significatione generaliori art. XM, ita ut sît r longitudo lincae brevissima» adlineam arbitrariam determinatam normaliter ducta*, atque y fuuctio arbitraria longitudinis ejus partis linea», quîç întei lineam brevissimam indefînitam et puncium arbilrarinm delerminatum interripitur. Solutio itaque generalis ha^c omnia indéfini te amplecti débet , fumiionesquc arbitraria; tune demum in definitas abibunt , qnando linea illa arbitraria atque functio partîum quam ç exhibere débet , pnrseriplîc sunt. In rasu nosliY> rirculus infinité parvus adoptari potest, eentrum in eo puncto habens , a quo distantiïe r numerantur, et (jp denotabit partes Iiujus cireuli ipsas per radium divisas; unde facile colligitur œquationes (5), (6) pro casu nostro compleie sufficere, dummodo ea, qune indefinita relinquunt, ei conditioni accommodentnr, ut r et ç pro punclo îllo initiali at([ue punctis ab eo infinité parum distantibus quadrent.

Ceterum quod attinet ad integrationem ipsam a^cfuationum (;")), (6) constat, eam reduci posse ad integrationem a^quationimi differentialium vulgarium , qua? tamen plerumque tam intricaiœ evadunt , ut parum lue ri inde redundel. Contra evolutio in séries, qua^ ad usus praelit'os, quoties de partibus superficiei ^ modicis agitur, abunde sufGciunt , nullis diffieultatibus obnoxîa est , atque sic formula; allatse fontem ubereiçi aperiunt , ad multa problemata gravissima solvenda. Hoc vero Ibco exemplum unicum ad methodi indolem monstrandam evolvemus.

Considerabimus casum eum, ubi omnes linci*, pro quibus p constans est , sunt linea; brevissima? orthogonal! ter sécantes lineam pro qua '^ = o , et quam lamquam lineam abscissarum contemplari |)ossumus. Sit A punctum pro rpio /• = o , D punctum indefinitum in linea abscissamm, AI) =/>', H punctum îndefinitum in linea brevissima ipsi AI) in D normali , atque RI)—- q ^ ita ut p ronsiderari possit tamcpiam abscissa, q tamquam ordinata puncti H: abscissas positivas assumimus in eo ramo line«T abscissarum , cui respondet ^= o. duni r temper tamquam quantitatem positivam spectamus: ordinatas jwsitivas statuimus in plaga ea , ubi ^ numeratur inter o et i8o".

Pcr thcorema art. XVI habebimus o) = i)o*\ V =- o, nec non (1 --= i; slatifemus insuper \^V.=iii. Rril itacjue // functio ipsanun p^ y, et quidem talis, qiUB pro q = o fieri del>et =^ i . Applicatio formulîp in art. XVIII allata»

-yf»

ad casum nostrum docet , îii qnas^is linca brevissîma esse debere rffl = — — • dp^

dénotante 0 angulum inter elcmentum hujus linese atque elementum Une» pro qua q constans : jam quum linca abscissarum ipsa sit brevissima , atque pro ea

ubique 6 = 0, patet , pro q = 0 ubique fieri debere — = o. Hîne igitnr collî-

gimus, si n in seriem secundum potestates ipsius q progredientem evolvatur. hanc habere debere formam sequentcm :

71 = I -\-fqq -+- gq^ -+- A7* H- etc., uhi J\ g , A, cic. , eruiit functioncs ipsius />, et quidcm statuemus

/=/o-f-/>^-/V/.-i-etc.,

5 = 5° -^- g'r -^ 8"pp -+- ^''^- ^

h = /a° -h h'p 4- h'^ppM- etc.,

n = I -^/""qq -^fpqq -^f"ppqq ^ etc.

-h g^'q^ -h g^V^7'-hetc.

/i^ <7* 4- etc., etc.

si\r