COS V
en posant
dyd^z — dzil\y = L^ dzd^x — dxd^z = M, dxd\y — dvd' x = N
11 est bon d'observer qu'on a, identiquement,
cos X dx -f- cos ikdy -f- cos m dz = o ,
cos A rf* X -f- cos [Â d* z -h cos v d^y = o , et, par suite,
d cos X dx -f- d cos [idy -h d cos v dz = o.
5. L'angle infiniment petit /iy? compris entre deux plans osculateurs consécutifs ou entre les deux droites OL, OL' perpendiculaires à ces plans, s'obtiendra, comme Tangle de contingence //e , en prenant 01. = OL'=i, d'où résultera
LU ou dm = ^(dcos X)* -f- (dcos fx)' -H (rfcos v)*.
Si la courbe mnilm m' , . . était plane, on aurait dm = o. Le rapport r de ds
à //yj est ce qu'on nomme le rayon de la seconde courbure de la courbe, ou bien
encore le rayon de Jlexion ou de torsion. Ce rayon est ainsi donné par la
formule
ris
^{dcos >)* -H (<3?cos f*)' H- (</cos v)»
Ici , comme pour le rayon p, on pourrait exprimer X, (ul, v à l'aide de deux angles seulement , à cause de la relation
cos* X -f- cos* fx -+- cos* V = I , qui permet de faire
cos [i = sin X sin tr, cos v = sin X cos u,
luoyeiiiiant quoi on a
{dcos X)* -f- (dcos jui)* -h (dcos v)' = r/X* -h sin* X <7ny*,
cîl, par conséquent,
)/dV -h sin' X rfo'
Les courbes pour lesquelles la valeur du rayon de torsion est une fonction donnée de s sont fournies par l'équation
rfX^-r-sin*Xrfcy*=^,
OÙ Ton prendra pour r la fonction donnée , et que Ton traitera comme Téquation analogue
da* -h sin* a di* = —r
dont nous nous sommes occupés ci-dessus. On aura ainsi
rfA = sin 9 (^) — î sin X du = cos 9 (^) — »
ç (s) désignant une fonction arbitraire de 5. Ces formules conduiront aux valeurs de X et o 9 et, par suite, de cosX, cosfz, cos v, exprimées en 5. Pour avoir x, jTj z^ on se servira ensuite des équations identiques
cos X dx -H cos [idj -h cos vdz = 0 , d cos X dlr -+- d cos [idj -^ dcos v <7z = o ,
qui , combinées avec la formule
dx* -\- dj* -h dz^ = A^
donneront les valeurs de dx^ dj^ dz sous la forme /(s) ds,
6. En développant les valeurs de (rfcos X)% (rfcos u)% (r/cos v)*, on trouve sans peine
ds (L' 4- M' 4- N')
d'où
rff(L»-+-M»-hN')
Mais on a
dh = djd^z — dzd^y^ dM = dzd^ x — dxd^z^ d^ =z dxd^ y — djd^x.
De plus, il est aisé de s^assurer que les trois rapports
LrfM — MrfL WrfL-^LrfN MrfN — W«/M dz djr dx
sont ^aux entre eux et à la quantité
dz {d*xd*y — d^yd^x) -\- dy {d* zd^ X — dxd'' z)
dx(d*jd*z — d*zd\Y).
Il est facile d'en conclure que
{dxd^y — dyd-xy + [dzd'x — dxd'^z)' 4- [dydH — dzd^xY
dz [d'xd^x — d\rd^x) -+- dr (d^zd'x — d'xd'z) 4- dx {d^ydH — dHd'y)
valeur qui peut s'écrire aussi
hd'x -\- Md\r -h ^d''z ou encore
ds'
p'{hd'x -f- md\r 4- N^»z)
7. Si Ton applique les formules qui donnent les rayons |0 et ;* à ITiélice tracée sur un cylindre droit à base circulaire, on trouve que les deux courbures de Thélice sont constantes, ce qui du reste est évident à priori. Les valeurs constantes de r et p sont d'ailleurs quelconques, et on les rendra égales à des quantités données en disposant du rayon de la base du cylindre et du pas de Thélice. Réciproquement il est visible que toute courbe dont les deux courbures sont constantes ne peut être qu'une de nos hélices, car en faisant coïncider une de ces hélices avec la courbe dans trois éléments consécutifs mni\ mrn\ m mT ^ ainsi qu*on le peut, les éléments suivants seront tous déterminés et les mêmes pour Thélicc et la courbe d'après la condition de constance des deux rayons. M. Puiseux a démontré ce même théorème analytiquement en partant des formules qui donnent r et p et en cherchant directement la courbe pour laquelle ces deux quantités à la fois sont constantes. Son analyse est élégante et offre un bon exercice de calcul. M. Puiseux prend pour variable indépendante l'arc 5 de la courbe. Il a donc ces deux formules
ds'
Sl[d'x}' 4- {d'xf 4- \d'zY
et
dans la seconde desquelles nous nous souvenons que
L = dyd^z — dzd^y, M = dzd^x — dxd'z, N = dxd'j — dyd'x
Le problème à résoudre consiste à intégrer les équations (i) et (2), dans lesquelles p et r sont des constantes, et auxquelles il faut joindre la relation
(3) d<}c' -\- df' -^^ dz^ = ds\
En diirérentiaiit cette dernière équation, nous trouvons^ à cause de rf* 5 = «,
(4) (Ixd^x -H flyd'J 4- ilzd~ z = o.
De l'équation (i) nous tirons
{d'xY + [d\yY -f- [drzY = 1 ds\ et en différen liant,
(5) d'xd'x-hd\)d\} -i-d'zd'z = o, I /équation (a) nous donne ensuite
Ld'x-hMd'r -h^d'z = ~ ds' :
rrj'
diflërentîons et remarquons que l'on a identiquement
dLd^X -h dMd\) ^ dJSd^'z =zo', il vient
Ld\r-hMd\j -h^d'z = o.
ou, ce qui est la même chose,
(6) Lj dx H- Ml dy H- iNi dz = o,
en faisant
L, = d*jd'z — d^zdy, U,=d'zd'x — d-xd'z, ^,=d*xd'j—dyd*x.
Si maintenant nous dilTérentions deux fois de suite Téquation (4)9 nous trouverons, en ayant égaixl à Téquation (5),
dxd* X -h dyd^ > -4- dzd^ z = o,
et de cette dernière, jointe à l'équation (4), nous conclurons facilement
f/.r f/r fiz
l7 ~ Wh ~ N,*
Nous pouvons donc, dans l'équation (6), remplacer dx ^ dy. dz par les quantités proportionnelles I^,, M,, Ni : il nous vient de celle façon
et, par conséquent,
Les expressions désignées par 1^,, M,, N, étant des diiîérentielles exactes,
oif peut intégrer immédiatement les équations (7) ; on trouve ainsi
idyd'z — d^zd^jr =fds\ d^ zd^x — d^xd^ z = gds\ d^xd^y — d^yd^x = hds^^
f^ gy h désignant trois constantes arbitraires.
Si maintenant nous ajoutons les trois équations (8), après les avoir multipliées respectivement par d* x, d^y^ d^Zy il nous viendra, en divisant par rfc*,
fd^x -H gd^y -h hd^z = o,
et en intégrant , et nommant h une constante ,
(9) fdx -f- gdy H- hdz = kds.
Faisons
= COS Ot),, "^ — = cos w,, — = COS 0)3,
^/'-^g'-hà' sJ/'-^g'-^h' \//*-f-«f*-f-A'
et Téquation (9) pourra s'écrire
. . <lx dy dz
(10) -j- cos 0), H- — cos W, -f- ;t cos COj =
ds ds ds à/ya ^ g^^ ft^
Sous cette forme elle exprime que toutes les tangentes à la courbe cherchée font des angles égaux avec une même droite, et cette droite est celle qui fait avec les axes des coordonnées les angles co,, a)|, eoj.
Pour simplifier, nous pouvons prendre maintenant Taxe des z parallèle à cette droite : nous aurons alors
dz k
= cos r«),
ds
en nommant w Tangle constant que font avec cet axe les tangentes à la courbe cherchée.
De cette équation nous tirons <i' ^ = o, ce qui montre que Ton peut prendre z
dz
pour variable indépendante, et ds = Substituons cette valeur dans Téqua-
^ ^ cosw ^
tion (3) ^ elle devient
dx^ -\- dy- =^ dz"* tang* w, d'où Ton tire
dy = sjdz^ tang* o) — dx-.
et en di fie ren liant,
„ dxd^x
\/d'z»tang*» — dlr'
Portons dans Féquation (i) les valeurs de ds^ d* z et rf'/-, elle devient, après les réductions,
p* {d* xy sin' 0) cos* « = dz^ Ung* (ù — dx*dz^:
on en tire
dx ù sia w ces (ùd -—
^ dz
dz
y/tang'»-(jy
et en intégrant et nommant c une constante,
djc
z — c = lir û sin o) cos co . arc sin
^ dz tang o>>
On tire de cette équation
dx = ± dz tanc « sin — : ->
" p sm b) cos w
et, par conséquent.
fii) X — a ^= ±1 p sm' 0) cos -^
^ ' ~ psinb)C0s&)
a étant une constante.
D'un autre côté , l'équation
dy = ^dz* tang* w — rfx' devient
dj =z± dz tang co cos — r
p sin &> cos o>> et il en résulte , b désignant ime nouvelle constante,
(12) y — b = ± p sin* co sin — :
p sin b> cos o>> Les équations (11) et (12), d'où Ton déduit encore celle-ci
(x — tf)*-h (y — &)* =• p* sin* Cl),
appartiennent à une hélice tracée sur im cylindre droit dont les génératrices sont parallèles à Taxe des z, et dont le rayon est p sin* o).
Ainsi rhélice est la seule courbe dont la première et la seconde courbure soient à la fois constantes.
8. M. Bertrand est parvenu par des considérations géométriques à un autre théorème plus général et très-remarquable, savoir, que l'hélice tracée sur un cylindre quelconque est la seule courbe pour laquelle le rapport des rayons p et /• de courbure et de torsion soit constant. La méthode de M. Puiseux ne parait pas se prêter à la démonstration de ce nouveau théorème , et c'est là une impei^ fection véritable. On doit naturellement désirer de voir sortir des mêmes formules analytiques deux théorèmes liés de si près Tun à Tautre. M. Serret a réussi à les embrasser, en effet, dans une même analyse, et je ferai plaisir à nos lecteurs, en transcrivant ici la Lettre encore inédite qu'il a bien voulu ni'écrire à ce sujet. M. Serret a fait usage de certaines variables qu*il avait déjà employées au tome XIII du Journal de Mathématiques y pour résoudre le problème suivant : x, r-» ^ j s étant quatre fonctions d'une variable indépendante 9 assujetties à vérifier Féquation
rlx^ -h dj- -h dz^ = ds\
exprimer sous forme finie, et sans aucun signe d'intégration, les valeurs générales de ces fonctions. La solution de ce problème conduit, par exemple, à trouver des courbes à double courbure qui soient à la fois algébriques et rectifiables algébriquement, ou dont Tare dépende d'une transcendante donnée. Le problème analogue pour les courbes planes dépend de Téqualion plus simple
dx'-hdr' = ds',
et se résout, comme on sait, par les formules
.r = f (e)sin9-r-f' (e)cose, > =f (9)cos9 — f {Ô)sin0, .V =^(9)+.f" (9),
où la fonction ^ est arbitraire. Les formules de M. Serret pour ré<|uâtion
dx ■ -h dy ' -^ dz- =^ ds%
sont beaucoup plus compliquées, et, partant, beaucoup moins utiles. JNous attachons, au contraire, une grande importance aux résultats nouveaux contenus dans la Lettre dont nous venons de parler, et dont voici le texte :
« Le système particulier de variables dont j'ai fait usage au tome XllI de » \olre Journal , pour obtenir sous forme finie , et sans aucuu signe d'intégra- » tion. la solution générale de l'équation
dx - -h r/> - -h rfr ■ =^ ^.v ■' ,
» OÙ j: , j^ z , s désignent quatre fonctions d'une même variable indépen- » danted, peut servir à simplifier considérablement l'intégration de quelques » équations différentielles exprimant divei*ses propriétés relatives à la courbure » ou à la torsion des courbes à double courbure , ou, comme on dit aussi . dc»s » courbes gauches.
» Soient x , y, z des coordonnées rectangulaires. On peut représenter le plan » osculateur d'une courbe gauche par l'équation
z = px-hqj — u,
)) p^ q^ il étant des fonctions d'un paramètre indéterminé S, et la courbe <»lle- » même sera représentée par le système des trois équations
!z=px -^ qy — u, o =^ xdp -\- } dq — du , o :=. xd^ p -\- y d^ q — /^* // ,
» dont les deux dernières s'obtiennent en différenliant la premièn» par rapport » au paramètre 0 , que nous prenons pour variable indépendante».
» La substitution des variables /;, q^ u aux coordonnées j:*, > , z , simplifie M notablement les formules de la théorie de la courbure des courbes gauchtîs; » il arrive que quekpies-unes de ces formides ne contiennent plus que deux <les )» trois variables /?, </, u , circonstance dont nous profiterons plus loin.
» Des équations (i) on tire
dqd'^u — dud^q d(j d^p — dp d ' q
du d'^p — dpd^ u dq d^ p — dpd^ q
Z — px -^ qr — U \
n combinant les équations (i) avec celles qu'on en déduit par la différenation , on obtient
dz = p dx -^ q rfj ,
dp dx -{- dqdy = o^
d* pdx -\- d^ q dy = d^ u — xd^ p ^ ) d' q ;
i Ton lire, en faisant, pour abréger,
„ d^u — xd^ p — jrd^ q
dqd^p — dpd^q
(5) ldjr= — Hdp,
dz = H(pdq — Çdp) ;
» et si ds désigne la différentielle de l'arc , c'est-à-dire ^dx^ -h djr* -h dz* ^ on a
(6) ds = li yjdp* -h dq* -^(pdç — çdp)*.
» Plan oscidateur et angle de torsion. Comme l'équation
z = px -^ qj — u
» est celle du plan osculateur de la courbe représentée par les équations (i), » si l'on désigne par X , jul, y les angles formés par la normale à ce plan avec les » axes coordonnés , on a
cosA =
(7) ( cosfx =
COSV =:
» d'où Ton tire
^cosx=-p^^^-^^-^^y^,
d COS|Ul = Ci—L ^ ^ ^ -
, ^[pdp-\-qdq) d COS V = ^ —^ î
» et si dti désigne l'angle de torsion, c'est-à-dire ^^(rfcos A)*-h (rfcosfji)*-H (r/cos v)*. » on a
sldp^'^dq''^{pdq — qdp)'
» Tangente et angle de contingence. On peut considérer les deux premières » des équations (i) comme appartenant à la tangente de la courbe représentée » par les trois équations (i). Si a, 6, y désignent les angles que fait cette
» quelconque , le rapport
d cos\
dcosa
)) sera le méme^ quelle que soit la droite D^et sa valeur sera égale au rapport » fie la seconde courbure à la première.
)) Je passe maintenant aux applications des formules qui précèdent.
» Problème I. Tromperies courbes dans lesquelles 1rs deux courbures ont » en chaque point un rapport constant k,
» En vertu des équations (9) et (12) , Téquation
dYi — kde = o^
» dont dépend ce problème , ne contient que les deux variables p eiq avec leurs » diflérentielles des deux premiers ordres 5 et, d'après ce qui précède, on peut » lui donner l'une des trois formes suivantes :
d cos 1 — kd cos a = o 5 d cos fjL — kd cos 6 = 0, d cos V — kd cos y = o ^
» d'où il suit que les trois quantités
cos X — k cos a , cos [X — k cos 6 , cos V — k cos y ,
» sont conslantes : d ailleurs, il est évident que la somme de leurs carrés est ») égale à i — fc'. Si donc X', a', v' désignent les angles formés avec les axes » par une droite fixe arbitraire, on pourra poser
cos X — k cos a = ^i -h ^' cos )/,
cos fx — k cos S = v^i-h fc* cos fx', cos V — k cos y -= y i -f- /r* cos v',
. cos / — \' i-h k^ cos W =1 k cos a ,
(14) cos /x — y/i -h A' ' cos p ' = A* cos ë ,
' cos V — v^i -h /c* cos v' = A cos y j
M l'une de ces trois équations (i4) i^^st une conséquenre des deux autres, et si » l'on imagine que les <*osinus des angles a • c, y, / , ,a, v soient remplacés par w leurs valeurs , elles ne contiendront que les dilVérenli elles du premier ordre dp M et dq ^ ou peut donc considérer deux des équations (i 4 ) comme deux intégrales » premières de l'équation dîHcM-eiilielle du deuxième ordre
>» et, par conséquent , on aura rinlégrale seconde de cette dernière équation,
» en éliminant dp et dq des équations (i4)î d'ailleurs, ces dinérentielles ncii-
)» trent que dans les expressions de cos a , cos c et cos y, on les éliminera
ï» donc en ajoutant les équations (i4) après les avoir éle>ées au carré : il vient
» ainsi
(i6) cos/ cos )/ -H cos a cos a' -i- cos v cos v' --• -=l 1 :
» cette équation (i6) est l'intégrale générale de Téquation (i5); elle exprime » que Taxe du plan osculateur de la courbe cherchée fait avec une droite fixe un
» angle constant dont le cosinus a pour valeur On peut pn^idre c(»tle
» droite fixe pour axe des z , et l'équation (i6) devient
(17) COSV = ^^^::^
n La dernière des écjuations (14) donne alors
vos y =
)i ce qui montre que la tangente à la courbe cherchée fait , avec Taxe des z , un
» angle constant^ c'est donc une hélice tracée sur un cylindre dont la section
» droite est, comme on va voir, une courbe arbitraire.
M En remplaçant cosv par sa valeur tirée de l'équation (-). Téquation (ij)
« devient
p*-^q^-^k'; » on peut donc prendre
(18) p —- k cos 9 , q 2^k sin b ,
w et l'équation du plan osculateur de la courbe cherchée sera
(19) z =^^h(x cosO -^ y sin0) — w.
» En joignant à cette équation (19) ses deux premières dérivées par rapport » à 0, on aura les trois équations de la courbe , savoir
I z = h [x cos 6 -h j sin 9) — 1/ , / X fO = A( — X sin6 -H r cosô) —9
