DES SURFACES CYLINDRIQUES

Trouver l équation générale des surfaces cylindrUiucs, c'est-à-dire exprimer qu'une surface courbe est engendrée par le mouvt^ment d'une droite qui ne cesse pas d' être parallèle à une autre droite donnée,

HŒ^flÈRK MAMÈRF, DAPUÈS I.A CONSIDÊBATION J)l H.AX TANGEM.

1 . Un des caractères des surfaces cylindriques est cjue , pour quelque point que ce soit, leur plan tangent est parallèle à la droite générati'ice.

Soient .r^=azj y ^=z hz les équations données de la droite menée par T origine, et à laquelle la génératrice doit toujours être parallèle. Nous avons vu que, x\ y\ z étant les coordonnées du point de contact, l'équation du plan tangent à une surface courbe est, en général,

.-.-- = (.,.-.,.') (g;.) + cr-y)('^).

Il ne s'agit donc plus que d'exprimer que ce plan est parallèle il la droite. La condition d'être parallèle sera remplie, si le plan,

après avoir été transporté parallèlement à lui-même jusqu'à l'origine, passe alors par la droite. Or, l'équation du plan transporté à l'origine est

et pour que le plan passe par la droite, il faut que l'on ait

donc cette dernière équation exprime qu'une surÊice est cylindrique, sans rien statuer sur la nature de la courbe qui lui sert de base, ou qui dirige le mouvement de la droite génératrice ; courbe qui peut d'ailleurs être ou n'être pas soumise à la loi de continuité.

SECONDE MANIÈRE . D'APRÈS LE IIOUVEMENT DE LA DROITE tiENÉRATRlCK.

*2. La génératrice devant être toujours parallèle à la droite donnée i aura pour équations

/ p \ ( «^ = ^^ + et ,

dans lesquelles les quantités a, b sont constantes, quelle que soit la position de la génératrice, mais dans lesquelles a et |3, qui sont existantes pour une même position de la génératrice , varient lorsque la génératrice passe d'une position à ime autre. Ainsi pour toute surface cylindrique, lorsque le point que l'on considère change de position sur la surface sans quitter la même droite génératrice, les deux quantités a, p, ou celles-ci, x — az, y — hz, qui leur sont respectivement égales, sont toutes deux constantes : et lorsque le point se meut de manière qu'il passe d'une position de la génératrice à une autre, ces quantités varient toutes deux.

Ces deux quantités sont donc constantes ensepible ; donc elles sont fonctions Tune de l'autre; donc l'équation générale des surfeces cylindriques est

y — bz= (p {x — az) ,

dans laquelle le signe (p indiqup une fonction quelconqiie de la quantité ûo — az.

La forme de cette fonction, c'est-à-dire la manière dont la quantité x — az entre dans le second membre de l'équation, dépend de la nature de la courbe qui dirige le mouvement de la droite génératrice. Cette forme est ou n'est pas susceptible d'être exprimée analytiquement, suivant que la courbe est ou n'est pas soumise à la loi de continuité.

Il suit de là que les équations de la droite génératrice seront

X — az = a,

jr—bz = (pa,

a étant la quantité qui particularise la position de cette droite.

Trouver l'équation dune surface cylindruiuey connaissant la direction de la génératrice et les équations de la courbe h double courbure qui dirige son mouvement.

3. Il est évident que la question consiste à déterminer dans l'équation générale des surlaces cylindriques la forme de la fonction ^, de manière que cette équation devienne celle de la surface individuelle, que l'on considère. Soient représentées par F(.r, j, js) = o elf{x^ j, s) = o les deux équations données de la courbe à double courbure, dans lesquelles les signes F, / indiquent des fonctions connues des trois quantités a, j, z.

— lO —

Soit donc F (j?, j, s) = o T équation de la surface donnée; si, après en avoir tiré par la difFérentiation les valeurs ^^ ( ^7^ ) ^' ( ^ ) ' on les substitue dans l'équation diflférentielle des surfaces cylindriques ^(^)H"^(;r)= ^5 ^^ obtiendra en x^ j, z une équation que nous représenterons par f(,v^y^ z) == o, et qui appartiendra à la courbe de contact ; et parce que cette courbe est aussi sur la surface donnée, il s'ensuit que ses deux équations seront

donc, traitant ces deux équations comme dans le cas précédent,

l'équation

f (^ — as, y — bz) = o,

qu'on obtiendra, sera celle de la surface cylindrique individuelle

demandée.

Supposons qu'ayant difierentié l'équation de la surface donnée,

on ait

Xda: 4- Ydy -+- Zdz = o ;

ce qui donne

substituant ces valeurs dans l'équation différentielle des surfaces cylindriques, on a

aX + èY-+-Z = o,

qui appartient à la ligne de contact.

Cela posé, si la génératrice est parallèle aux z, onaa=o,i=o, et l'équation de la courbe de contact se réduit à Z = o. Éliminant z entre cette dernière équation et celle de la surfoce donnée, on

aura celle de la projection de la ligne de contact sur le plan perpendiculaire aux z , et par conséquent celle de la courbe qui termine la projection de la surface sur le même plan.

De même si la génératrice est parallèle aux ^r, on a a = ce , et r équation de la courbe de contact se réduit à X = o. Donc, éliminant X entre cette équation et celle de la surface donnée, on aura r équation de la projection de cette courbe sur le plan perpendiculaire aux cr, et par conséquent celle de la courbe qui termine la projection de la surÉice sur le même plan.

Pareillement enfin, éliminant/ entre l'équation Y = o et celle de la surface donnée, on aura l'équation de la courbe qui termine la projection de la surface sur le plan perpendiculaire aux y.