PP

-2t/ç-^içq'-h3g'^')

îM3/V'-

-6q</-h6tfq'-\-6q'(f')

-iqq^ qq' +4/^')

Pniîcisio eadem mauebil, si [>ro /; , q^ q' substiluimus r sin R . ccosB, c cos B — rt , quo paeto prodit

i -h -THi ol['S aa-\- ^cv — 9 oc cos B) 7 = :: rtc sin B ? 4- 777 jS ( 3 tfrt H- 3 ce — 1 2 ac cos B) ^

~y(^aa-^'i ce — 9 ac cos B) j

Quuni ex hac «Tquatione oniuia quîe ad liueam AD normaliter ad BC ductaui referuntur evanuerint, etiam puncta A , B, C ciim corrclatis inter se pcnnulan* licebil, quapropter erit eadem priccisione

7 = i Ar sin A ,' -hjh^ (3 f>b

rr. 7 (4 **

3 ce

4 ce 3 ce

\ ahs'in C f

— i2ic cos A) \

— 9 &c cos A) - •

— gbc cos A)

4bb — 9 ah cos C ) Zbb — 9^i&co8C) '.ibb — ï2ab cosC)

Hinc simul deducimus, quum summa A*-HB*-f-C* duobus rectîs apqualîs sit, exoessum suinmse A H- B 4- C supra duos angulos rectos , pula

Hapc ultima tcquatio etiam formula? [6J superstrui potuîsset.

Si superficies curva est sphaera, cujus radius =R, erit « = /3 = y = -2/'' = ^, /"=o, g'=o, 6h"-f»f" = o, siveA» = ^.

Hiiir formula [ 1 4 J fil

quaî pr«Tcisione absoluta gaudet^ formulœ [n], [iî^]i [*3] autem suppcditant sive îpque exacte

Irr-TS^'^**^'^^^-"'^)

^egle<lis quaiititatibus quarti ordinis , prodit hlne theoreraa uotum a elar. Legendre primo propositum.

Formulai nostrje générales, rejeclîs tcrmiuis quarti ordiiiis, persimplîoos evadunt , scilicet

A* = A-.^cr(2a4- /3 ^ y),

B* = B-^cr( a-^2/3-f- y),

C*=C — ^cr( «+ /5 ^-27).

Ângulis itaque A, B, G in superficie non sphaerica reductiones iuœquales applicandâe sunt, ut mutatorum sinus lateribus oppositis fiant proportionales. Inav qualitas, generaliter loquendo, erit tcrtii ordinis; at si superficies parum a sphaera discrepat, illa ad ordinem altiorem referenda erit : in triangulis vel maximis in superficie telluris, quorum quidcm angulos dimetiri licet , diflferentia semper pro insensibili haberi potes t. Ita e. g. in triangulo maxiino in ter ea, quae annis prœcedentibus dimensi sumus, pu ta inter puncta Holiehagen , Brocken, Inselsberg, ubi excessus summœ angulorum fuit = 14", 85348, ralculus sequentes reductiones angulis applicandas prodidit :

Hohehagen — 4>.9^ii*^

Brocken — 4i9^io4

Inselsberg — 4)9S<3i.

Coronidis causa , adhuc compara tionem arex trianguli in superficie curva cum area trianguli rectilinei, cujus latera sunt a, &, c, adjiciemus. Aream posteriorem denotabimus per <t *, quœ fit = {bc sin A* =:\ac sin B* = { ab sin(]*.

Habemus , usque ad quantitates ordinis quarti ,

sin A* = sin A — 7; t cos A . ( 2 a -h |3 -f- 7) , sive a»que exacte,

sin A = sin A* . [i 4- 77 ic cos A . (2a 4- jS -f-y)]. Substituto hoc valore in formula [9] , erit usque ad quantitates sexli ordinis,

I -h ,-77 a (3 fcft -h 3 ce — 2 ic cos A ) \ (7 = L hc sin A*. { -h 77; jS (3 Afc 4- 4 ^^ — 4 ^^' ^os A ) j ,

PTj 7 (4 fcA -h 3cc — 4 f^c cos A)

sîvc aîque exacte,

4c { * "^" r77* (^^ -h 2 ii -4- 2 ce) -h TTi /3 ( 2 aa -4- ift -f- a ce) ) [4- Tfï y(2.aa-+- 2fcft -f-ee) j

Pro superficie sphœrica hîBC formula sequeniem induit formam

(7 = (T* [i -h j-^ oc [aa -h bh -+- ce)],

cujus loco etiam sequentem salva cademprcTcisione adoptari posse facile contîrmatur

^ A sin A . sin B . sin C

"" ^ V sin AV sin B* . sin C* '

Si eadem formula triangulisin superficie curva non sphœrica applicalur/error, gênerai i ter loquendo, crit quinti ordinis, scd insensibilis in omnibus triangulis, qualia in superficie telluris dimetiri licet.